基于GA-PSO融合算法的开采沉陷Richards预计模型参数优化

卢克东 徐良骥 牛亚超

（安徽理工大学空间信息与测绘工程学院，安徽 淮南 232001）

现有研究表明，地表沉陷与地下土壤成分、岩石结构、应力变化等诸多因素有关［1-4］。为了更加精确地掌握地表下沉规律、地表形变状态，并进行精确预计，不少学者通过对矿区开采沉陷规律的研究提出了多种预计模型，其中主体模型可分为力学解析模型和时间函数模型。时间函数模型是矿区地表在资源开采之后下沉值随时间变化而形成的“S”型模型，其下沉值随时间的变化而变化，可以有效模拟地表下沉的最终状态。能够拟合矿区资源开采后地表下沉的曲线方程有多种，如Knothe函数、Logistic曲线、Richards曲线等。学者们研究发现，Knothe，Logistic等模型各有优缺点，这些模型在矿区开采沉陷方面具有较好的适应性［5-10］，但这些模型都具有固定的拐点，都只能准确描述“S”曲线的某一部分，不能完整模拟地表沉降的全过程，与之相比，Richards模型具有4个参数，通过改变其中一个参数，能演化成上述所有模型方程或其过渡方程。文献［11］研究表明，Richards曲线模型对实际地表下沉规律的拟合效果最好，预计精度最高［11］。

为了更加精确求解地表下沉值，建立更加符合地表下沉规律的动态预计模型，本研究提出了一种基于遗传-粒子群算法（GA-PSO）［12-15］的Richards采煤工作面地表沉降动态预计模型，通过对其参数进行优化，提高预计精度，并结合工程实例比较分析GA-PSO算法优化Richards时间函数模型的精度及其适应性。

1 Richards模型及参数估计

1.1 Richards函数模型

Richards函数增长模型最早用于描述生物数量的增长状况，对于准确反映生物数量的增长具有很强的适应性［16］。Richards函数模型表达式为

式中，y(t)为地表某点在t时刻的下沉量，m；A为地表某点下沉的最大值，m；B为与初始值有关的参数；K为描述地表下沉快慢的参数；δ决定着曲线图的走势及拐点的位置；ε为随机误差。通常将式（1）、式（2）式称为Richards生长曲线方程。

对（1）式求一阶导数即为地表某点t时刻的下沉速度，可得，即y(t)为自变量t的增函数；对式（1）求二阶导数即为地表某点t时刻的下沉加速度，令其二阶导数为0，可得Richards曲线唯一一个拐点坐标，即，y(t)=Am-1/δ。

1.2 Richards模型参数估计

由式（1）可以看出，Richards函数模型是一个具有4个参数的复杂非线性生长曲线方程。根据经验及大量实测资料分析表明，Richards函数模型4个参数与矿区地质条件密切相关。由文献［11］可知，根据模型参数与矿区地质条件的相关关系，作回归分析可得：

式中，y(0)为初始时刻沉降值，m；c为工作面推进速度，m/d；tanβ为主要影响角正切；m为采厚，m；H为采深，m；q为下沉系数；α为煤层倾角，（°）；d1、d2分别为沿走向和倾向的充分采动系数；k为系数，取值范围为 2～3［17］。

Richards函数模型中表征地表下沉快慢的参数K、地表下沉曲线形状参数δ及任意点最大下沉值A与煤层深厚比、覆岩软硬程度、工作面推进速度以及工作面是否重复采动等条件密切相关，可以结合矿区已知的经验参数或相邻工作面的概率积分参数求出，再代入式（1），即可求得参数B。

上述Richards函数模型的3个预计参数根据矿区地质条件的实测资料，通过式（3）求取一个相对值，虽然根据求取的相对值能够大致符合地表下沉规律，但精度还有进一步提高的空间。值得注意的是，矿区开采地表下沉初始时刻的临界下沉值难以确定，根据《建筑物、水体、铁路及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程》［18］，通常以10 mm作为初始时刻下沉值。时间基线的相对增加可以使初始时间段的下沉速度曲线相对平缓，为体现地表下沉全过程，避免初始时刻下沉临界值设定过大而造成细节缺失，误差增大，故选取零时刻下沉值为0.01 mm。最终下沉值A可以通过概率积分法或者实际测量值得到，至此Richards函数模型中的4个参数全部得出。

2 GA-PSO优化算法设计

遗传算法（GA）具有全局搜索能力强、内在隐并行性等特点，但容易早熟收敛，陷入局部最优［19］。粒子群算法（PSO）是通过模拟鸟群觅食而发展起来的一种智能随机搜索算法。与遗传算法相比，多数情况下，PSO中的粒子能够更快地搜索目标，具有更快的收敛速度，但PSO又具有易发散、种群粒子多样性差的不足。

GA和PSO具有共同之处，也有不同之处［20］，两者都可随机初始化种群，都使用适应度值来评价系统，并且都可根据适应度值来进行一定的随机搜索，但二者都不能保证一定得到最优解。因此本研究将GA算法与PSO算法相结合，在GA算法中引入具有粒子群算法特征的参数，使具有优良变化能力的GA加入PSO的记忆能力，改进种群变异，使得整个种群向着全局最优的方向快速收敛。

2.1 算法原理

在遗传粒子群融合算法的粒子群算法模块中，每个粒子都会具有速度和位置两个基本特性。粒子会按照自身当前最优状态和群体最优状态等因素的影响来调整自身参数。假设D维空间中每个粒子i第d次迭代后的更新速度和位置分别由表示，则每个粒子速度和位置迭代可分别由式（3）和式（4）实现：

式中，ω为惯性权重；c1和c2为加速度常数，分别表示个体学习因子和全局学习因子，是反映当前粒子间相互学习与信息交流的因子，数值设定大小关系到粒子寻优进程的时间长短，一般设置范围为c1=c2∈[1,2.5 ]，本研究设定c1=c2=1.35；pBesti表示粒子i的个体极值；gBest表示整个粒子群的全局极值。

惯性权重ω是PSO算法中另一个重要参数，体现了粒子改变前后阶段迭代速度的能力。ω取值较大，有利于全局寻优；取值较小，则有利于局部寻优。典型的惯性权重选择是惯性权重递减策略，该策略可以简便高效地提高算法的全局收敛性和收敛速度，并且具有较好的稳定性。为平衡全局搜索能力和局部搜索能力，借鉴文献［21］的研究方法引入权重：

式中，ωmax为最大惯性权重值；ωmin为最小惯性权重值；tmax为最大迭代次数；t为当前迭代次数。根据文献［21］，本研究ωmin=0.4，ωmax=0.95。

遗传算法的主要特点是直接对结构对象进行操作，对于求解某些全局最优的问题具有良好的鲁棒性。本研究遗传算法主要将表示模型参数的粒子作为基因遗传的载体，即“染色体”。将“染色体”经过一系列选择，交叉、变异处理之后，从中选择出符合约束条件的最优个体，在满足条件下更新个体与种群，从而得出最优解。

2.2 初始种群的产生和编码

随机生成一个种群pop=100，并初始化速度Vmax=1，Vmin=-1，其中变量取值范围自定义。为方便编码，提高GA-PSO优化解的精度，本研究直接将各个待优化参数以实数形式编码生成种群。设置染色体长度为4，交叉概率为0.6，变异概率为0.35，并根据需求确定Richards模型中各参数组成的适应度函数。

2.3 GA和PSO融合执行

遗传粒子群融合算法是将需要优化的参数作为要优化的对象，需要优化的粒子数目即参数个数。利用PSO算法的深度寻优特性不断更新粒子，并经过速度更新、种群更新，选出相对较优的种群，再使用遗传算法对种群进行处理。设置染色体的数量长度等于最终需要求取的优化参数个数，对种群进行交叉、变异处理，并计算适应度值是否满足条件，最终得出较为理想的结果。本研究遗传算法与粒子群算法相结合的融合优化算法流程如图1所示。

3 模型精度评定

实践证明，工作面上方某监测点的下沉规律按照下沉速度与加速度可分为3个阶段，分别为初始阶段、活跃阶段和衰退阶段。为验证GA-PSO算法优化的Richards模型在工程中的应用效果，选取淮南某矿某一采煤工作面地表实际变形数据分析该模型的地表动态预计精度。

该工作面由于地下煤层开采而引起了煤层上方的厚松散层产生移动变形。工作面走向长1 336 m，倾向长230 m，地面标高为22.3～23.1 m，工作面平均采深为959.7 m，煤层倾角约3°，煤层厚度约1.8 m。为研究工作面上方地表沉降变形规律，分别布设了一条走向线和一条倾向线，其中走向线长约2 986 m，倾向线长约1 919 m。

3.1 实例应用与分析

试验中取工作面上方靠近边缘走向线其中一点的各期下沉值进行验证，经过筛选以ml44号监测点为例，该点位在不同开采时间下的地表下沉观测值、GA-PSO优化算法获得的预计值及各期残差值如表1所示。

由表1可知：m144号点的最大预计误差出现在工作面推进第195 d，最大残差值为-8.4 mm，最小残差为0.2 mm，平均误差为3.4 mm，中误差为4.31 mm。

ml44号点的实测值曲线与预计值曲线如图2所示，该点的下沉速度和加速度预计值如图3所示。

由图2和图3可知：基于遗传粒子群算法优化的Richards模型的下沉拟合曲线与实测值曲线基本重合，预计值与实测值的误差较小，说明GA-PSO融合算法参数优化拟合效果良好；预计下沉速度和加速度基本符合开采沉陷地表下沉规律，表明预计值有效。图2和图3中初始下沉速度和加速度均不为0，是初始时刻下沉值不为0所致。

3.2 有效性验证

为验证遗传粒子群算法对参数优化的有效性，将基于GA-PSO参数优化得到的预计结果分别与工作面地表监测点的实测值以及传统遗传算法、基于变步长FOA拟合法得到的预计值进行了比较（表2），结果见表2。

由表2可知：基于GA-PSO参数优化法得到的预计结果的相对误差整体较小，其中最大相对误差为6.42%，最小相对误差为0.05%，小于其他两种方法，表明GA-PSO参数优化后的Richards模型预计精度较高。

模型参数的拟合误差可进行如下计算

式中，y(t) 为实测值；(t)为预计值；n为观测期数。

经计算，上述3种模型的拟合误差及其中误差见表3。

分析表3可知：基于GA-PSO参数优化所构建的模型预计误差和中误差均小于其余两类方法，表明本研究构建的Richards模型适应度良好，非线性拟合相关性较高。

为进一步分析新模型对本研究工作面地表其余观测点的适用性，选择了走向线和倾向线上分别位于工作面边界附近、拐点附近、盆地中心部位数组质量较好的监测点数据进行了验证。模型预计值与相应点位实测值的差值分布如图4所示。

由图4可知：当开采时间进入到150～350 d，开采工作面对观测站监测点影响较大，预计误差增大。其中最大误差出现在开采时间进度为257 d时ml41号点，最大误差为3.26 cm，主要是由于工作面推进速度不一导致地表下沉速度增大发生突变所致。当开采时间在350 d之后，监测点数据受开采影响逐渐减小，观测站趋于稳定，后期观测时间长，误差有所减小。在观测时间进度为665 d时，实测值与预计值的最大误差为2.95 mm，最小误差为0.1 mm，中误差为1.48 mm。各监测点各期的预计误差见表4。

综上所述，基于GA-PSO参数优化法所构建Richards函数模型能够反映出采动区地表沉陷规律，对于精确预计矿区地表沉陷有一定的作用。

4 结论

（1）Richards函数模型能够有效拟合矿区开采地表沉陷规律，但拟合精度仍具有较大提升空间。本研究融合GA与PSO算法优势，提出了GA-PSO融合算法，对Richards函数模型进行了参数优化。实际工程案例分析表明，GA-PSO融合算法优化后的模型拟合误差达到0.025 8，中误差达到4.31 mm，实现了对模型预计精度的提升，适应性更好。

（2）GA-PSO融合算法具有全局寻优、自动获取和指导优化搜索空间的优点，有利于得出更加精确的预计模型参数，使得预计结果更加符合矿区实际开采地表下沉规律。但GA-PSO融合算法的引入势必会增加算法的复杂度，确保在预计精度不变的情况下提高算法的收敛速度和运行效率是下一步的研究重点。