基于滑模控制的H型运动平台改进型主从控制*

王丽梅，姜元昊

(沈阳工业大学 电气工程学院，沈阳 110870)

0 引言

随着工业技术的进步，人们在测量、数控加工等方面的要求越来越高，使得具有特殊的笛卡尔机械结构和先进的线性驱动且在工作区有非常高的精度和动态性能等优点的H型精密运动平台在精密测量、数控加工等领域的应用越来越广泛[1]。虽然H型运动平台Y方向上两个直线电机具有相同参数以及控制方法，但是由于运动过程中电机参数变化、负载扰动等外界不确定因素导致两平行轴电机的运动达不到同步的效果。

为了保证H型运动平台的加工精度，既要保证单轴的跟踪精度，还要控制Y方向上的两直线电机的同步误差。在单轴上，由于滑模控制以其控制算法结构简单、鲁棒性强和可靠性高等优点成为研究热点之一并被广泛应用[2-3]。文献[4]采用自适应模糊滑模控制策略来实现欠驱动平面机械手的位置控制，验证了滑模变结构算法具有很强的鲁棒性和快速性。文献[5-6]利用自适应律对系统不确定性扰动进行估算，增强了滑模变结构位置控制器的信号跟随性能，并且将反演控制成功应用到直线电机控制系统中[7]。文献[8-9]引入积分反演控制算法，解决了负载扰动和参数不确定性对系统伺服性能影响。本文在单轴上采用积分反演自适应滑模控制，因为反演控制能够保证系统的渐进稳定性，并且加入积分项可以使得跟踪误差更加高效地收敛于零。积分反演自适应滑模控制可以实现系统的快速跟踪性和强鲁棒性。

在同步控制中，本文采用改进型主从控制方法。传统的主从控制存在伺服滞后以及同步性差等缺点，有时会造成机械损坏[10]。文献[11-12]采用传统的主从控制减小同步误差，但是当电机出现负载扰动时，电机之间的同步误差就会变大。为了改善上述结构中的缺点，本文主从控制结构采用并联结构，在主从系统之间加入控制器，使得从动轴系统可以通过控制器及时修正与主动轴之间的速度、位置误差，形成一个能快速调整系统响应速度、抑制外部非线性扰动、提高双轴之间的同步精度，达到同步控制效果的主从控制器。

1 H型运动平台数学建模

H型运动平台的Y方向平行的两直线电机采用相同的参数，采用id=0的矢量控制方式可以推出：

(1)

式中，uq为永磁直线同步电机(PMSLM)动子在q轴下的电压；R为初级绕组的等效电阻；iq为q轴下的电流；Lq为q轴下的电感；τ为永磁体极距；v为电机的动子速度；ψf为永磁体磁链。

直线电机推力方程：

(2)

式中，Fe为电机的电磁推力；Ld为d轴下的电感；id为d轴下的电流。

(3)

式中，FL为负载阻力；D为摩擦系数；M为动子质量。

在理想状态下H型运动平台单轴的动态方程为：

(4)

式中，y(t)为动子位置，An=-D/M，Bn=Kf/M，Cn=-1/M；由于系统中存在不确定项，使得式(4)变为：

(5)

式中，ΔA、ΔB和ΔC为系统参数所引起的不确定量；I为系统不确定性的总和。

通过对H型运动平台进行受力分析以及力矩平衡方程可得到由于X轴运动造成对Y轴的负载力为：

(6)

式中，m3为X轴电机的动子质量；l为Y轴两直线电机的质心距离；a为平台运动的加速度；y为X轴电机的质心离X轴中点的距离。

通过以上分析得到H型平台的数学模型为：

(7)

式中,i=1,2分别表示两平行轴。

2 H型运动平台控制器设计

如图1所示为基于积分反演自适应滑模改进的主从控制的H型运动平台框图。

图1 改进型主从控制H型运动平台框图

两平行轴Y1轴和Y2轴的位置和速度作为主从控制器的输入，单轴上位置控制器采用积分反演自适应滑模控制，输入为单轴的位置误差。

2.1 单轴位置控制器设计

根据第1部分的介绍可得PMSLM的模型为：

(8)

定义单轴PMSLM跟踪误差为：

e1=dm-x1

(9)

式中，dm为位置给定，x1为实际位置；则

(10)

定义李雅普诺夫函数：

(11)

则

(12)

式中，x2为虚拟控制量。

定义稳态函数：

χ=c1e1

(13)

式中，c1为正的常数。

定义：

(14)

定义：

(15)

式中，λ是常数；

(16)

φ为跟踪误差的积分项，通过加入积分项，在稳定状态下，跟踪误差的收敛性可以得到更高效率的实现。

则有：

(17)

(18)

对式(17)进行求导得：

(19)

定义切换函数：

s=z1e1+z2e2

(20)

式中，z1和z2是正常数。

定义李雅普诺夫函数:

(21)

则

(22)

则设计的控制器为：

(23)

自适应律为：

(24)

式中，η为常数。

以上是单轴的积分反演自适应滑模控制的设计结果，接下来根据李雅普诺夫稳定性理论来分析其稳定性。

(25)

(26)

式中eT= [e1e2，P是正定对称矩阵。

所以，只要保证P是正定矩阵，就能使式(26)成立，使得系统稳定。而使P是正定矩阵得充分条件就是使P的主余子式的行列式都为正，证明如下：

(27)

(28)

2.2 同步控制器设计

同步控制中，主从控制器的原理是基于模型参考滑模控制，将主动轴看作模型，从动轴看作被控对象，通过两轴之间的速度、位置误差得到补偿量，补偿到从动轴中，使得两轴之间的误差收敛到零。

定义切换函数：

(29)

式中,γ为常数。

控制律为：

(30)

式中，1,2表示的是两平行轴，1表示主动轴，2表示从动轴，ξ为常数。

采用饱和函数代替符号函数，可消除抖振。

根据李雅普诺夫稳定性理论分析控制器的稳定性。

定义李雅普诺夫函数：

(31)

所以,

(32)

3 仿真与结果分析

H型运动平台各部分参数设定为M1,2=12kg,D1,2=4N·S/m,L1,2=82mH,R1,2=2.5Ω,ψf=1.107Wb,τ=32mm,l=320mm,m3=8.2kg,y=80mm。

单轴的IBASMC控制器的参数设置为z1=16,z2=25,c1=1500,λ=20,η=0.25,r=1。

主从控制器参数为γ=10,ξ=0.02。

图2是H型运动平台单轴的给定位置曲线和实际输出的位置曲线，可以看出两个输出曲线几乎完全重合。

图2 单轴给定和实际输出位置曲线

图3是单轴的位置误差曲线，在0.03s时误差就几乎收敛到零，在初始时瞬时最大误差为2mm。

图3 单轴位置误差曲线

图4是在2s时加200N负载扰动时的单轴位置误差曲线。在IBASMC控制下，系统的跟踪精度很高，并且削弱了抖振现象，使单轴具有更好地跟踪性与抗干扰性。

图4 加负载时单轴位置误差曲线

图5是双轴的实际位置输出曲线，从曲线中可以看出双轴的位置几乎一样，具有很好地同步性。

图5 双轴位置输出曲线

图6是双轴之间的同步误差，最大瞬时同步误差为0.1mm，虽然双轴上一直存在着X轴电机的扰动作用，但是从图中可以看出同步误差随着时间的推移近乎收敛到零。

图7是将传统型主从控制和改进型主从控制之间进行比较，从图中可看出传统型主从控制最大同步误差是0.025mm，而改进型主从控制最大同步误差是0.018mm，所以本文提出的改进型主从控制有效地减小了控制系统的同步误差，使系统的性能更加优越。

图6 系统同步误差曲线

图7 不同控制系统同步误差曲线

4 结论

本文首先对H型运动平台进行数学建模，其次在单轴控制中设计了IBASMC控制方法，该方法具有很好的跟踪精度和抗干扰能力；在双轴之间采用了改进型主从控制方法，该方法提高了系统的同步精度和跟踪精度，与传统的并联型主从控制相比，该方法削弱了双轴之间由于机械耦合对系统的影响。仿真结果证明，所设计的控制方法有效地提高了H型运动平台的跟踪精度、抗干扰能力和同步精度。