天然气水合物降压开采理论模型及分析

赵振伟，尚新春

(1.北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083；2.北京科技大学应用科学学院，北京 100083)

天然气水合物是由天然气和水在一定温度和压力条件下形成的一种冰状晶体，其广泛存在于永久冻土带和海底沉积物孔隙当中。天然气水合物的含碳量大约是地球上其他所有常规能源含碳量的两倍，被认为是未来一种理想能源[1-2]。天然气水合的分解，主要受压力和温度控制，研究水合物开采过程中温度场和压力场的分布，能够在实际生产中确定水合物的分解范围，预测天然气的产量。通过对天然气水合物分解面位置的分析，可以找出影响分解面移动速度的因素，为提高天然气的产出效率提供可行的方法。对天然气水合物开采过程中温度场和压力场的分析，是近20年多来的研究热点。

作者最近研究了水合物开采过程中的压力场和温度场，在求解压力场时只考虑了水的渗流，于是压力场控制方程为线性方程[9]。本文在文献[1]的基础上，进一步考虑了水合物相变潜热的影响，在分解面上加入能量守恒方程，对水合物开采过程中温压场的轴对称模型进行了改进，并通过波尔兹曼变换方法，得到温度场压力场耦合模型的半解析-半数值解。在确定分解面位置时，将分解面上的质量守恒方程转化为一常微分方程来求解。与文献[2]不同的是，本文考虑了气体的流动，压力场为非线性方程，并在分解面上考虑了气体密度随压力和温度的变化。

1 数学模型

考虑水合物区一竖直井，通过降压法开采水合物。假设压力场和温度场以井筒垂直轴线为中心成轴对称分布且与深度无关。引入柱坐标系(r,θ,z)。本文将水合物的开采过程看作是一个移动边界问题，在水合物开采过程中，矿区被分为两个区域：分解区r0≤r≤R和未分解区R≤r≤+∞，r=R(t)表示移动边界的位置。记Pn(r,t)为压力场和Tn(r,t)为温度场。本文各个力学量的下标n=1、2，分别代表分解区和未分解区。

Goodrz Ahmadi(2007)给出了如下压力场的非线性控制方程[3]：

(1)

(2)

因沉积物的导热率较低，这里忽略了热传导效应，仅考虑对流效应，其温度场控制方程为[3]：

(3)

式中，常数δ和η分别为孔隙中气体的节流系数和绝热系数；cv和c分别为气体和沉积物的热容。

假设在井口以及无穷远处压力和温度均为常数，则边界条件如下：

(4)

(5)

并且初始条件如下：

(6)

(7)

在分解面上水合物因分解而产生气体，其质量守恒方程为[5]：

(8)

其中气体体密度满足如下关系[8]：

(9)

T0=273.15K；P0=1.01×105Pa；ρ0是气体在T0、P0条件下的密度；z=0.88，是气体的压缩系数；TD、PD是水合物相变时的温度和压力。

假设气体流速满足渗流的达西定律：

(10)

将式(9)和式(10)带入质量守恒方程可得到：

(11)

其次，在分解面上，由于水合物分解会吸收很大部分热量，所以在分解面上的能量平衡方程时，应考虑水合物相变潜热的影响。而沉积物的导热率相对较低，在此忽略热传导的影响，可以推导出考虑水合物相变影响的的能量守恒方程如下：

(12)

式中：L是水合物的相变潜热；ρh是水合物的密度。

将式(9)和式(10)代入式(12)可得：

(13)

最后，在分解面上，水合物的温度压力满足水合物的相平衡条件[2]：

(14)

式中：a=0.0342K-1；b=0.0005K-2；c=6.4804。

在分解面上需满足压力和温度的连续性条件：

(15)

(16)

至此，确定水合物分解过程的压力场Pn(r,t)和温度场Tn(r,t)(n=1,2)在数学上被归结为：在分解区r0≤r≤R(t)和未分解区R(t)≤r≤+∞上, 求解偏微分方程组(2)和(3)的解, 使其满足初-边值条件(4)～(7), 同时满足移动边界R=Rc(t)上的质量和能量守恒方程(11)和(13) 以及连续性条件(15)～(16)。

2 问题的求解

引入波尔兹曼变换[4]

(17)

将式(17)代入方程(2)可得到压力场的常微分方程表达形式：

(18)

(19)

利用式(17)，边界条件(4)、初始条件(6)和界面连续性条件(15)可转换为：

(20)

(21)

(22)

对方程(18)、(19)进行两次积分，再利用边界条件(20)～(22)，可得到压力场的解析表达式：

(23)

(24)

同样，将式(17)以及压力场解析表达式(23)、(24)代入方程(3)，可得温度场的常微分方程表达形式：

(25)

(26)

利用式(17)，边界条件(5)初始条件(7)及界面连续性条件(16)可转换为：

(27)

(28)

(29)

结合边界条件(27)～(29)，求解常微分方程(25)、(26)，可得到温度场的解析表达式：

(30)

(31)

上述压力场和温度场的表达式中，PD、TD及与分解面位置有关的uc为不确定量，可通过界面质量守恒方程(11)和能量守恒方程(13)及水合物的相平衡方程(14)来确定。在确定上述三个不定量时，首先将方程(11)和(13)相减可得到：

(32)

将方程(14)代入到式(32)，可得关于TD的非线性方程，利用数值方法求解出TD，再由方程(14)确定出PD。将压力场Pn的表达式(23)、(24)代入能量守恒方程(13)，得到如下关于Rc(t)常微分方程的初值问题：

(33)

Rc(t0)=r0

通过数值方法求解上述常微分方程的初值问题(33)，即可确定t时刻的分解面位置Rc(t)。

3 数值算例

下面给出温度场和压力场分布以及分解面位置的数值计算结果，计算参数如下：

c=2000 J/kg,cv=3000 J/kg,r0=0.1 m,

α=0.08,β=0.1,L=43500 J/kg,T0=273.15K,ε=0.129,

P0=1.01×105Pa,ρ0=0.706 kg/m3,Ρh=910 kg/m3,δ=8.0×10-7K/Pa,η=3.2×10-6K/Pa,K1=5.2md,K2=0.4md,Φ= 0.2。

图1给出了井筒压力为4MPa、分解时间分别为30d、60d和90d时，压力和温度沿水平径向的分布。由图1中可以看出，由于水合物开采时井筒压力急剧降低，井筒处的压力变化梯度较大；在未分解区，分解面附近的压力最小，向无穷远处逐渐增大到地层的初始压力，并且压力梯度越来越小。在同一水平位置，压力随着时间逐渐降低，但是对时间变化率却在减小。由图2可以看出，由于这里考虑了水合物相变潜热的影响，水合物分解会吸收部分热量，温度的最低值在分解面附近，向两边逐渐过渡到地层的初始温度，分解面附近温度梯度较大。

图1 不同时间压力分布

图2 不同时间温度分布

图3给出了不同的井筒压力条件下，水合物的分解面位置距井筒中心的水平距离与时间的关系。从图中可以看出，在井筒压力一定的条件下，分解距离随时间逐步增大，但对时间的变化率却在不断减小。在开始时刻，分解前缘移动速度较快，随着分解时间的进行，分解前缘的移动速度会逐渐变慢。通过对不同井筒压力下分解距离的比较可以看出，井筒压力越低，分解速度越快。当时间为90d时,井筒压力从5MPa降低到3MPa，分解距离从7m增加到24m。由此可见，水合物的分解速度对井筒压力比较敏感，所以在开采过程中，应尽量降低井筒压力以加快水合物的分解。

图3 分解面距井筒中心的水平距离与时间的关系

通过压力场的解析表达式，单位高度上，天然气水合物开采时的产气速率，可通过井筒处气体的流速确定：

(34)

通过气体产生速率的表达式(34)，可以得到降压法开采水合物时产气速率与时间的关系。图4给出了井筒压力为3MPa、4MPa、5MPa时，气体产生速率随时间的变化曲线。从图4中可以看出，产气速率随时间的增加在减小，开始时减小幅度较大，但是经过一段时间，产气速率逐步趋于一稳定值。随着井口压力的降低，气体产气速率会明显提高。

图4 产气速率与时间的关系

4 结 论

(1)通过水合物分解过程中的压力场和温度场分布情况看，在井口处压力梯度最大，压力值最小；随着径向坐标的增大，压力逐渐变大并趋于地层的初始压力；受水合物分解的影响，分解面附近温度较低，温度梯度较大。

(2)水合物开始分解时，天然气的产气速率随时间在逐步递减，当经过一段时间后，产气率趋于一稳定值。

(3)天然气的产气速率受井口压力的影响明显，通过降低井口的压力，可以明显提高天然气的产出速率。在天然气水合物的实际开采中，可以通过降低井口压力来提高生产效率。

[1] Ahmadi G, Ji C, Smith DH. Production of natural gas from methane hydrate by a constant down-hole pressure well[J]. Energy Conversion and Management，2007，48(7)： 2053-2068.

[2] Zhenwei Zhao，Xinchun Shang. Analysis for temperature and pressure fields in process of hydrate dissociation by depressurization[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2010(3).

[3] Ji C, Ahmadi G, Smith DH. Natural gas production from hydrate decomposition by depressurization [J]. Chemical Engineering Science，2001，56(20)：5801-5814.

[4] M.Janz. Moisture diffusivities evaluated at high moisture levels from a series of water absorption tests [J]. Materials and Structures，2007(35)：141-148.