齿面接触分析非线性方程组初值问题研究

杨 林，张 超，明希军

（沈阳工业大学机械工程学院，辽宁 沈阳 110870）

0 前言

准双曲面齿轮用来传递两交错轴间的运动，具有承载能力强、传动平稳等优点，在汽车、航空等行业中得到广泛应用［1］。在齿轮加工中TCA的作用是非常明显的，其实质就是在电子计算机上模拟齿面接触区的调整工作，从而得到比较理想的小轮控制数据和合理的刀具设计参数。在模拟齿面的啮合过程中，主要计算出啮合过程的接触点形成的接触轨迹线及求解每一瞬时接触区域，从而计算出啮合过程中齿面接触区域。TCA方程是建立在齿面数学模型的基础之上的，HFM准双曲面齿轮齿面数学模型十分复杂，导致用于TCA分析的求解接触轨迹非线性方程组亦十分复杂，很难人为给出用于TCA计算的初始值［2］。

对齿面接触分析，M.L.Baxter［3］首先研究了准双曲面齿轮齿面接触分析；Krenzer［4］首先研究了加载齿面接触分析；Litvin［5－6］根据切齿加工参数建立数学模型，进行了理论齿面的接触理论研究；郑昌启［7］、毛世民［8］等推导了齿面接触分析方法；汪中厚［9］等提出了基于高精度数字化真实齿面的齿面接触分析方法；张宇［10］等揭示了双重螺旋法的切齿原理并提出了新的齿面接触分析方法。目前，对于HFM准双曲面齿轮TCA接触起始点非线性方程组自动求解初值的问题少有文章论述。

本文从HFM准双曲面齿轮齿面接触轨迹点的求解数学模型出发，提出了一种自动求解TCA接触起始点初值的算法。并编制出自动求解初值程序，能够方便快捷的求解出TCA接触起始点初值，提高了TCA计算的稳定性。

1 齿面接触轨迹点的数学模型

大轮齿面方程在大轮装配坐标系S2记为：r2、n2、t2；小轮齿面方程在小轮装配坐标系S1记为：r1、n1、t1。将小轮装配到S2中，如图1所示，∑＝90°，j和j1平行，i和i1、k和 k1之间夹角为Δ＝∑－（δM1＋δM2），小轮表达式变换为：r1′、n1′、t1′。

图1 理想的齿轮副装配

设小轮p1绕转过η1，大轮p2绕转过η2，大小轮在公共M点上共轭接触。在共轭位置，运用矢量旋转公式，大小轮的表达式记为

其中，s2为刀盘切削面上任意一点M到刀尖顶点之间的长度；θ2为相位角，从理论计算P点到齿面任一点M，s2变为s2＋Δs2。同理，对小轮记为 q1、θ1和 q1＋Δq1。

由啮合原理知：

方程中的 η1和 η2，可用 Δq1，θ1和 Δs2，θ2表示，方程组化为

如图2所示，O2O1＝Hp1＋（E＋V）·j－Jp2，p1⊥j，p2⊥j且 －（p1，p2，j），故 H，V，J可表示为

图2 有安装误差的齿轮副装配

如图3所示，进行TCA分析时，首先在大轮齿面上指定一点M（可以是齿面任意点），作为分析的起点。此点满足：

图3 第一个指定接触轨迹点及接触轨迹

把M点在轴截面内的坐标代入相关方程组，求出 Δs2、θ2。把 Δs2、θ2带入方程组（5），于是方程组（5）就成了变量为Δq1、θ1的二元非线性方程组。

求出Δq1、θ1后，TCA第一个齿面接触点就确定了。再用 Δq1、θ1、Δs2、θ2，表示出 R1、R2、O2O1和H、V的值。然后在此安装条件下求解接触点。选一个步长h，令Δs2′＝Δs2′＋h，用上一个接触点的值 Δq1、θ1、θ2和 Δs2′作为初值代入方程组（3），求出新的接触点，并检查是否超出边界，若超出，程序返回到第一个接触点，令Δs2′＝Δs2′－h，反向找新的接触点，一直到超出边界为止。这样大轮齿面上的接触轨迹点就求出来了，如图3所示。

2 求解初值的实现

2.1 初值收索算法流程

将 Δs2、θ2带入方程组（5），方程组（5）就成了变量为Δq1、θ1的二元非线性方程组。这个方程组人为给定初值一般是比较困难的，为了解决这个问题，从接触起始点非线性方程组自身的特点入手，找出对根有较大影响的等式，并改写为变量是Δq1、θ1的二元函数，利用此二元函数的性质，建立自动求解TCA接触起始点初值的算法，自动求解初值搜索算法流程图，如图4所示。

图4 初值搜索算法流程图

2.2 初值给定原理

由表1、表2所示的准双曲面齿面副基本参数和机床加工参数，结合初值搜索算法流程图，说明初值给定过程。

表1 准双曲面齿轮轮坯基本参数

表2 准双曲面齿轮部分机床加工调整参数

在流程图中，当 Δq1′＝－0.05，f（θ1）是周期为6的函数，如图5所示。在区间［－3，3］内，令f（θ1）＝0，可得两个大小相等，符号相反实数根。实根θ10的符号与刀盘的旋转方向有关，本文θ10取正值。

图5 Δq1′＝－0.0时，f（θ1）的函数图像

取 Δq1′∈［－0.1， －0.01］，把 Δq1′＝－0.1， －0.075， －0.05， －0.025， －0.01分别代入 f（Δq1，θ1），并把 f（θ1）的图像画一起，如图6所示。f（θ1）的图像几乎重叠在一起，直观上 Δq1′的变化对 f（θ1）影响较小。

图 6 f（θ1）的函数图像

在 f（θ1）＝0，正根处，对 f（θ1）局部放大，如图7所示，结合表3中的数据：Δq1′取值区间［－0.1000，－0.0100］，区间长度为 －0.0100－（－0.1000）＝0.0900；θ10给 出 区间 ［0.6177，0.6246］，区间长度为0.6246－0.6177＝0.0069。

图 7 f（θ1）图像局部放大图

表3 Δq1′取不同值时TCA起始点初值和根

程序给出的初值θ10，区间长度远小于Δq1′的区间长度，也就是说，当Δq1′离根Δq1较远的情况下，代入 f（Δq1，θ1）算出的 θ10，仍然非常接近根θ1。Δq1′变化曲线如图8所示，通过几何图形直观上Δq1′在定义域［－0.1，－0.01］内取值时，对f（θ1）影响较小，这就给索取初值提供了有利条件。

图 8 Δq1′变化曲线

3 算法设计实例

以表4为例，通过对不同的HFM齿轮副接触起始点根进行计算，发现方程组的根Δq1，总是落在以－0.05为中心，－0.05为半径的邻域内。故在程序中，设定Δq1′＝－0.05。这样设置：大部分方程组的根离－0.05比较近，程序给定的初值更容易使方程组收敛；若方程组不收敛，可令 Δq1′＝Δq1′±0.01，如初值搜索算法流程图4所示，进行循环求解，容易找到使方程组收敛的初值。程序运行结果表明，设定Δq1′＝－0.05是合适的，对不同参数的HFM齿轮副，该算法能够方便正确的求解出TCA接触起始点的初值，表5为求得对应HFM齿轮副的初值和根。

表4 不同参数的HFM齿轮副

表5 对应HFM齿轮副的初值和根

4 结论

（1）提出了一种自动求解HFM齿轮副TCA接触起始点初值的算法，能够方便快捷的求解出TCA接触起始点初值，从而求出第一个齿面接触的相关参数，提高了TCA计算的稳定性。

（2）通过实际算例验证了该算法的有效性，该方法与靠经验给定初值的方法相比：具有给定初值速度快，对不同参数的HFM齿轮副通用性强，不需人工干预的优点。

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