T-S模糊有记忆非易碎系统H∞控制器设计的LMI方法

杭阿芳

(金陵科技学院，江苏 南京 211169)

H∞控制理论于 20世纪 80年代初由Zames[1]首次提出，即运用小增益定理，设计状态反馈控制器，该控制器在参数不确定和有界扰动的双重影响下，闭环系统仍能保持稳定。H∞控制理论一经提出，很多学者即投入研究[2-3]，但均未考虑控制器增益的不确定性(易碎性)。易碎性会造成闭环系统的性能下降，破坏系统的稳定，因而考虑系统的非易碎H∞控制必不可少。近年来，非易碎控制问题的研究有了一定成果[4-6]，参考文献[4]通过 LMI方法，设计了满足H∞性能指标的T-S模糊非易碎控制器；参考文献[5]通过Lyapunov函数的稳定分析理论及分散控制理论，设计了大规模的模糊系统在信息交互时的鲁棒非易碎H∞控制器；参考文献[6]研究了参数不确定的T-S模糊中立模型的非易碎H∞控制。对于有记忆控制有一定的研究：参考文献[7]对线性时滞系统进行了有记忆的H∞控制，但未考虑非线性系统和非易碎系统；参考文献 [8]对非线性系统进行了有记忆的H∞控制，但未使用T-S模糊系统，同样未考虑非易碎系统。综上所述，以上的文献均未对记忆性系统、非易碎系统、T-S模糊系统及H∞控制同时进行研究。因此本文对基于T-S模型的有记忆非易碎模糊系统的H∞控制进行研究。

1 问题描述

一类有记忆非易碎T-S模糊系统：

其中，x(t)∈Rn是系统的状态向量，u(t)∈Rm是系统的控制输入向量，ω(t)∈Rr是系统的扰动向量，且ω(t)∈L2[0，∞)，y(t)∈Rl是系统的控制输出向量，Ai、B1i、Bi和 Ci是合适维数的常数矩阵，r是模糊规则数。

T-S模糊模型状态反馈控制器的形式如下：

其中，K1i、K2i为控制器增益，ΔK1i、ΔK2i是适维的时变矩阵，表示系统模型中的参数不确定性。τ>0，表示时间滞后常数。

将状态反馈模糊控制器式(2)代入系统方程式(1)，则可得到闭环系统：

假设1 参数不确定性定义为加法式[9]

其中 ，D1i、D2i、E1i、E2i为实值常数矩阵 ，F1i(t)、F2i(t)为具有Lebesgue可测元素的未知实变矩阵，并且F1i(t)TF1i(t)≤I，F2i(t)TF2i(t)≤I。式中I为具有适当维数的单位矩阵。

引理1[9]给定正常数ε，D、H是适维的实矩阵，并且FTF≤I，则对任意常数ε>0以及适维的 x、y有：

本文的目的是设计有记忆非易碎状态反馈模糊控制器式(1)，使得闭环系统式(3)对于所有的不确定量式(4)鲁棒渐近稳定，而且在零初始条件下满足以下的H∞性能指标。

2 主要结果

为了研究系统的H∞特性，定义Lyapunov泛函为：

式中P、Q1为正定常矩阵。V(x(t))对时间t求导，得：

将闭环系统式(3)代入式(10)式，则：

对任意的ω(t)∈L2[0，∞)，ω(t)≠0，在零初始条件下定义性能指标：

对于常量T>0，则有：

根据引理1，可得：

对于式 (14)中所包含的不确定部分运用假设1、引理 1及式(15)，则：

其中，Φii=(Ai+BiK1i)TP+P(Ai+BiK1i)，

3 算例

对于表述为式(1)和式(2)的T-S模糊系统，考虑两条模糊规则：其中，

取γ=1，利用Matlab中的LMI工具箱进行编程，可求得：ε11=7.965 1，ε22=8.222 1，ε12=8.247 8，

假设系统的初始条件为：x(0)=[-0.2 0.2]T，

且τ=1，F1i(t)=sin(t)I2×2，(i=1，2)，F2i(t)=sin(t)I2×2，(i=1，2)

扰动输入ω(t)∈L2[0，∞)，ω(t)≠0，假设为：

隶属度函数为：

由Simulink得到算例系统的开环状态响应曲线，如图1所示。加入控制率后，闭环系统的曲线如图2～图3所示。可以看出，系统在有记忆非易碎控制器作用下是渐近稳定的。

图1 开环系统时状态响应

图2 闭环系统状态响应

图3 闭环系统控制输出

本文以基于T-S模型的有记忆非易碎模糊系统为对象，讨论了该模糊系统在H∞控制问题中控制器的设计。采用线性矩阵不等式(LMI)的处理方法，导出了H∞状态反馈控制器存在的充分条件。所设计的状态反馈控制器能保证闭环系统渐近稳定并满足设定的H∞控制指标。并用数值算例验证了结论的有效性。

[1]ZAMES G.Feedback and optimal sensitivity：model reference transfer functions， multiplicative semi-norms， and approximate inverses[J].IEEE Trans Automt Control， 1981(2)： 301-320.

[2]KHARGONEKAR P P，PETERSEN I R，ZHOU K.Robust stabilization of uncertain linear systems： quadratic stabilizability and H∞control theory[J].IEEE Transactions on Automatic Control， 1990(3)： 356-361.

[3]SCHAFT V A J.L2-gain analysis of nonlinear systems and nonlinear state-feedback H∞control[J].IEEE Transactions on Automatic Control， 1992(6)： 770-784.

[4]岳菊梅，李俊民.不确定T-S模糊系统鲁棒非脆弱H∞控制[J].系统工程与电子技术，2008(5)：909-913.

[5]Liu Xinrui， Zhang Huaguang， Liu Guowei.Robust and non-fragile H∞control for affine fuzzy large-scale systems[J].Intelligent Control and Automation， 2008(27)： 6107-6112.

[6]Yang Jun， Zhong Shouming， Xiong Lianglin.A descriptor system approach to non-fragile H∞control for uncertain fuzzy neutral systems[J].Fuzzy Sets and Systems， 2009(4)：423-438.

[7]姜偕富，费树岷，冯纯伯，线性时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制[J].系统工程理论与实践，2002(6)：21-25.

[8]王岩青，赵金华，姜长生.一类非线性不确定时滞系统的记忆与无记忆复合H∞状态反馈控制 [J].电光与控制，2006(2)：35-37.

[9]Xu Shengyuan， LAM J， Wang Jianliang， et al.Non-fragile positive realcontrolfor uncertain linearneutraldelay systems[J].Systems&Control Lett， 2004(52)：59-74.