布金汉方程的代数解在流变参数测定中的应用

朱 旦 生

(甘肃省兰州市灌溉试验示范中心， 甘肃 兰州 730030)

布金汉方程的代数解在流变参数测定中的应用

朱 旦 生

(甘肃省兰州市灌溉试验示范中心， 甘肃 兰州 730030)

工农业生产实践中存在大量的以宾汉流体为主的非牛顿流体流动现象，由于用来量化描述宾汉体流变学特征的宾汉方程是一个比较复杂的微分方程，工业设计中流变参数极限切应力τβ、和刚度系数η的确定，大多数都通过毛细管黏度计用图解法获得。本文介绍了一种宾汉方程的代数解法，可准确给出宾汉极限切应力与毛细管中切变速率的数学表达式，以该数学表达式为依据，导出了极限切应力为零时经典的牛顿体泊谡叶方程。该代数解法所得到的数学表达式，可大幅度的减少传统的毛细管黏度计图解法试验测试工作量，对宾汉体流变参数的测定具有重要意义。

宾汉流体；流变参数

非牛顿流体力学是由流变学发展起来的研究非牛顿流体应力和应变的关系和非牛顿流体流动问题的分支学科。非牛顿流体是剪应力和剪切变形速率之间不满足线性关系的流体。自然界中存在着大量非牛顿流体，例如油脂、油漆、牛奶、牙膏、动物血液、泥浆等。非牛顿流体力学在化学纤维工业、塑料工业、石油工业、轻工业、食品工业等许多部门有广泛的应用。宾汉流体是非牛顿流体的一种，牛顿流体(如水、空气)属于低分子量的流体，而宾汉流体则具有高分子量，其切应力不符合牛顿内摩擦定律。当切应力达到某个确定值以后，流体才开始流动，并与牛顿流体一样，其切应力和剪切变形速率呈线性关系。水利行业科研工作者对宾汉体的研究始于高含沙水流流动现象的研究，20世纪黄河上、中游高含沙洪水经常遇到的“浆河”及“揭河底”现象，以及引浑淤灌生产实践中所观测到的经典水力学所无法解释的高含沙水流流动现象，揭示了水利工程生产实践中同样存在宾汉体这一有别于传统水力学范畴的非牛顿流体现象。由于宾汉体含沙水流形成的条件不但与浑水的平均含沙量有关，更多的是与极细粘性泥沙颗粒的含量高度相关，相同浓度下黏性细颗粒构成的浑水更容易由牛顿体变为宾汉体，因此在灌溉渠系的末端或者一些节水器具的特殊部位也会出现宾汉体流动现象，这对微型节水器具的研发无凝会提出更高的挑战。因此，从灌溉水力学的工程生产实践需求看，宾汉体浑水的研究也具有重要意义。由于宾汉流体流变参数的确定是各种宾汉体工业设计问题的基础，因此本文从宾汉体流变方程的求解出发，对相关技术问题的解决进行一些有益的探索。

1 宾汉体流变学的基本问题

宾汉体流变特性可用方程

(1)

对于管流对上式分离变量积分，得到著名的布金汉方程。

(2)

τβ=0时，由该公式即可得出适合牛顿体的泊谡叶方程

(3)

(4)

1952年赫德斯托姆用无量纲得出[3]

(5)

上式中NHe=赫德斯托姆，Re=雷诺数，f=范宁摩擦系数，赫德斯托姆用量刚分析法一定程度上解释了布金汉方程。但实用性还是有诸多不便。随着现代数值计算技术的飞速发展，寻求一种可通过数值计算确定流变参数的方法很有必要。

2 布金汉方程的代数解法

我们仔细研究了方程(2)的结构，把方程改变为如下形式

(6)

进一步变形为

(7)

(8)

根据一元三次方程卡当公式[4]，一元三次方程

(9)

可代为

(10)

u3=-0.3333-1.003i

v3=-1.3636

u3=x+yi=γ(cosθ+isinθ)

v3=γ(cosθ-isinθ)

三个实根

x1=u1+v1=1.8360

x2=ωu1+ω2v1=-1.6455

x3=ω2u1+ωv1=-0.2175

因此，布金汉方程写成如下形式

(11)

令τβ=0，则得到著名的牛顿体泊谡叶方程

(12)

式(12)这时与式(3)相比系数比32略大，这可能是取有效数字数四位计算引起的误差，公式结构形式的完全相同基本上可以证明式(11)的正确合理性。根据式(11)可多种方法求τβ、η。该式列成实验数据表格，可确定流变参数，该方法理论严密，可运用在实际工作中。

3 结 语

本文通过对管流中宾汉体流变方程的转换代数最终得到了式(11)所示的宾汉体流变方程的代数解，该式列成实验数据表格，借助数值分析方法和少量的毛细管流变试验即可确定流变参数，可大幅度减少常规毛细管黏度计测定宾汉体流变参数的工作量，具有很强的使用价值。作为一种科学探索，本文所提方法需要从事宾汉流体工程问题研究的科技工作者在科研实践中检验应用，具体的使用方法有待实践中总结。

[1] Wasp E J.固体物料的浆体管道输送[M].黄河水利委员会科研所《固体物料的浆体管道输送》翻译组译.北京：水利出版社，1980.

[2] 迟耀瑜，王在阳，杨延瑜.高含沙水流远距离输送[M].北京：水利水电出版社，1990.

[3] 武汉水利水电学院．河流工程学：上册[M].北京：水利水电出版社，1980.

[4] 余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究：下册[M].北京：高等教育出版社，1992.

TheApplicationofAlgebraicSolutionBinghamEquationanditsApplicationinmeasurementofRheologicalParameter

ZHU Dansheng

(LanzhouIrrigationExperimentDemonstrationCentre,Lanzhou,Gansu730030,China)

A large number of non-newtonian fluid flow mainly based on Bingham fluid theory which exist in the practice of industrial and agricultural production. Most rheological parameter in industrial design was derived from capillary viscometer by graphical method because Bingham Equation is a complex differential equation which can quantify the rheological feature of Bingham body. This paper introduces an algebraic solution of Bingham equation which can give mathematical expression of shear rate in capillary and bingham yield stress. The classical Newton body Poiseuille equation is derived by this expression when the yield stress is zero. This solution can greatly reduce the computation time of traditional graphical method and thus have great significance to the measurement of Bingham body rheological parameter.

Binghamfluidtheory;RheologicalParameter

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.05.040

2017-05-16

2017-06-10

朱旦生(1965—)，男，浙江义乌人，工程师，主要从事节水新技术方面的研究工作。E-mail: 3236665744@qq.com

TV131

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1672—1144(2017)05—0216—02