网络控制系统多参最优性能研究

(武汉科技大学信息科学与工程学院，湖北 武汉 430081)

0 引言

网络控制系统(network control system,NCS)是目前研究的热点问题，研究的热点之一在于考虑网络时延、数据丢包、量化误差等对系统性能的影响。文献[1]～[2]分别研究了数据丢包和乱序NCS稳定性问题，建立了Markov模型，设计了状态反馈控制器;文献[3]采用一种新的随机计算方法，针对时变时延，研究了丢包、通信约束下NCS的稳定性；文献[4]针对前向通道具有网络时延，研究了系统的最优性能跟踪问题。

本文在文献[4]的基础上考虑了反馈通道具有数据丢包的情形，不仅分析了跟踪性能与非最小相位(non-minimum phase,NMP)零点、不稳定极点、时延和数据丢包等单个参数的关系，而且还研究了这些参数相互耦合时六种情形下对跟踪性能的影响。这对于了解控制系统的性能极限与对象特性之间的关系，理解设计的权衡和限制起着重要的指导作用。

1 有关基础知识

当且仅当存在多项式x(s)和y(s)，使得式(1)成立时，则称多项式f(s)和g(s)是互质的。

fx+gy=1

(1)

式(1)称为Bezout等式[5]。对任意正则实有理传递函数矩阵G属于RH的八个矩阵，满足如下关系[6]：

(2)

(3)

20世纪70年代后期，针对线性时不变系统，Youla等人给出了使得系统稳定的所有控制器的参数化方法，得出如下结论：对于使系统达到渐进稳定的控制器K，都可以通过Youla参数化进行分解。

2 跟踪问题描述

系统的跟踪性能通过参考输入信号和输出能量之差来衡量。假设系统的初态为零，系统的跟踪性能指标定义为：

(4)

(5)

3 最优跟踪设计

系统框图如图1所示，G(s)与K(s)分别为对象模型和控制器的传递函数，τ为网络时延，r和y分别为参考输入和系统输出，e为跟踪误差。本文将丢包的情形模拟为一个伯努利事件，用开关T来模拟反馈通道数据传输过程：当T闭合时(为1)，数据成功传输，概率为Psuc；当T断开时(为0)，数据丢失，概率为Pdrop，其中，Psuc=1-Pdrop。为了书写方便，令q为数据成功传输的概率。

图1 具有时延和丢包的系统框图

系统闭环传递函数为:

考虑r为单位阶跃信号,即当t≥0时，r(t)=1；当t<0时，r(t)=0,则有：

(6)

当N(s)、M(s)∈RH时，对qG(s)进行右互质分解，有：

(7)

根据全通理论，进一步分解M(s)、N(s)，可得：

M(s)=Bp(s)Mm(s)N(s)=qBz(s)Nn(s)

(8)

(9)

式中：Bp和Bz为全通因子，Bp包含对象所有不稳定极点pj∈C+，j=1,…,m，Bz包含对象右半平面所有零点zi∈C+，i=1,…,n；Mm和Nn为最小相位部分。

对于任意X(s)、Y(s)∈RH满足Bezout[7]，证明见Meinsma和Zwart[8]文中定理3.2。

M(s)X(s)-e-τsN(s)Y(s)=1

(10)

当Q(s)∈RH时，通过Youla参数化[7]可将所有镇定控制器的集合表示为：

(11)

由式(6)、式(7)、式(10)和式(11)可得：

(12)

为求出系统跟踪性能J的最优值，在前向通道有延迟环节的基础上[4]，引入定理1。

定理1 对于图1所示网络反馈控制系统,系统的最优性能为：

(13)

定理1证明如下。

根据式(5)和式(12)可得：

(14)

令T=eτs+q-1N(Y-MQ)，则求解系统跟踪最优性能Jopt等价于求解Topt。

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：L(s)∈RH；

根据Bezout等式(10)，由M(pj)=0，可得：

(19)

则可得：

由于Nn和Mm均为外部函数和最小相位部分，因此容易得出：

(20)

至此完成定理1的证明。定理1说明考虑网络时延和数据丢包,线性时不变单输入单输出(single input single output,SISO)系统最优跟踪性能指标由控制对象的NMP零点a、不稳定极点c、网络时延τ和数据丢包概率(1-Psuc)共同决定。

4 仿真示例

考虑不稳定模型对象：

(21)

式中：a∈(0,10);c∈(0,10)。

根据定理1，系统最优跟踪性能Jopt的表达式为：

(22)

4.1 单变量研究

分别研究Jopt曲线和非最小相位零点a、不稳定极点c、网络时延τ和数据丢包概率(1-Psuc)的关系，仿真曲线如图2所示。

图2 最优性能Jopt随单变量变化曲线

从图2可以看出，NMP零点、不稳定极点对Jopt的影响类似，当零极点绝对值较小时，Jput随着零极点离坐标轴的距离变远而变差，较大时影响变小；存在时延的NCS，其跟踪性能随着网络时延的增加、数据丢包概率的增大而恶化，所能允许的时延和丢包有一定的范围限制。

4.2 多变量研究

考虑两个变量对Jopt的影响,分以下六种情形进行仿真研究。

① 当z1=a=2、p1=c=1时，研究Jopt和Psuc、τ的关系，仿真曲线如图3所示。

图3 最优性能Jopt和τ、Psuc仿真曲线

② 当τ=0、Psuc=1时，研究Jopt和a、c的关系，仿真曲线如图4所示。

图4 最优性能Jopt和a、c仿真曲线

③ 当Psuc=1、c=1时，研究Jopt和a、τ的关系，仿真曲线如图5所示。

图5 最优性能Jopt和a、τ仿真曲线

④ 当τ=0、c=1时，研究Jopt和a、Psuc的关系,仿真曲线如图6所示。

图6 最优性能Jopt和a、Psuc仿真曲线

⑤ 当Psuc=1、a=2时，研究Jopt和c、τ的关系，仿真曲线如图7所示。

图7 最优性能Jopt和c、τ仿真曲线

⑥ 当τ=0、a=2时，研究Jopt和c、Psuc的关系，仿真曲线如图8所示。

图8 最优性能Jopt和c、Psuc仿真曲线

从图3可以看出,数据成功传输的概率越大，最优性能Jopt越好，时延越大，性能越差，当数据丢包和时延超过一定范围时，性能明显变坏。图4反映了Jopt随着的NMP零点、不稳定极点离坐标轴的距离变化而变差，当零极点相消时，性能被破坏。图5和图6分别反映了NMP零点和时延、丢包的关系，图7和图8则分别反映了不稳定极点和时延、丢包的关系。图6～图8说明，当零极点为某一分布时，所能允许的时延和数据丢包均只能在某一范围内。

5 结束语

本文主要研究了网络控制系统的最优跟踪性能与网络时延、数据丢包、NMP零点、不稳定极点之间的相互关系。首先建立了系统模型，然后进行最优跟踪设计，最后通过七组仿真试验验证本文方法的有效性和可行性，表明控制对象的NMP零点、不稳定极点、网络时延和数据丢包的概率共同决定了最优跟踪性能，以及它们是如何从根本上影响最优跟踪性能的。该方法还可以推广到带宽、量化误差、信噪比、参考信号等情形。

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