基于MATLAB多约束磨齿余量调整方法研究与实现

狄成宝,罗有朋,李军,熊小林

(重庆齿轮箱有限责任公司,重庆 402263)

0 引言

对于一些渗碳淬火的薄壁大齿圈,由于热后变形较复杂,为了使磨齿余量分配更加合理,要求热后精车的找正基准要参照全齿扫描报告进行修正,保证各齿面有余量且余量尽可能分配均匀。随着先进制造技术的发展,磨齿余量均匀化技术大多被集成到磨齿机中。目前主要是利用机床的在机测量系统进行齿面余量检测,然后根据检测数据,通过智能算法进行二次分配,如KIM等[1]、HUNDT等[2]、KHUDOBIN等[3]针对AE传感器在磨削加工中的应用进行了研究。刘海宁[4]为了解决数控蜗杆砂轮磨齿机余量分配问题,研究了利用AE 声发射器进行接触信号检测的技术。张国辉和彭宁等[5-6]针对数控砂轮磨齿机的余量分配问题,分别介绍了采用高灵敏度AE 传感器和采用在机测量测头实现磨齿余量智能分配的原理及实现过程。此外,吴彬彬、张虎等[7-8]针对数控成形磨齿机在线测量存在标定误差的问题,通过研究齿廓倾斜偏差与径向标定误差和切向标定误差之间的规律,提出了一种标定误差的辨识和补偿方法,使磨齿余量分配更加准确。而石照耀等[9]提出了一种测量渐开线轮廓误差的广义极坐标法,并给出了在法向评定轮廓误差的计算公式,进一步促进了磨齿机余量分配在线技术的发展。另外,刘俊辉等[10]提出了一种偏心放置分段齿圈的加工方法,该方法通过几何变换推导偏心放置跳齿加工的补偿量,其核心也是解决齿面余量不均匀的问题。

以上技术主要研究齿轮二维平面内齿面余量分配方式,而在工程应用中发现,齿圈热后变形是十分复杂的,单纯在平面内进行调整很难达到理想的效果,采用最多的是径向调整+端面调整相结合的方式。但是,端面和径向调整对各个齿面余量分配的影响是非线性的,这就导致在工程实践过程中很难摸清其调整规律,光靠经验尝试,执行效率低下,甚至造成误判。因此,迫切需要一种更高效的调整方法。

1 数学建模

图1为全齿扫描装夹示意图。扫描前,首先通过找正上旋向齿和下旋向齿节圆跳动,通过件6和件4把齿圈移动到一个预定位置(工艺要求对点跳动值)。然后进行全齿扫描,见图2。全齿扫描报告记录每个齿面的最大余量值和最小余量值。

1—探头组件;2—磨齿机机架;3—人字齿;4—端部千斤顶组件;5—旋转工作台;6—径向千斤顶组件。图1 磨床人字齿全齿扫描示意图

图2 单旋向单齿面图例

由于热后变形导致齿圈呈现扭曲、锥形、马鞍形、椭圆形等形态,热后变形的不确定性,使磨齿找正难度增大,工程应用中凭借经验,通过径向和端面组合调整,尝试找到一种较优的调整方式。但是,径向和端面调整对齿面余量的影响是非线性的,这会导致齿面调整的效率低下。为了尽快找到一种较优的调整组合,必须先建立径向、端面调整和齿面余量的关系。

1.1 变换矩阵的数学模型

由于空间变换矩阵既适用平面体,又适用曲面体,为了便于观察,选取齿轮底面外圆上的点P为研究对象,推导齿面调整空间变换的通用变换矩阵。

如图1所示,令件4支撑分布圆为da,调整时按以下步骤。步骤1,在xwj相位处,千斤顶单点抬高幅值为th;步骤2,在xwj1相位处,通过径向千斤顶径向移动为tr。其变换示意图如图3所示。其中P点变为P′,其坐标点变换等价于以下坐标系变换:1)坐标系按照右手握旋法则绕z轴旋转xwj;2)在1)中坐标系基础上按照右手握旋法则绕y轴旋转θ;3)在2)中坐标系基础上, 按照右手握旋法则绕z轴旋转-xwj;4)按照向量oo′移动;5)按照向量tr移动。

图3 零件变换示意图

由空间几何知识可知:

步骤1)对应的变换矩阵为

(1)

步骤2)对应的变换矩阵为

(2)

式中θ=arcsin(th/da)。

步骤3)对应的变换矩阵为

(3)

步骤4)对应的变换矩阵为

(4)

步骤5)对应的变换矩阵为

(5)

(6)

1.2 包容齿面的数学模型

由于齿轮热后发生不规则的变形,而在实际的工程应用中,只关注最高点和最低点余量的变化。为了简化热后齿面模型,最大限度地满足工程应用需求,本文把成品齿面通过轴心旋转得到的齿面余量最高点和最低点的包容曲面(图4)做为研究对象进行阐述。为了便于表达,用右旋左齿面做为案例阐述。

图4 包容齿面示意图

成品齿面方程LG,i可表示为

(7)

式中:dt,i=2·i·π/Z+ω-π/Z;p=r/tanβ,右旋取正,左旋取负。

根据全齿扫面,令第i个齿槽右齿面最大、最小余量值分别为σimax、σimin。为了避免在模型调整过程中出现原始曲面与调整曲面交叉的情况,设定裕量值δ,再由最大、最小包容面的生成机理可知最大包容面方程LG,imax为

(8)

最小包容面方程LG,imin为

(9)

式中:

dt,imax=dt,i+(σimax+δ)/(r·cosα·cosβ)

(10)

dt,imin=dt,i+(σimin+δ)/(r·cosα·cosβ)

(11)

式(7)—式(11)中:rb为基圆半径;x(1)、x(4)、x(7)为渐开线展角参数;x(2)、x(5)、x(8)为螺旋线角度参数;x(3)、x(6)、x(9)为升程参数;r为分度圆半径;α为分度圆压力角;β为分度圆螺旋角;Z为总齿数;i为齿槽序列(0,1,2,…,Z-1);ω为齿槽半角;Bb为螺旋面起始面距坐标系底面的距离。

1)最小余量值计算模型

对单个齿面来讲,变换后齿面余量最小值可用变换后的最小包容齿面和成品齿面间的最小值。由于设置了裕量值δ,使得调整后的包容齿面始终位于成品齿面的同一侧(不交叉),因此,两齿面距离值的表达式可表示为λi=|T3T2T1·LG,imin+T4+T5-LG,i|-δ,即向量的模,第i个齿面的最小值记为λimin。在第j次寻优计算中,一侧齿面组中的齿面余量最小值记为djmin,即djmin=min (λ0min,λ1min,…,λZ-1min)。工程应用中,在验证齿面渗碳层深满足设计要求的情况下取最大值所对应的调整方案,即max (d0min,d1min,…)所对应的调整方案。

2)最大余量值计算模型

最大余量值计算模型和最小余量值计算模型有点相似,唯一不同的是在求解单齿面距离值时参变量的取值情况不同。如图5所示,可以把齿面看成一个U、V面,在求解最小值时,U、V参变量在一定范围内可以任意取,而求解最大值时,U、V方向的参变量必须相同。这是因为,此时如果还是像求解最小值取时,最大值就处在两曲面对角点位置,这是不对的。其表达式为

图5最大值求解原理图

λi=|T3T2T1·LG,imax+T4+T5-LG,i|-δ

式中:x(1)=x(7);x(2)=x(8);x(3)=x(9)。

在第j次寻优计算中,一侧齿面组中的齿面余量最大值记为djmax,即djmax=max (λ0max,λ1max,…,λZ-1max)。

在寻优得到max (d0max,d1max,…)对应的调整方案后,验证磨掉djmax余量后,齿面渗碳层深还能满足设计研究,此次调整计算就算完成,否则剔除此处调整方案,继续按照1.2小节1)和2)所述方案进行寻优。

2 MATLAB与模型对比验证

2.1 MATLAB模型

图6为多次调整寻优的程序框图。在此,需要特别提出的是单齿面最小、最大余量求解方法。由于每个曲面控制变量为3个,用传统的多层for循环求解效率太低,为了提高求解效率,把此问题转化为有约束最小化求解的规划问题。其中,规划的目标函数就是1.2小节中1)的λi。而在求解最大余量值时,则采用求1.2小节中2)的-λi的最小值。

图6 单旋向单齿面程序框图

2.2 三维模型

图6程序用的是计算完所有调整对应齿面组中的每个齿面的最小值(最大值),然后索引符合要求的情况。其中,验证单次调整中各齿面余量(最小或最大)的正确性最为关键。为了达到验证的目的,首先用UG建立人字齿三维模型,其三维模型参数如表1所示。

表1 UG人字齿模型参数表

如图7所示,坐标系位于右旋齿右端面处,为了便于观察,取各齿面余量值均为5.5mm(其中含5mm裕量阈值),取左旋左齿面为研究对象。

图7 UG人字齿三维图

1)最小值余量比对

首先,令tgh=2(端面抬高幅值);xwj=0(端面抬高相位);xwj1=0.5·π(径向移动相位);tr=0.5(径向移动幅值)。

通过三维模型变换后计量曲面距离的变化,把三维模型计量的结果与MATLAB计算的结果进行比对,验证MATLAB模型的正确性。

为了便于观察,首先建立一个齿轮的三维模型,取每个齿面的余量都相等。

图8、图9分别为在0相位端面抬高2mm、在90°方向移动0.5mm的三维齿面余量值和MATLAB计算值;第0齿槽、第4齿槽、第12齿槽误差值分别为0.012 6mm、-0.030 8mm、0.058 1mm。

图8 三维模型最小值

图9 MATLAB各齿面余量值

2)最大值余量比对

令tgh=2(端面抬高幅值);xwj=0(端面抬高相位);xwj1=0.5·π(径向移动相位);tr=0.5(径向移动幅值)。如图10和图11所示,第0齿槽、第4齿槽、第12齿槽左齿面误差值分别为0.050mm、0.005mm、0.010mm。

图10 三维模型最大值

图11 MATLAB各齿面余量最大值

3 结语

从图8—图11三维模型和MATLAB计算结果可以看出,无论是最大值误差还是最小值误差都是存在的。主要原因如下:1)在包容齿面方程推导过程中,最大、最小包容齿面余量是以分度圆处余量为基准来算的,用此表示齿面其余部位余量是存在原理误差的;2)在MATLAB齿面最大值和最小值求解计算中,都用到了MATLAB函数,此函数提供大型优化算法(内部映射牛顿法)和中型优化算法(二次规划法),不同优化算法之间也存在计算误差。但从对比结果可以看出,无论最大值还是最小值,误差值都控制在0.06mm以内,而工程应用一般在0.1mm级内进行调整,所以,这个误差可以接受的。