单输入齿轮分扭传动系统动态均载的刚度敏感性分析

时间：2024-07-28

龙珊珊，朱如鹏，靳广虎

(南京航空航天大学, 江苏南京 210016)

0 引言

齿轮分扭传动系统具有体积小、传动比大、可靠性高等优点[1-3]，广泛应用于航空、航天等领域。目前，国内外学者[4-11]就圆柱齿轮分扭传动系统的动力学特性开展了一系列的研究。齿轮分扭传动系统中两分支双联轴具有相同的结构参数。但由于在实际过程中加工和安装误差无法避免，会造成其结构不一致，从而导致左右分支双联轴刚度值出现偏差。在以往研究中，通常忽略了刚度偏差对系统均载性能的影响。本文以单输入齿轮分扭传动系统为研究对象，建立含齿面摩擦的单输入齿轮分扭传动系统动力学模型和动力学方程，分析了两分支双联齿轮轴扭转刚度和支撑刚度偏差对系统动态均载特性的影响，为单输入齿轮分扭传动系统的设计提供理论依据。

1 系统动力学模型

图1为单输入齿轮分扭传动系统的结构示意图。系统包括输入轴、左右双联轴和输出轴4根传动轴，分为左右两分支。左右两分支中包含的零部件及其物理量用字母L和R进行区分。由图可知，系统的输入功率由输入齿轮Zp分成两路传递给分扭级齿轮ZLs和ZRs，再经由并车级齿轮ZLh和ZRh将功率汇集传递给输出齿轮ZB。

图1 单输入齿轮分扭传动系统示意图

根据图1，采用集中参数法建立如图2所示的单输入齿轮分扭传动系统的动力学模型。模型中将系统各个构件看作是刚体，将齿轮啮合变形、传动轴扭转变形和轴支撑处的横向变形等效为弹簧联接[12-13]，模型中各构件的刚度、阻尼和传递误差分别用字母K、c和e配合相应的下标表示。

由图1和图2可知，该单输入齿轮分扭传动系统自由度共为16个，用矢量Y可表示为：

Y=(φD,φp,φRs,φRh,φLs,φLh,φB,φo,Xp,Yp,XR,YR,XL,YL,XB,YB)

(1)

式中，φD、φp、φRs、φRh、φLs、φLh、φB和φo分别表示输入构件、齿轮Zp、齿轮ZRs、齿轮ZRh、齿轮ZLs、齿轮ZLh、齿轮ZB输出构件的扭转微位移；Xp、Yp、XR、YR、XL、YL、XB和YB分别表示输入轴、双联轴、输出轴的横向微位移和纵向微位移。

由图2可知，系统中存在多对齿轮副同时啮合的情况，为便于动力学方程的推导与分析，本文引入局部坐标与广义坐标来建立系统坐标系，局部坐标和广义坐标的关系如图3所示。图中，带星号坐标为局部坐标，系统中各Y轴方向为各啮合线方向。由图可知，系统的广义坐标和局部坐标之间存在几何关系，因此局部坐标系可由广义坐标系表示，即：

(2)

图2 单输入齿轮分扭传动系统物理模型

图3 系统的局部和广义坐标关系图

2 系统动力学微分方程

2.1 角位移与线位移之间的关系

传动系统在工作状态时，各级齿轮、各传动轴和各级轴承因受载而产生变形，这些变形可转化为啮合齿轮沿啮合线方向的综合位移，其啮合线综合位移表达式为：

(3)

式中，YmRps、YmLps、YmRBh和YmLBh分别为齿轮Zp与齿轮ZRs、齿轮Zp与齿轮ZLs、齿轮ZRh与齿轮ZB、齿轮ZLh与齿轮ZB沿啮合线方向的综合位移；rbp、rbRs、rbLs、rbRh、rbLh和rbB分别为齿轮Zp、齿轮ZRs、齿轮ZRh、齿轮ZLs、齿轮ZLh和齿轮ZB的基圆半径。

为消除刚体位移，将传动轴两端齿轮的相对角位移转化为传动轴扭转线位移，则得:

(4)

式中，YDp、YRsh、YLsh和YBo分别为输入轴、右分支双联轴、左分支双联轴和输出轴的扭转线位移。

2.2 传动系统受力分析

令FmRps、FmRBh、FmRps和FmRBh分别为传动系统左右分支分扭级和并车级齿轮副之间的啮合力，则：

(5)

传动系统中各传动轴受多对齿轮啮合力作用，受力情况较为复杂。为简化分析过程和推导动力学方程，将齿轮啮合力沿广义坐标X、Y方向进行分解，得到各传动轴沿X、Y方向上所受的合力，即：

(6)

式中，Fpx与Fpy、FxR与FyR、FxL与FyL、FxB与FyB分别为传动系统输入轴、右分支双联轴、左分支双联轴、输出轴沿相应广义坐标系X和Y方向所受的合力。

传动系统齿轮受力时，齿轮间会产生齿面摩擦力，在对传动系统进行受力分析和建立动力学方程时，将各齿轮之间摩擦力考虑在内。则设fmRps、fmRBh、fmLps和fmLBh分别为齿轮Zp与齿轮ZRs、齿轮ZRh与齿轮ZB、齿轮Zp与齿轮ZLs、齿轮ZLh与齿轮ZB的齿面摩擦力，因此各级传动齿轮齿面摩擦力可表示为：

(7)

式中，umRps、umRBh、umLps和umLBh分别为齿轮Zp与齿轮ZRs、齿轮ZRh与齿轮ZB、齿轮Zp与齿轮ZLs、齿轮ZLh与齿轮ZB之间的时变摩擦系数。其中，齿轮啮合的时变摩擦因数的计算公式[13]为：

(8)

式中，SR为接触齿面的滚滑比；Ph为最大赫兹应力；v0为润滑油动力学粘度；S为表面粗糙度均方根；Ve为接触齿面的卷吸速度；R为接触齿面的综合曲率半径，其中，b1-b9为系数。

采用将齿轮啮合力转化为各轴所受合力的原理方法，将各齿轮所受的齿面摩擦力转化为各传动轴在广义坐标X、Y方向上所受的合力为：

(9)

式中，fxp与fyp、fxR与fyR、fxL与fyL、fxB与fyB分别为传动系统输入轴、右分支双联轴、左分支双联轴、输出轴沿相应广义坐标系X和Y方向所受的摩擦力合力。

2.3 传动系统动力学平衡方程

根据单输入分扭齿轮传动系统的动力学模型和力学平衡条件，建立以下动力学微分方程：

(10)

(11)

(12)

(13)

3 均载系数与敏感度的定义

3.1 均载系数的计算

为了分析传动系统的动力学性能，利用Runge-Kutta法求解动力学微分方程，获得系统的动态响应，可由动态响应得到传动系统左右分支双联轴上的动态转矩，利用左右分支双联轴上的转矩来定义系统左右分支动力学均载系数：

(14)

式中，bLsh(t)、bRsh(t)分别为任一时刻单输入齿轮分扭传动系统左右分支双联轴的均载系数。

令ΩLsh、ΩRsh为单输入系统一段时间内的左右分支均载系数，则有：

(15)

则单输入齿轮分扭传动系统的均载系数为：

Ωsh=(ΩLsh,ΩRsh)max

(16)

3.2 敏感度的计算

单输入齿轮分扭传动系统中存在许多刚度参数，为了探究刚度参数变化对系统动力学均载系数的影响，定义敏感度来表征刚度参数对均载性能的影响程度。因此系统动力学均载系数ΩK对某刚度Kl的敏感度为：

(17)

4 动力学均载特性分析

本文以单输入齿轮分扭传动系统为研究对象，分析其均载特性。其工况为：输入功率为150kW，输入转速为3 000r/min，系统基本参数如表1所示。

表1 单输入齿轮分扭传动系统基本参数

4.1 动力学均载系数分析

图4所示为传动系统左右分支均载系数随时间的变化曲线。由图可知，传动系统在运转过程中，左分支均载系数大于右分支均载系数，说明系统左分支所受载荷大于右分支，主要原因在于：两分支齿轮中心横向变形引起两分支齿轮旋转量不同，从而导致两分支承受的转矩不相同。

图4 系统各分支均载系数

4.2 扭转刚度敏感度分析

当单输入系统左右分支双联轴扭转刚度存在偏差时，其偏差值对系统动力学均载系数的影响如图5所示。由图5可以看出，当右分支扭转刚度出现偏差时，均载系数会随着偏差值的增大而增大；当左分支扭转刚度出现偏差时，随着偏差值的增大，均载系数呈先减少后增大的变化趋势。均载系数出现先减少后增大现象的原因是：系统在运转过程中，左分支承受的负载要大于右分支，当左分支扭转刚度出现偏差时，左分支扭转刚度增大，左分支变形量减小，承受的负载减小，此时左分支均载系数减少，直到左右分支负载相同；当偏差逐渐增大，会导致左分支承受的负载小于右分支，从而造成均载系数的增大。因此，可以通过调节左分支扭转刚度的偏差值来改善系统的均载性能，得到系统均载系数最优值。

图5 两分支扭转刚度偏差对系统均载系数的影响

为研究系统动力学均载系数对左右分支双联轴扭转刚度的敏感度，分别给予双联轴扭转刚度2%的偏差量时，得到系统均载系数对左右分支双联轴扭转刚度的敏感度曲线见图6。由图6可知，随着扭转刚度的增大，均载系数对左右分支扭转刚度的敏感度降低，其中，均载系数对左分支扭转刚度的敏感度要大于右分支。

图6 均载系数对双联轴扭转刚度的敏感度变化曲线