基于一阶波动方程的正演研究

沈天晶，胡叶正

（西南石油大学 地球科学与技术学院，四川成都 610500）

地震正演是在已知地下岩层空间结构与介质参数的情况下，通过数值模拟来模拟地震波的传播。模拟结果中包括了走时信息与波场信息，反映了地下结构的空间规律与介质信息。正演数值模拟不仅是地球物理的基础，也是其重要组成部分。通过对正演模拟的研究发现，一阶的声波波动方程的有限差分模拟是最常用的方法[1-2]。尽管许多学者对其求解方法与模型离散进行了优化，但也增加了计算量，降低了计算效率。考虑到上述问题，本文利用一阶声波波动方程进行正演模拟，同时利用交错网格对其进行求解，利用CPML进行边界处理。在计算效率的提升方面，本文利用了OpenMP与mpi对程序进行并行化。

1 CPML吸收边界

利用交错网格对一阶声波波动方程进行求解，将质点震动速度，波场应力与模型属性定义在网格上。其中比较非常关键的一点就是选取了CPML吸收边界，原理如下：

二阶CPML吸收边界的吸收因子为：

在时域中，在拉伸坐标中的偏导数的求取公式如下：

上述公式的卷积运算可以利用递归卷积法进行运算，公式如下：

式中，n为时间步长，ai与bi为系数，由下式给出：

由上述公式，二维二阶声波方程在拉伸坐标下的公式为：

由公式（3）可知：

将公式（7）与公式（3）带入公式（6），可得：

公式（7）即为二阶声波方程的CPML吸收边界公式。

一阶的CPML吸收边界的拉伸因子为：

i为计算点到吸收边界内的距离，L为吸收层厚度，vmax为最大声波速度，αmax是与地震波主频有关的系数。

进一步推导可得出：

上式即为一阶声波方程CPML吸收边界的公式。

2 模型实验

通过Marmousi模型实验来验证以上方法，利用该模型的一块区域，其中包括了断层与细层，模型较为复杂。首先，利用二阶的声波方程进行正演模拟，震源主频为30Hz，空间采样为5m，时间采样为0.000 5s，CPML吸收边界厚度为16，差分精度为8，得到结果如图1（a）所示，因为模型较为复杂，反射波杂乱，分辨率较低，箭头位置甚至有频散的出现。然后在所有参数不变的情况下，利用一阶的声波方程，利用交错网格对其求解实现正演模拟，图1（b）为质点震动速度的x方向的分量。图1（c）为质点震动速度y方向的分量。这两种结果模拟了野外实际采集数据的方式，沿着水平与竖直的方向分开采集。图1（d）代表了合成的炮记录，主要反映了纵波的传播方式。可以看到相比二阶的常网格方程的结果，这种方法的精度更高，不容易频散，更能够模拟野外实际情况的采集。同时，使用了交错网格，不仅没有使计算量增加，还让结果更加精确。

图1 正演模拟结果

3 结论

利用交错网格与一阶波动方程进行数值模拟，并且利用Marmousi模型进行了模型实验。同时对二阶波动方程与一阶波动方程的模拟效果的比较可以看到，一阶波动方程模拟效果更好，精度更高，更加契合实际的采集数据。同时，一阶的波动方程更稳定，不容易频散。利用交错网格，在不提高计算量的情况下，使模拟更加精确。