面向建造的自由曲面建筑重构形体设计方法*

陈中高，高 赢，吉国华，马 宁

引言

随着建筑数字技术的发展，自由曲面形体已成为当代建筑创作的的重要组成部分，被广泛应用于大跨体育建筑、观演建筑和博览建筑等实践项目中[1]。面对我国建筑业的节能减排、转型升级、创新发展等重大需求，此类建筑仍存在费用高、修改多和效率低的现实问题。其中，设计结果与建造系统的脱节成为其实践失控的关键原因[2，3]。对此，曲面重构（surface reconstruction）目前是建筑设计中最直接、也是最主要的解决方式[4]，它指将初步设计的原始曲面划分成连续、无缝、易生产的若干小块单元，再对由这些单元组成的新曲面进行生产加工。它一方面解决“怎么造”的问题，即通过满足材料、工具、构造等现有约束条件来降低建造难度和成本，另一方面解决“造的好”的问题，即在方便加工的基础上得到完成度更高的建筑形体。因此，建筑曲面重构能够建立设计结果与建造系统的准确映射，成为寻求“设计-建造”一体化的关键方法与有效途径。

然而，当下曲面重构工作却与建筑师是完全割裂的，即先由建筑师初步创作符合概念的自由形体，再交由幕墙、结构等其他专业进行曲面重构。在该流程下，一方面，建筑师在方案阶段并不深谙曲面重构技术，不会预先考虑材料、工艺等信息，容易影响后期重构准确性、甚至是无法重构；另一方面，其他专业由于介入滞后和目标不同，在重构中容易忽略方案创作意图，往往导致设计变更而预期效果失控。基于此，本文立足建筑形体方案需求，针对现有方法的针对性差、适用范围窄、效率低等问题，引入并整合其他领域的离散建模与几何迭代技术，结合多目标优化算法，探索方案阶段面向自由曲面建造的建筑曲面重构形体设计方法，提升得到兼具良好形体效果和建造性能的方案可能性，减少设计与建造的脱节。

1 应用于建筑设计的曲面重构

曲面重构本身指面向某一需求，基于原始曲面的数据信息重建一新曲面的过程，在逆向工程、动画制作等应用中需求广泛[5]。在建筑学语境中，根据适用材料的不同几何特征，现有研究主要包括三类曲面重构目标形体（表1）：平面化重构、直纹化重构和可展化重构。

表1 建筑曲面重构形体分类及特征

建筑曲面重构问题与几何学密不可分，而受到几何学者的广泛关注，推动了“建筑几何学”（Architectural Geometry）研究领域的产生[6]。其中，波特曼（Helmut Pottmann）团队的研究最具代表性，他们从离散微分几何（Discrete Differential Geometry）角度，开发了一系列面向建筑曲面重构形体的几何建模技术,包含曲面的四边形平面化重构[7]、可展化重构[8]、组合重构[9]等内容。王文平、波利（Mark Pauly）等团队[10，11]针对六边形平面化重构、直板重构等需求研发了一系列几何重构算法。还有学者[12-14]从仿射变换、形状优化、几何约束等角度展开了曲面重构研究。

建筑领域针对几何成果目前已经展开初步应用，如门格斯（Achim Menges）应用切平面相交（tangent plane intersection）几何技术，将双曲面重构为若干平面六边形单元[15]。布兰德（David Brander）基于曲面直纹化重构算法，开发出大尺度双曲面的模板预制装配技术[16]。孙澄宇提出一种基于遗传算法的平面四边形面板重构技术[17]。袁烽基于UV 网格成功将双曲面薄壳重构为互承支撑结构[18]。此外，布洛克（Phillippe Block）、黄蔚欣等学者研究了基于结构性能的曲面重构，包括力流重构曲面[19]、编织网壳[20]等技术。

根据输入的曲面模型不同，已有曲面重构技术包括针对NURBS 曲面的直接划分和针对网格曲面的重划分（remesh）两类方式。有限元领域提出了多种划分方法，如划分三角形网格的Delaunay 法，划分四边形网格的映射法、引导线法等，这些方法大都属于网格直接划分，并在建筑设计中应用广泛[21]，但无法实现对复杂曲面的三类目标重构。计算图形学领域中原始模型通常是三角形网格这一离散曲面，从而对网格重划分方式进行了深入研究，提出了对偶法、网格面合并法、曲面片稀疏法和方向场引导法等技术[22]。

纵观上述研究，一方面，尽管几何学、图形学等领域提出了一系列经过数学证明的曲面重构几何技术，但仍属于原型范畴，其操作规律尚未在建筑设计中得到充分验证，适用范围也有待揭示。另一方面，由于建筑师对曲面几何较为陌生，导致现有少数立足设计角度的技术应用较为基础，并具有分散性和单一性，尤其是缺乏曲面重构特定几何原理的深入解析与有效整合，成为当前限制建筑师成功开展曲面重构工作的瓶颈问题。

2 建筑曲面重构方法组成

本研究将曲面重构问题定位于方案阶段，所以不包括节点连接、构造方式等细节设计。究其原因，方案设计对于建筑形体效果和最终成本的影响最大[23]，该阶段中曲面重构不仅可最大程度提升建造合理性，还能基于设计效果实现方案比选。具体地，本文的建筑曲面重构方法由曲面性质分析、曲面离散、目标单元生成、评价与优化四个环节组成（图1）。其中，曲面离散和目标单元生成两者是对重构形体的直接建模，决定了整个结果的精度与效率。

图1 本文的建筑曲面重构方法组成

（1）曲面性质分析：本方法以NURBS 连续曲面为输入，分析性质包括曲率和特征两方面，前者包含主曲率、高斯曲率、平均曲率等曲率要素，后者为曲面边界、亏格等拓扑特征。该环节不仅能为后续操作提供基础条件，也便于评判最终重构形体质量。

（2）曲面离散：曲面离散指依据原始曲面的几何性质，将其划分成网格曲面（mesh）或分片曲面（piecewise surface），从而将连续曲面转换成由若干小块单元组成的离散曲面（discrete surface）。曲面离散环节对重构质量的影响最大，也最具难度。它的核心任务是确保离散模型不仅精确刻画原始曲面的几何性质，还要适用于后续的目标单元生成。

（3）目标单元生成：目标单元生成指基于离散模型得到符合建造目标的单元类型，如平面、直纹曲面或可展曲面。该环节是建筑曲面重构形体实现的关键，其成功与否完全取决于与离散模型的几何匹配度。目标类型不同，则对曲面离散环节中几何性质的提取有着特定要求。

（4）评价与优化：评价是对操作结果的好坏进行衡量，应用领域不同，衡量标准也不同，比如图形学领域更关注是否光滑和逼近原始曲面，有限元领域更关注是否方便数值计算。因此，有必要建立面向建筑曲面重构形体的合理评价指标，为建筑师决策提供设计依据。优化则是对重构建模结果的进一步调整，也就是基于评价好坏，针对性地提升重构形体质量。在本研究中，曲面离散和目标单元生成两环节的技术好坏，很大程度上已经决定了重构质量，因此只将重构优化作为一种可能性选择，而不是必然环节。

相比“后合理化”且为“唯一最优解”的现有曲面重构工作，本文聚焦建筑方案设计需求，所提方法具有以下优势：（1）引入基于离散微分的曲面重构建模技术，有效提升建筑曲面重构建模的针对性；（2）提出面向建筑曲面重构形体的若干评价指标，有助于指导建筑师实时修改重构方案；（3）引入多目标优化机制，便于建筑师快速调整的同时，生成符合预期设计目标的多种优化形体。

3 以曲面平面化重构形体为例的方法实现

曲面平面化重构形体具有加工便宜、设备要求低、材料普适性广等优势，但实现难度也最大。几何研究发现[24]，曲面平面化重构的关键在于提取原始曲面的主曲率方向，并以其为依据离散得到主曲率网格。对此，本文以建立曲面的四边形平面化重构形体为例，即重构单元为平面四边形（表2），具体阐述所提方法的各阶段技术，包括离散网格生成、平面单元生成、几何评价与优化这三个环节的算法开发。

表2 不同单元形状的曲面平面化重构形体比较

3.1 基于参数化技术的离散网格生成

在曲面离散环节中，本研究以网格参数化技术（mesh parameterization）为核心，通过整合具有鲁棒性的一系列几何技术，形成一套有效性、针对性强的主曲率网格离散算法，具体步骤如下（图2）：（1）采用增量重网格化（incremental remeshing）算法，建立逼近原始NURBS 曲面的离散三角形网格；（2）计算上述三角形网格的主方向场，即网格各顶点处的主曲率方向；（3）平滑主方向场并生成4-Rosy 方向场[25]；（4）通过MIQ网格参数化技术生成平面参数域[25]；（5）采用libQEX网格提取算法处理参数域结果[26]，所得即为基于主曲率方向离散生成的四边形网格曲面。

图2 基于网格参数化技术的四边形网格离散生成

3.2 基于几何迭代的平面单元生成

在目标单元生成环节中，本研究借助几何迭代技术实现网格平面化，这不仅保持原始网格的拓扑关系，还能自定义迭代次数实现灵活控制。具体而言，该技术包括局部迭代和全局近似两个步骤（图3）：（1）局部迭代对象是网格曲面的各个单元，目的是将翘曲面转为平面，即获取网格面对角线的公垂线段，再迭代移动顶点得到平面单元。（2）全局近似对象是整个网格曲面，目的是提取最终的平面四边形网格，即以局部迭代后单元顶点的平均值作为新顶点，再根据原始拓扑关系获取平面网格曲面。

图3 基于几何迭代的平面四边形网格生成

3.3 几何评价与优化

根据图形学[27]和有限元分析[28]领域中已有的离散网格评价指标，本研究对其分析并归纳背后影响的形体质量，由此提出面向建筑曲面平面化重构形体的评价指标（表3），包括平面度、拟合度、光滑度和规则度。

表3 本文提出的建筑曲面平面化重构形体评价指标

以上述评价指标为基础，本方法依托插件Kangaroo和Octopus，实现计算机对重构形体的多目标自动寻优（图4）。该寻优本质上是对网格曲面的几何优化，由于无需改变曲面拓扑关系，避免了因寻优范围过大而导致效率低、收敛慢等困难，不仅与方案阶段要求的快速性和灵活性相匹配，也为重构形体提供进一步的操作可能。

图4 建筑曲面重构形体的多目标优化流程搭建

4 与常用方法的对比实验

4.1 实验设置

本实验选取两个建筑实例为算例曲面（图5），算例1 是瑞士索洛图恩州合作配送中心薄壳，形态为包含三种高斯曲率且变化对称的NURBS 曲面，同时正高斯曲率区域占据主要。算例2 是法国卢浮宫伊斯兰艺术新馆，形态为包含三种高斯曲率且变化无规律的复杂NURBS 曲面，同时非正高斯曲率区域占据主要。

图5 对比实验的算例曲面（上：算例1；下：算例2）

实验首先采用三种不同方法离散算例曲面，具体为本文方法（下文称为参数化法）和常用的映射法、引导线法，然后在生成平面单元的过程中，对不同迭代次数下的重构形体评价指标进行分析，归纳本文重构方法的优缺点及适用范围（表4）。

表4 实验设置

映射法指将NURBS 曲面整体映射至其UV 参数域后，在该参数域上划分均匀、规则的网格，再映射回原始曲面得到网格模型。它具有算法简单、计算效率快、单元可控等优点，而成为目前NURBS 曲面的网格划分主流方法。

引导线法指给定一条引导网格边走向的曲线，并在NURBS 曲面上按照一定间距推进该曲线，最后划分引导线生成网格曲面。它的划分方向和尺寸大小均可控，常用来得到边等长的切比雪夫网（Chebyshev net）。

4.2 算例1 的实验分析与结论

4.2.1 实验结果

采用三种方法提取算例1 离散的网格曲面，并按照从0 次开始，步长为50 次，终止值为500 次的11 组迭代次数生成平面单元，其不同次数下的迭代形体如表5 所示。

表5 算例1 的重构形体迭代

4.2.2 实验分析

首先是平面度指标对比（图6a）。（1）在网格平面化前，本文方法获取的形体平面度质量最优，映射法最差。（2）经过500 次平面化迭代后，上述关系未变，各自提升幅度依次为95.49%、64.08%、63.48%，表明参数化法的重构效率远优于常用方法。

图6 算例1 不同方法的重构形体评价指标对比

其次是光滑度指标对比（图6b）。（1）在网格平面化前，参数化法大于常用方法，表明本文方法的光滑度质量不佳。（2）在平面单元生成过程中，上述关系没有改变。值得注意的是，此时映射法的光滑度质量反而提高，究其原因，是由于算例1 的曲面轮廓接近为四边形域的UV 映射网格，从而使得映射法有着最好的光滑度质量。

然后是规则度指标对比（图6c）。（1）无论是在平面网格生成前还是过程中，参数化法均大于两种常用方法。（2）在平面网格生成过程中，三种方法的规则度增大幅度依次为0.595%、4.841%、60.281%，表明就恶化趋势而言，参数化法小于常用方法。

最后是拟合度指标对比（图6d）。（1）在生成平面网格前，映射法最佳，而参数化法又较好于引导线法。（2）经过500 次平面化迭代后，此时参数化法远优于常用方法，表明本文方法的重构形体不仅更为接近原始曲面，且恶化趋势也更小。

4.2.3 实验结论

针对为对称NURBS 曲面且正高斯曲率主导的算例1，以生成完全平面的网格曲面为条件，对比分析三种方法的最终重构形体（图7），结论如下：（1）本文方法具有最佳的视觉质量，能够保持原始曲面的对称特征，但在边界处存在部分不规则的网格单元形状；（2）映射法的视觉质量较好，但在曲率变化较大处（如边界角点）明显变形；（3）引导线法的视觉质量最差，不仅对曲面边界的适应性较差，且内部也变形明显。总的来说，相比常用方法，本文方法在平面度及网格平面化效率方面具有显著优势，也能更好的保持原始曲面的形状特征，但在光滑度和规则度方面则大于常用方法，不过恶化趋势更小。

图7 算例1 不同重构方法的平面网格生成结果（从左至右：原始曲面；映射法；引导线法；本文方法）

4.3 算例2 的实验分析与结论

4.3.1 实验结果

采用三种方法提取算例2 离散的网格曲面，并按照从0 次开始，步长为100 次，终止值为1000 次的11 组迭代次数进行网格平面化操作，其不同次数下的迭代形体如表6 所示。

表6 算例2 的重构形体迭代

4.3.2 实验分析

首先是平面度指标对比（图8a）。无论是在网格平面化的前后，参数化法均为最佳，引导线法则最差。三种方法的平面度提升幅度依次为68.388%、59.224%、52.846%，表明本文方法的重构效率较优于常用方法。其次是光滑度指标对比（图8b）。（1）在网格平面化前，本文方法大于常用方法，表明光滑度质量不佳。（2）在平面网格生成过程中，上述关系发生了明显改变。其中，映射法仍然为最优，但参数化法已优于引导线法，且恶化趋势最小。

图8 算例2 不同方法的重构形体评价指标对比

然后是规则度指标对比（图8c）。无论是在平面网格生成前还是过程中，本文方法大于常用方法，表明规则度质量不佳。在平面网格生成过程中，三种方法的规则度增大幅度依次为5.630%、31.573%、37.291%，表明就恶化趋势而言，本文方法小于常用方法。

最后是拟合度指标对比（图8d）。（1）在生成平面网格前，常用方法优于本文方法。（2）经过1000次平面化迭代后，上述关系发生根本性转变，本文方法远优于常用方法，表明本文方法的恶化趋势最小。

4.3.3 实验结论

针对为非对称NURBS 曲面且负高斯曲率主导的算例2，以生成完全平面的网格曲面为条件，对比分析三种方法的最终重构形体（图9），有着如下结论：（1）参数化法具有最佳的视觉质量，单元分布均匀；（2）映射法的光滑度表现最佳，但在曲率变化较大处有着明显变形；（3）引导线的视觉质量最差，不仅对曲面边界的适应性较差，而且网格内部也变形明显。综上所述，相比常用方法，本文方法在平面度及平面化效率方面具有显著优势，但在规则度上表现不佳。此外，本文方法可在实现较优的表观效果上，获取与原始曲面形状误差更小的重构曲面。

图9 算例2 不同重构方法的平面网格生成结果（从左至右：原始曲面；映射法；引导线法；本文方法）

5 方法适用性归纳

本研究以微分几何为理论基础，整合离散建模与几何迭代而开发的建筑曲面重构方法，具有以下设计优势：（1）重构效率高，可快速获取连续、无缝的平面网格模型，且与原始曲面的偏差较小；（2）综合质量佳，重构形体在任一阶段都具有良好的平面度质量，并能在确保完全平面的前提下，具有光滑度、拟合度和规则度的综合上佳表现；（3）方法具有通用性，不仅适用于为单一高斯曲率的曲面，而且也对包含高斯曲率为零区域的复杂曲面有效。

然而，本文方法尽管可在损失部分精度的条件下，提升离散网格走向的设计自由度，但因其核心是提取曲面主方向场，导致重构形体很大程度上会被这一几何特性所限制。因此，相比常用方法，本文方法更适合解决以平面化建造为目标的自由曲面建筑问题，尤其是对包含正负零三种高斯曲率的复杂NURBS 曲面有效（表7）。对于部分UV 线为主曲率线的特殊曲面，如球面、椭圆面、旋转曲面等，映射法则更为简便。

表7 不同重构方法的建筑适用性归纳

结语

本文立足建筑师视角，将离散建模与几何迭代算法融入到建筑曲面重构过程中，提出面向自由曲面建造的方案阶段建筑曲面重构形体设计方法。实验证明，上述方法能够解决常用方法中存在的重构质量差、计算效率低、不能提供质量评价等不足，辅助建筑师在重构操作中获得形体更准确、实时性更好的方案反馈，进而提升方案合理性和设计效率。

未来有以下三方面工作有待开展：其一是有必要在真实建造的复杂条件下，以足尺建筑物及多重曲面为重构对象，对本文方法进行应用与完善。其二是重构评价指标需要进一步完善，目前集中在形体美学的几何控制方面，缺乏耗材成本、加工时间等建造指标，因此无法全面反映重构方案形体的性能水平。其三是建筑曲面重构问题与结构性能也密切相关，后续研究有必要统筹空间形态、结构形态与建造效率进行协同设计。

图、表来源

图5：图中案例照片来源于www.archdaily.com；其余图、表均由作者绘制。