基于Timoshenko梁求解钢轨导纳研究

刘 磊，宣 言，孙加林

(中国铁道科学研究院铁道科学技术研究发展中心，北京 100081)

导纳指的是在单位力激励下结构的响应，其倒数定义为阻抗，表现形式有位移导纳、速度导纳和加速度导纳。钢轨导纳是轮轨表面粗糙度激励引起轮轨系统响应的决定性因素，是进一步研究轨道振动噪声的基础。

在钢轨导纳研究中，普遍采用两种形式的梁模型，即Euler梁和Timoshenko梁模型。Remington将钢轨看作单层弹性基础上连续支撑的Euler梁计算钢轨导纳，所得结果高频成分与实测差异较大［1-2］。Thompson在Remington模型基础上，将钢轨模型进行扩展，采用多层梁模型取代了单层梁模型，得到了较好的结果［3-4］。翟婉明通过求解轨道振动微分方程，给出了轨道阻抗的理论解析解［5］。魏伟、翟婉明建立了适合轨道高频振动导纳分析的有限元模型，利用该模型很好地预测了轨道结构共振［6］。雷晓燕和圣小珍采用多自由度振动体系计算了轮轨接触点处钢轨的竖向阻抗［7］。Euler梁考虑钢轨的弯曲变形而不考虑其剪切变形。Timoshenko梁引入了梁的剪切应变，并考虑梁的旋转惯性，从而使梁的受力分析更加完整。

本文利用大型通用有限元软件Ansys，分别建立Euler梁和Timoshenko梁钢轨导纳分析多层梁模型，采用完全法计算轨道结构在单位力激励下的频率响应，求解钢轨导纳。

1 钢轨导纳分析模型

图1 钢轨位移导纳分析模型

模型采用双层连续弹性点支撑模型，建立30 m轨道结构模型，扣件间距0.6 m，如图1所示。其中钢轨采用梁单元，扣件系统简化为弹簧阻尼单元Combine14，轨枕采用集中质量单元Mass21，轨枕与道床之间再加入一个Combine14单元来模拟两者之间的刚度和阻尼。

Combine14单元具有轴向的弹簧—阻尼器选项，是一维的拉伸或压缩单元。钢轨分别采用Beam3梁单元和Beam188梁单元模拟。Beam3单元是一种可承受拉、压、弯作用的单轴单元，可用Beam3单元来表示Euler梁。Beam188单元基于Timoshenko梁理论，是三维线形梁单元，可以考虑剪切变形的影响。

［8］和文献［9］，模型参数如下:钢轨材料杨氏模量E=2.06×1011N/m2，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 800 kg/m3，阻尼系数0.02;60 kg/m钢轨截面面积 A=77.45×10－4m2，钢轨高度0.176 m，对水平轴惯性矩I=3 217×10－8m4;扣件系统刚度kp=1.2×108N/m，阻尼 cp=7.5×104N·s/m;半根轨枕质量m=125 kg。道床系统刚度kb=1.1×108MPa，阻尼cb=5.88×104N·s/m。

2 采用完全法求解钢轨导纳

采用完全法进行频率响应分析，通过用复数代数

3 计算结果分析

算法求解一系列耦合的矩阵方程，计算单位力激励下轨道结构的频率响应。在简谐激励荷载作用下，动力学方程如下

式中，［M］为质量矩阵，［C］为阻尼矩阵，［K］为刚度矩阵。

方程的解可写成如下形式

式中，u⇀(ω)为位移向量，将式(2)代入式(1)可得

当结构受单位荷载作用时，得到轨道结构的位移导纳

在Ansys分析中，采用Block Lanczos法提取了钢轨的前50阶模态，表1列出了钢轨前10阶模态。

通过观察钢轨振动模态，可以看出钢轨振型主要有纵向振动、扭转振动、横向振动和垂向弯曲振动。当列车通过时，钢轨的垂向弯曲振动要比其它振动大得多，是影响钢轨位移导纳的主要因素，提取前10阶振动模态中垂向弯曲振动的固有频率及振型如图2所示。

表1 钢轨前10阶模态固有频率和振型

图2 钢轨垂向弯曲振动固有频率及振型

分别采用Euler梁和Timoshenko梁建立计算模型，在模型中心位置处施加单位简谐荷载，采用完全法求解钢轨位移导纳，分析的频率范围为0～5 000 Hz，步长为50 Hz，计算得到的钢轨位移导纳频率响应曲线如图3所示。

由图3可以看出，在振动频率1 500 Hz以内，采用Timoshenko梁和Euler梁模型的钢轨位移导纳计算结果基本一致，也与模态分析结果相符合，如表2所示。表2为钢轨模态固有频率与两种梁模型计算的钢轨位移导纳峰值频率对比。最大峰值发生在1 250 Hz左右，钢轨位移导纳最大幅值由Timoshenko梁计算为4.19×10－8m/N，Euler梁计算结果为 3.24 ×10－8m/N，Timoshenko梁计算结果略大于Euler梁。当振动频率在1 500 Hz以上时，Euler梁计算导纳幅值随频率的增高而减小，Timoshenko梁模型则仍能较好反映导纳的峰—峰值变化规律。因此，在计算钢轨位移导纳时，分析频率在1 500 Hz以下时，两种模型差别不大;当计算频率在1 500 Hz以上时宜采用Timoshenko梁模型。

求解得到钢轨位移导纳HD(ω)，求导即可得到相应的速度导纳为

图3 钢轨垂向位移导纳

表2 振动模态频率与导纳峰值频率对比

对式(5)继续求导即可得到加速度导纳

由Timoshenko梁模型计算得到的钢轨速度导纳和加速度导纳如图4所示。速度导纳和加速度导纳最大峰值频率均为1 250 Hz，速度导纳最大值为5.24×10－5m/s/N，加速度导纳最大值为6.55×10－2m/s2/N。频响曲线的峰值点与固有频率一一对应，且在1 250 Hz时发生Pinned-pinned振动，即支撑于两扣件节点之间的钢轨受到激励后产生纵向机械波，其驻波点刚好在两节点支撑处。

图4 钢轨速度导纳和加速度导纳

4 结论

1)计算钢轨导纳时，在1 500 Hz以内Timoshenko梁和Euler梁模型计算差别不大;当频率高于1 500 Hz时，Timoshenko梁模型能够较好地反应振动的高频成分。Timoshenko梁模型引入了梁的剪切应变，并考虑梁的旋转惯性，从而使梁的受力分析更加完整。

2)钢轨振型有纵向振动、扭转振动、横向振动和垂向弯曲振动。采用Timoshenko梁模型计算的前4个垂向位移导纳峰值频率依次为450 Hz、700 Hz、1 000 Hz和1 250 Hz，与模态分析结果基本一致。

3)采用Timoshenko梁模型计算的钢轨导纳最大峰值频率为1 250 Hz，位移导纳、速度导纳、加速度导纳峰值依次为4.19×10－8m/N、5.24 ×10－5m/s/N 和 6.55 ×10－2m/s2/N。频响曲线的峰值点与固有频率一一对应，且在1 250 Hz时发生Pinned-pinned振动。

参考文献

［1］Remington P J．Wheel/rail rolling noiseⅠ:Theoretical analysis［J］．Journal of the Acoustical Society of American，1987，81(6):1805-1823．

［2］Remington P J．Wheel/rail rolling noise Ⅱ:Validation of the theory［J］．Journal of the Acoustical Society of American，1987，81(6):1824-1832．

［3］Remington P J．Wheel/rail noise:Theoretical modeling of the generation of vibrations［D］．University of Southampton，1990．

［4］Thompson D J．Wheel/rail noise generation，PartⅢ:Rail vibration［J］．Journal of Sound and Vibration，1993，161(3):421-446．

［5］翟婉明．铁路轮轨高频随机振动理论解析［J］．机械工程学报，1997，33(2):20-25．

［6］魏伟，翟婉明．轮轨系统高频振动响应［J］．铁道学报，1999，21(2):33-36．

［7］雷晓燕，圣小珍．铁路交通噪声与振动［M］．北京:科学出版社，2004．

［8］郝瀛．铁道工程［M］．北京:中国铁道出版社，2000．

［9］翟婉明．车辆—轨道耦合动力学［M］．北京:科学出版社，2007．

［10］Thompson D．Railway noise and vibration mechanisms，modelling and means of control［M］．Cambridge:Elsevier，2009．