一种新型多自由度混联运动平台的设计与仿真分析

罗磊，王培俊，黄琳秦

(西南交通大学 机械工程学院，四川 成都 610031)

0 引言

多自由度运动平台在模拟驾驶、工业机器人、数控机床等领域应用广泛，实用性较高[1]。串联机构工作空间大、结构简单，但累积误差大、刚度低；并联机构刚度大、精度高，但控制难度大、成本高[2]。本文结合串并联机构的优缺点与实际使用需求情况，设计了一种新型混联运动平台，具有4个自由度，以实现刚度大、响应快和应用范围广的目标。

新型混联运动平台的结构主要由两部分组成：串联部分和并联部分，设计的主视图如图1所示。串联部分由具有回转机构的转台组成，实现动平台绕Z轴的转动；并联部分由3-RPS并联机构组成，实现动平台绕X轴、绕Y轴转动和沿着Z轴的移动，并联部分的结构简图如图2所示。

根据运动平台的串联部分的特点，计算运动平台在串联部分的姿态变换矩阵；运用欧拉法计算出并联部分的姿态变换矩阵，从而计算混联运动平台末端执行器的坐标系坐标；运用空间几何法，建立末端执行器位置与电动缸总长度关系。在MATLAB中，根据机构的逆解，求解运动平台末端执行器所能够达到的最大空间位置，将其与3-RPS并联机构的工作空间进行对比；在ADAMS中，建立该机构的简易模型，然后进行各个自由度的动力学分析；采集ADAMS动力学分析的多项数据，在MATLAB中进行误差分析。

图1 混联运动平台的主视图

图2 并联部分结构简图

1 运动学分析

1.1 平台描述

由于运动平台的工作环境较为恶劣，需要较大的刚度，运动平台的工作空间影响着平台的动力学性能，也决定着运动平台的使用范围。运动平台末端执行器的精度越高，平台的控制就越精细，累计误差越小。综合以上需求，研究设计了一种新型混联运动平台，具有结构新颖性和功能新颖性。

结构的新颖性：转台的回转机构由回转支撑机构和回转驱动装置组成。运动平台工作环境恶劣，对支撑结构的冲击较大，所以支撑机构的强度必须满足需求。滚子夹套式机构具有重心低、稳定性高、制造和安装简单等优点[3]。设计的回转支撑机构采用滚子夹套式机构。齿轮机构具有效率高、传动比稳定和结构紧凑的特点，所以采用齿轮传动机构作为回转驱动装置。在回转机构的基础上，在转台上安装3-RPS机构，为整个平台提供更多的自由度且结构紧凑。

功能的新颖性：相比3-RPS机构，增加回转机构后，新型混联运动平台末端执行器能够执行更复杂的空间曲线、能够更真实的反应运动情况。根据运用场合的不同，在转台上安装不同的设备，可构成不同的运动平台，如汽车驾驶仿真平台。回转机构实现平台的自转，如实现汽车驾驶仿真平台的甩尾运动；并联机构实现平台的z向移动和绕x、y轴的转动，如实现汽车驾驶仿真平台的竖直运动、俯仰运动和侧翻运动[4]。

1.2 位置反解

新型混联运动平台的运动学逆解求解分两步，首先求解串联部分的姿态变换矩阵，再求解并联部分的姿态变换矩阵。

末端执行器的空间位置可以分解为：o-x0y0z0到o-x1y1z1的旋转变换、o-x1y1z1到p-x2y2z2的旋转变换和平移变换[5-7]。整个变换过程，坐标系的位置变化如图3所示。坐标系o-x0y0z0到o-x1y1z1的姿态变换矩阵为T01，如式(1)所示。

(1)

图3 运动平台的坐标变换

图4 欧拉角z-y-x坐标系变化

r和R分别为并联部分的上下平台的外接圆半径。根据图2中铰链和球铰与对应坐标系的关系，解出A1、A2、A3在o-xyz中的坐标Ai和B1、B2、B3在p-xyz中的坐标bi分别如下：

o-x1y1z1到p-x2y2z2的旋转变换可用z-y-x欧拉角(α,β,γ)表示，如图4所示。用z-y-x欧拉角表示的姿态变换矩阵为T12，如式(2)所示。

(2)

其中：sα=sinα，cβ=cosβ,以此类推。

根据欧拉角姿态变换矩阵即可求得Bi的世界坐标系坐标：

(3)

电动缸与转台之间以铰链连接。由于铰链结构特性，电动缸只能绕着定轴转动，那么电动缸所扫过的空间为一个扇形平面。同理，3个球铰只在3个固定扇形平面内运动，3个平面方程如式(4)所示。

(4)

根据式(2)-式(4)，解得并联部分的位姿约束方程，如式(5)所示。

(5)

由式(5)可以看出：进动角α是自转角β和章动角γ的函数，也证明了并联部分只有2个转动自由度。

根据式(1)和式(2)，计算出整个运动平台的姿态变换矩阵为T02，如式(6)所示。

(6)

其中：

为校验所得到的T02正确性，将平台的初始位置：θ=0,α=0,β=0,γ=0,xp=0,yp=0,zp=H,带入矩阵T02计算，计算结果为：

与新型混联运动平台的初始位置完全一致，计算结果正确。

在实际使用中，针对不同用途，可以在动平台上方安装不同的设备，如汽车驾驶仿真平台，这将导致动平台的质心不在动平台下表面中心处。假设：动平台的质心在动平台以上的M点处，将M点设为动平台参考点。那么，M点的世界坐标系坐标的表示方法，如式(7)所示。

(7)

其中，m为参考点M在p-xyz中的坐标。

1.3 位置正解

根据电动缸的总长度Li、各电动缸轴线与转台的夹角φi和转台自转的角度θ，采用立体几何法，可解出动平台参考点的世界坐标系坐标。根据已知条件，求解出动平台B1、B2和B3的世界坐标系坐标，如式(8)所示。

(8)

则，上平台中心点P的坐标如式(9)所示。

P=B1+B2+B3

(9)

上平台所在平面的法向量：

(10)

点M位于通过P且与动平台垂直的空间直线上，直线方程如式(11)所示。

(11)

|PM|=h，即可求出动平台参考点M绕z轴旋转之前的世界坐标系坐标。转台转动的角度θ，将其带入式(1)，解得末端执行器参考点在世界坐标系的坐标如式(12)所示。

(12)

2 工作空间

工作空间是指末端执行器所能够达到的空间目标的集 合[8]。研究工作空间有利于避免末端执行器与其他部件发生干涉，还能够为平台的控制提供数据基础。

混联运动平台的几个重要设计参数：R=500mm,r=300mm,Lmin=654mm,Lmax=1 152mm,h=300mm。采用数值搜索法，在MATLAB中编写相应的程序，计算出动平台参考点M的工作空间，如图5所示。将其与3-RPS机构的工作空间进行对比。当y=0时，将两种机构工作空间的xz截面对比，如图6所示。

图5 混联机构的工作空间

图6 两种机构的xz截面对比

在MATLAB中，混联机构的工作空间呈现两头尖的锥形分布。根据工作空间截面对比图，表明混联运动平台的工作空间比单一的并联机构的工作空间大，混联运动平台的工作空间在各个方向上都达到了3-RPS的径向极限位置。

3 动力学分析

在ADAMS中，使用“一般点驱动”和“样条函数驱动”功能，实现运动平台的运动。并联部分的移动副采用样条函数驱动，串联部分的转动副采用STEP函数驱动。

在ADAMS动力学仿真中，整个过程持续10s，分作300步。每个电动缸的铰链中心到球铰中心的距离为电动缸总长Li，Li的变化曲线如图7所示。

图7 3个电动缸总长变化

根据ADAMS后处理，获得电动缸总长、自转角、球铰和铰链的夹角变化。利用1.3节中的位置正解方法，在MATLAB中编写位置正解程序，计算新型混联运动平台的参考点坐标。将计算值与仿真值进行比较，得出参考点误差分析图，如图8所示。

图8 参考点误差分析图

由图8可以看出，xyz向误差呈现一定的波动。当3个电动缸总长度在接近相等时，参考点的误差较大，且z向的误差最小。在xyz方向上，参考点的误差在4×10-5mm以内，误差均在允许的范围内，精度较高，表明运动学方程准确无误。

4 结语

在MATLAB中，根据位置反解算法，分别对3-RPS机构和新型混联运动平台末端执行器的工作空间进行求解。3-RPS的工作空间关于3个铰链约束平面对称，混联机构的工作空间关于中心轴对称。当新型混联运动平台的并联部分与3-RPS机构完全相同时，3-RPS机构的工作空间体积为：V3-RPS=8.313 3×106mm3，运动平台的工作空间体积为：V混联=11.687×106mm3，运动平台的工作空间增加了40.58%。可见，当增加回转机构后，新型混联运动平台末端执行器的工作空间大大增加，体现串联部分的优势。

分析新型混联运动平台的ADAMS动力学仿真数据，结果表明电动缸的长度、铰链夹角和球铰夹角变化都在设定的范围内，末端执行器参考点的空间位置均在工作空间内，表明工作空间求解准确。通过误差分析，表明新型混联运动平台参考点的精度较高，体现并联部分的优势。通过动力学分析，为混联运动平台的优化和控制提供了动力学依据。

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