一种子空间辨识的广义预测控制算法

林远宗，余楚中

(重庆大学 自动化学院 控制科学与工程系，重庆 400030)

广义预测控制是结合自适应控制技术的一种具有鲁棒性的模型预测控制[1]，己在系统控制中得到了广泛的应用，是现代控制的主要方法之一。广义预测控制的被控对象是基于未知的或慢时变的参数模型，其模型精度影响控制器的性能。在实际工业过程中，往往己知的只有被噪声污染的可测输入输出数据，而如何在仅有的数据信息前提下，更好地建模系统，进行控制器的设计，提高最终的控制性能，仍是有待深入研究的问题。

本文将子空间辨识作为在线建模方法，进行完全数据驱动的广义预测控制。针对线性系统，在输入输出数据可能存在噪声，未知系统先验结构信息的情况下，利用子空间更好地消除噪声辨识被控系统；在不改变子空间模型辨识及广义预测控制的性能前提下实现控制；最后给出仿真实例验证算法的有效性。

1问题描述

广义预测控制算法采用受控自回归滑动平均模型(CARIMA模型)，现代控制均以计算机为实现手段，因此其数学模型的建立和控制算法的推导均基于离散时间。CARIMA模型表示如下：

式中，A(z-1)=1+a1z-1+…+anaz-na；B(z-1)=b0+b1z-1+…+bnbz-nb；C(z-1)=1+c1z-1+…+cncz-nc。

为便于子空间辨识，令n=na=nb=nc，并且将CARIMA模型描述成状态空间观测标准型。模型如下：

其中：b=[b0，b1，…，bn-1]T，c=[1，0，…，0]，d=b，b0=b+b0，A为矩阵：

式中，x(k)、y(k)、A、Δu(k)、g、w(k)、维 数 n 的 定 义a¯i及 ai与的关系见参考文献[2]。

为便于应用子空间辨识，假设d是b0的一部分，在辨识后与b0相加组成系数b0，并设w(k)恒为零。可将广义预测控制模型看成一个纯确定性系统，本文算法就是在辨识时对输入输出数据集消除噪声，更好地逼近实际模型。

在辨识模型中，使用有限时域的在线实测数据，实现对系统的广义预测控制[3]。广义预测控制系统结构如图1所示。图中yr为参考输出值，ε为输出误差，ym为预测优化输出值。

图1 广义预测控制系统框图

实际工业生产过程中可测输入输出数据已经被污染，存在于某些动态特性变化较大的系统，即使辨识过程中采用了遗忘因子仍不能很好地描述系统当前特性。为了更好地反映系统当前特性，应随动态特性的变化自动调整遗忘因子。当系统参数变化快时，选择较小的遗忘因子，可使历史数据权重衰减加快，缩短记忆长度，提高辨识的灵敏度；反之系统参数变化慢，则选择较大的遗忘因子，使历史数据权重衰减延迟，延长记忆长度，提高辨识的灵敏度。对于系统某些不可测的未知干扰，只能在其反映到输出后，通过反馈的方式修正。因此，本文利用输出误差构造变遗忘因子，克服参数和不可测干扰的影响，进行在线辨识与优化控制，使得被控对象的输出达到期望动态特性。

相比以往基于子空间辨识的广义预测控制器设计，本文加入变遗忘因子项。根据实际输出值和预测输出值之间误差修正遗忘因子，改变采集数据在辨识过程中的权重，以达到满足系统的动态特性变化。通过广义预测控制的滚动优化得到系统的最优控制。

2具有变遗忘因子的子空间辨识

2.1数据处理

给定测量长度为N=2n+s-1的输入输出数据，UN=[Δu(0) Δu(1)…Δu(N-1)]T和 YN=[y(0)y(1)…y(N-1)]T。将 UN和 YN分为 s个辨识问题，s≥n，n为预测时域，如图 2 所示。 Upi=Up(：，i)，相似 定义 Ufi，Ypi，Yfi。

图2 子空间辨识滚动窗口

利用变遗忘因子 βk(0＜βk＜1)对这组测量数据加权，实现旧的辨识数据在辨识中的权重比当前数据小，从而建立Hankel数据矩阵[4-7]如下：

其中，Up，Uf∈Rn×s。 同理定义 Yp，Yf∈Rn×s和 Ep，Ef∈Rn×s。定义历史输入输出数据的矩阵为 Wp=(YpTUpT)T。广义预测模型的子空间辨识问题可描述为：已知过去的输入输出Wp和当前时刻输入输出数据Ui|i，Yi|i，如何更好的辨识广义预测控制模型的参数ai，bi(p表示过去时刻，f表示未来时刻)。子空间辨识相关定义如下：

2.2辨识算法

将以上处理的输入输出数据应用在子空间系统辨识[8]，算法如下：

(1)首先计算斜投影

(2)计算加权斜投影的奇异值分解(SVD)

(3)检验S的奇异值确定阶数，并对奇异值分解进行分区得 U1、U2和 S1。

(4)通过以下计算得到 Гi和 Гi-1

(5)通过以下计算得到 Xi，Xi+1，其中上标“+”表示伪逆运算。

(6)解出以下线性方程组，得 A，b，c，d

至此，经过子空间辨识得到当前被控系统的广义预测模型，在每一采样时刻更新输入输出数据集 (更新Hankel矩阵)，实现模型的在线辨识。

2.3反馈校正的变遗忘因子

为了使更新数据能够更好地反映当前系统特性，利用当前时刻广义预测输出与参考输出误差的范数εk=||y-yr||2，构造变遗忘因子[9]。

定义时刻k的变遗忘因子为：

式中，εm为最大容许误差。 在 εk≥ε 时，取 εk=ε；在 εk≤0.2ε 时， 取 εk=0.2ε。 变遗忘因子 βk的变化范围为[β1，βm]，并可在该范围内调节采集数据窗口大小。当系统参数变化快，输出误差 εk增大时，遗忘因子 βk变小，远离当前时刻采集数据的权重衰减速度增加，相当于记忆长度减小，提高了辨识灵敏度；反之亦然，从而使辨识精度提高。

在每采样时刻更新变遗忘因子βk及Hankel矩阵，采用新的数据取代旧的数据。

3广义预测控制实现

经过以上子空间辨识步骤得到的 A，b，c，d矩阵非状态空间能观测标准型，并不能将 A，b，c，d矩阵中的数据直接应用在广义预测控制算法中。因此，将此时的A，b，c，d 矩阵经过非奇异变换成模型式(2)、式(3)中的矩阵形式，从而得到的ai、bi可直接运用在广义预测控制算法中。

在广义预测控制中为了得到系统j步后，输出y(k+j)的最优预测值，引入Diophantine方程：

式中：

通过求解Diophantine方程，可得j步最优预测输出：

则前n步的最优预测输出的矩阵形式为：

式中：

目标函数为：

n为最大预测时域；Nu为控制时域，表示在Nu步以后，控制量将不再发生变化。λ(j)为控制加权序列，一般取λ(j)≡λ。写出矩阵形式：

将最优预测输出值代入目标函数中，使目标函数值最小，可以得到最优控制律：

记(GTG+λI)-1GT的第一行为 pT，广义预测控制律可写成：

反馈校正后基于变遗忘因子的子空间辨识的广义控制控制算法为：

(1)n为给定预测时域，Nu为控制时域，εm为最大容许误差，β1、βm为变遗忘因子的上下限值，λ为加权常数。

(2)经过以上子空间系统辨识算法，得到A(z-1)，B(z-1)的 系 数 ai，bi。

(3)求出 Ej(z-1)，Fj(z-1)，Ej(z-1)，Gj(z-1)，Hj(z-1)。

(4)计算矩阵 G 及 GT(G+λI)-1。

(5)由式(13)、式(14)求解控制量 u(k)。

(6)k=k+1，返回第2步。

4实例仿真

考虑如下单输入单输出系统：

仿真中取最大容许误差εm=0.05，遗忘因子上限值β1=0.5、下限值 βm=0.95，加权常数 λ=0.3，预测时域 n=6，子空间辨识问题个数s=7，控制时域Nu=3。参考输出设 定 为 ：在[0，50]∪[100，150]时 刻 yr=0；在[50，100]∪[150，200]时刻 yr=1。

无遗忘因子辨识后的广义预测控制效果如图3所示，加入遗忘因子(β=0.8)的控制效果如图 4所示，通过输出误差加入反馈校正的变遗忘因子控制效果如图5所示。

图3 无遗忘因子广义控制效果图

图4 定遗忘因子广义控制效果图

图5 变遗忘因子广义控制效果图

从图中可以看出，无遗忘因子时的系统输出波动较大，不能很好地跟踪参考输出；而加入定遗忘因子，控制效果大为改善。本文通过变遗忘因子得到的预测模型能够更好的反映当前系统特性，跟踪参考输出效果较之无遗忘因子、定遗忘因子要好得多，从而证明了引进变遗忘因子的子空间系统辨识在广义预测控制算法中消除噪声的有效性。

本文针广义预测模型辨识时输入输出数据可能存在噪声和系统先验结构信息未知导致的难于辨识问题，采用由输出误差构造的变遗忘因子，形成反馈校正控制策略，根据当前时刻输出误差更新所采集的历史数据在子空间辨识中所占权重。该算法在控制时保证了子空间辨识的参数少、无需迭代运算以及广义预测鲁棒性等优点，更能反映系统当前特性，提高辨识的灵敏度，因而能取得较好的优化控制效果。最后实例仿真验证了算法的有效性。

[1]席裕庚.预测控制 [M].北京：国防工业大学出版社，1993.

[2]王伟.广义预测控制理论及其应用[M].北京：科学出版社，1998.

[3]杨华，李少远.一种完全数据驱动的子空间辨识与鲁棒预测控制器设计[J].控制理论与应用，2007，10(5)：732-736.

[4]杨华，李少远.一种新的基于遗忘因子的递推子空间辨识算法[J].控制理论与应用，2009，1(1)：69-72.

[5]刘洪娥.广义预测控制及其仿真[D].北京：中国石油大学，2008.

[6]吴平.基于子空间的系统辨识及其应用[D].杭州：浙江大学信息学部，2009.

[7]董新.子空间辨识方法的研究及软件包的开发 [D].北京：华北电力大学，2006.

[8]OVERSCHEE P V，MOOR B D.Subspace identification for Linear systems[M].Kluwer Academic Publishers 2000.

[9]李少远，吴永玲.时变遗忘因子的子空间辨识及预测控制器设计[J].同济大学学报(自然科学版).2010，11(11)：1651-1655.