并联系统分布预测控制

张舒展，赵东亚，朱全民

(中国石油大学(华东)化学工程学院，山东 青岛 266580)

0 引言

分布式模型预测控制(distributed model predictive control,DMPC)是为了避免控制器计算负担过重而提出的一类新型预测控制方式[1-3]。过程网络按照结构分解后，分为串联和并联两种基本的连接形式[4-6]。并联系统，例如全混流反应器(continuous stirring tank reactor，CSTR)乙醇生产过程控制系统[7-9]。其特点是各个子系统之间都存在信息和能量的耦合，在工艺和结构上存在干扰与竞争，其状态矩阵为全系数矩阵，优化问题需要考虑竞争关系。目前，关于并联系统分布式预测控制问题的研究鲜有报道。

本文结合并联系统物理结构，提出了一种新型并联系统生产过程的分布式预测控制算法。该算法考虑了并联系统的竞争性耦合，保证了优化问题的可行性和稳定性。以燃气锅炉供暖系统为例，验证了该算法的有效性和可行性。

1 问题描述

并联系统物理模型如图1所示。整个系统包含N个子系统。每个子系统都有一个DMPC，并具有对应的子系统控制律uN。每个子控制器之间通过控制网络进行信息交流。系统的控制目标是使每个子系统输出跟踪设定值，并实现系统整体最优控制。

图1 并联系统物理模型图

并联过程的特点是每个子系统与其他各子系统的输入存在耦合。

系统的传递函数矩阵为：

定义1 若子系统i与子系统j在整个系统中并联于同一条总线，在满足常规约束的同时，由于总线资源一定，则||ui||+||uj||≤||u||称为竞争性耦合的线性约束。

对于传递函数矩阵，可以采用传统的集中式预测控制。当子系统较多时，会导致控制器计算负担过重。分布式预测控制通过多个控制器协调工作，可较大程度地提高系统的工作效率。考虑Na个子系统及参考目标的动态方程如下：

xi(k+1)=Aixi(k)+Biui(k)i∈Na

(1)

式中：xi∈Rn和ui∈Rm分别为子系统i(参考目标)的可测状态和控制输入；Na为指标集。

在k时刻，各子系统i的成本函数为：

(2)

式中：zij为第i个子系统与第j个子系统的状态预测偏差；zir为第i个子系统与第r个子系统的状态预测偏差；uir为第i个子系统与第r个子系统的输入预测偏差；Pi(k)为终端权重矩阵；Qi(k)和Ri为相应的局部权重矩阵。

(3)

全局权重矩阵R=diag{R1，R2， …，RNa}∈RmNa，Q(k)=GW(k)GT∈R(Na×Na)，其中，G=[G1,G2,…,GNa]∈Rn(Na×M)为指定的全局通信耦合关系矩阵，G′=[gpqIn]∈Rn(Na×Mi)，W(k)=diag{W1(k)，W2(k),…,WNa(k)}∈Rn(M×M)为k时刻的全局权值矩阵。

(4)

(5)

第i个子系统的状态方程可表示为：

(6)

整个过程可以由状态方程(7)和输出方程(8)描述：

(7)

(8)

式(2)、式(7)和式(8)表明了并联结构中各子系统之间的耦合关系。

2 分布式预测控制设计

在分布式预测控制中，采用以下条件(即终端约束条件)来保证系统稳定性：

(9)

式中：εi(k)和Pi(k)分别为待定的标量和终端控制律；Si为满足diag{S1,…,SN}≥G的任意正定矩阵；xi和uir分别为子系统i的状态和输入约束集。

令Ωi(N|k)={xi(N|k)}表示子系统i在k时刻的终端约束集。

(10)

(11)

由于各子系统通过求解优化问题来计算当前时刻的控制输入，因此，设计预测控制器需要保证优化问题在任意时刻都有可行解[10-19]，即递归可行性。

定理1 针对并联系统(1)，在式(9)的约束下，设计式(11)的控制率。如果式(10)在k=0时刻可解的条件下，对给定有限时域T>0，基于并联系统的分布式预测控制算法在任意k>0时刻收敛。

上述定理保证了优化问题的递归可行性和多子系统的闭环稳定性，即保证了控制器的有效性。基于以上结论，为各个子系统设计如下分布式预测控制应用算法。

3 并联燃气锅炉供暖系统仿真

为了验证算法的有效性，本文选择了燃气锅炉供暖系统这一并联过程进行仿真。系统简化物理模型如图2所示[19-21]。

图2 系统简化物理模型图

动态特性分析如下。

单独考虑用户1时，有：

c(uik)ΔT=cQ1(Tin1-Tout1)

(12)

Rn1c(u1k)ΔT=Tin1-Tout1

(13)

经过拉式变换，得到：

Tin1(s)=csΔTRnu(s)+Tout1(s)

(14)

设Kn=ckΔTRn，得到：

Tin1(s)=Knu(s)+Tout1(s)

(15)

整体考虑用户室内散热，可以得到二次网供水、回水的热量损失等于室内空气及墙体热量获取和窗口热量散失。

(16)

(17)

(18)

本文以二次网回水温度为被控量，传递函数为：

(19)

以上公式中：Q1为二次网流量;Tin1、Tout1分别为用户1二次网进水与回水温度，Tout1=T1；ΔT为一次网供水温度与回水温度之差；M为室内物质总体加权质量；c′为室内物质总体加权比热；r1为窗口传热系数；S1为窗口散热面积；T′为室外温度。

根据供暖系统二次网回水温度，进行模型参数识别试验，测量得到回水温度数据。多次采集温度数据并取平均。

根据采集到的数据，将温升曲线离散化，求出阶跃响应曲线，建立预测模型。系统以二次网回水温度为被控量，以双通阀开度为控制量，采样周期Ts=500 s，采样长度N=100，预测长度P=25，控制时域M=1。如果采用分布式预测控制，对20组子系统进行仿真，前两组子系统的分布式预测控制仿真结果如图3所示。

图3 分布式预测控制仿真结果图

从图3可以看出，两个并联用户都可以较快地达到需要的温度，两者区别仅仅在于控制作用不同，控制效果几乎相同。由此可见，该分布式预测控制对于这类并联系统具有良好的控制效果，算法计算时间为1.35 s。如果采用PID控制同样的系统，前两组子系统的PID控制仿真结果如图4所示。

图4 PID控制仿真结果图

并联过程的分布式预测控制采用PID控制算法，算法计算时间为2.04 s。如果采用集中式预测控制同样系统，前两组子系统的集中式预测控制仿真结果如图5所示。

图5 集中式预测控制仿真结果图

分布式预测控制与集中式预测控制性能相当，但分布式预测控制算法的计算时间为1.86 s，比分布式预测控制算法的计算时间长。

4 结束语

并联系统是过程连接最基本的形式之一。本文针对并联系统的全系数耦合与线性约束问题，研究了分布式预测控制算法。根据并联系统的各个子系统的输出与各子系统输入竞争性的特点，采用迭代分布式预测控制算法，解决了并联系统的全系数耦合问题。在此基础上，提出了并联系统分布式预测控制器算法。根据其迭代计算条件，得出各子系统竞争性的平衡关系。在优化问题中考虑了线性约束，保证了优化问题的递归可行性和整个系统的闭环稳定性。通过对燃气锅炉供暖系统的仿真[20-22]，验证了该方法的可行性和有效性。

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