柔性关节柔性连杆机械臂抑振轨迹规划

王 航

(西安铁路职业技术学院机电工程学院，陕西 西安 710026)

相比于一般的工业机器人，柔性机械臂的材质密度小，可以较低的能耗、较短的时间使机械臂工具端达到目标地点并尽快趋于稳定。柔性机械臂在运动过程中易产生弹性振动，这将导致机械臂工具端的定位精度下降，甚至导致系统失稳，且在机械臂关节处存在着传动、减速装置，这些设备不可避免地存在柔性，关节柔性的存在会使机械臂在运动停止后产生残余振动，需要对全柔性机械臂进行振动抑制研究。

关节柔性和连杆柔性的机械臂是全柔性机械臂。柔性机械臂振动抑制的研究主要集中在控制算法和轨迹规划两个方面。文献[1]首先采用五次多项式函数对末端轨迹进行插值，将满足机械臂末端振动最小化的轨迹规划问题转换为待定冗余参数的优化问题，然后采用粒子群优化算法求解该组参数。文献[2]采用正弦-梯形函数作为各关节的角速度函数，优化了其中的系数和幅值参数。文献[3]采用五次多项式函数作为关节空间插值函数，以轨迹控制点的位移浮动值作为待优化变量，使用遗传算法优化得到柔性臂振动能量最小的最优抑振轨迹。文献[4]使用改进PSO算法，以激振力为性能指标对B样条轨迹进行优化。文献[5]建立刚柔耦合机械臂时考虑了柔性臂杆的大变形，使用粒子群优化算法确定了最优轨迹的插值点的波动量。文献[6]提出的目标函数分别是机械臂的能耗和残余振动，使用多目标遗传算法获得最优多项式轨迹的系数。文献[7]针对一种专用高速动作的微型机械臂，建立了以力矩和振动为优化指标的目标函数。文献[8]研究了关节轨迹插值函数是摆线方程的优化问题。

机械臂轨迹规划方面的研究成果丰硕，但与柔性机械臂振动抑制轨迹规划有关的文献就相对有限，可以考虑将刚性机械臂臂轨迹规划方面的研究成果应用到柔性机械臂。一般而言，柔性机械臂的轨迹规划曲线多为多项式曲线，而多种曲线组合的形式不多见，因此有必要开展这方面的研究工作。

1 柔性关节柔性机械臂的动力学建模

机械臂由多个臂杆铰接在一起构成[9]。在机械臂的连杆中,有些是短而粗的，可忽略柔性视其为刚体；而另一些细而长的，其弹性变形不可忽略[10]。文献[11]指出，机械臂关节的柔性源自谐波减速器和力矩传感器。

就理论研究而言，轨迹规划的前提是建立柔性机械臂的动力学方程。柔性臂杆的建模一般采用假设模态法，而柔性关节的建模通常采用的是Spong模型[12]。全柔性机械臂的简图如图1所示。

1.1 动力学方程

本文采用Lagrange法建立动力学模型。不考虑连杆的端部质量，则系统的动能包含关节驱动装置动能和柔性杆动能，系统的势能包含柔性臂杆的弹性势能和柔性关节的弹性势能。

图1 单臂全柔性机械臂

在图1中，杆臂为柔性杆，关节为柔性关节。在某个瞬时，柔性杆上任意一点P的横变形用w表示，则w是坐标x和时间t的函数，记为w(x,t)，设笛卡尔坐标系o-XY为该系统的基础坐标系，o-xy为附体坐标系。图中，τ为关节处的驱动力矩，θ为柔性连杆关节转角，φ为驱动装置转角，k为柔性关节等效刚度。此外，设L为柔性连杆未变形的长度，m为柔性连杆的质量。

某时刻P点坐标可以表示为

(1)

将r对t求导，可得P点的瞬时速度。

(2)

则柔性关节柔性连杆机械臂的动能T表示为：

(3)

式中：J1为驱动装置的转动惯量；J2为关节处传动设备的转动惯量；ρ为密度；A为杆的截面积。

不计重力，则机械臂的势能U只是柔性臂的弹性势能，表达式如下：

(4)

式中：E为弹性模量；I为截面惯性矩。

将T,U代入Lagrange方程，得

(5)

式中：q为系统广义坐标；Q为系统广义力矩阵，Q=[τ,0,0,0]。

由均匀等截面Euler-Bernoulli梁理论振动微分方程，可得梁的弹性变形的表达式为[13]：

(6)

式中：φi(x)为柔性杆的第i阶振型函数；ai(t)为与振型函数相对应的模态坐标。

采用悬臂梁振动模态，并取二阶模态，代入式(5)，得动力学方程为,

(7)

式中：M,K分别为质量、刚度矩阵。此时广义坐标q=[φ,θ,a1,a2]。

1.2 运动与振动的关系

系统动力学方程式表明柔性关节柔性连杆机械臂关节和杆臂具有耦合的特性。将动力学方程中与广义力矩相关的项略去，即可得到用于柔性臂抑振轨迹规划的动力学方程：

(8)

式(8)表达了传动装置转角、关节运动与模态坐标之间的关系，对其进行求解可得出机械臂传动装置轨迹对机械臂结构振动影响的情况。

2 最优轨迹规划

2.1 三次样条曲线

轨迹规划的中心任务是选取关节空间的插值曲线。三次样条曲线不能保证端点处的速度、加速度同时为零，故首末两段曲线使用多项式曲线连接。

将柔性臂运动时间历程等分为n个相等的时间间隔，时间节点依次为t1,t2,t3,…,tn。时间节点ti对应的柔性臂角位移为θi。使θi值增减给定的区间范围内的一个变化值，进而得到不同的轨迹控制点下的位移曲线。

插值点纵坐标的表达式为：

θ1i=θi+Δθi

(9)

式中：θ1i为插值点纵坐标值；θi为基础插值点值；Δθi为坐标变化值。角位移曲线如图2所示。

本文中所使用的插值曲线建立方式参考文献[14]。其中首尾两段五次多项式表示如下：

q1(t)=a0(t-t1)3(t-t0)2

(10)

qn(t)=an-1(t-tn-1)3(t-tn)2

(11)

图2 插值点处的变化量

2.2 目标函数

一般而言，在[0,tf]的时间段内机械臂被驱动，在[tf,2tf]时间段内停止驱动机械臂，在该段时间内可考察机械臂的残余振动，其中tf为机械臂的运动时间。将关节空间插值求得的驱动装置转角代入式(8)即可得到柔性臂杆的转角、一阶模态坐标和二阶模态坐标的值。

柔性臂杆的残余振动是指臂杆在运动结束后末端挠度的最大值f1。

f1=max|φ1(L)a1(t)+φ2(L)a2(t)|

(12)

式中：φ1(L)，φ2(L)分别为悬臂梁取L第1，2阶振型函数的值，a1(t)，a2(t)为对应的模态坐标。

柔性关节的残余振动是指运动结束后臂杆的角位移与驱动装置角位移差值的最大值f2：

f2=max|φ(t)-θ(t)|tf≤t≤2tf

(13)

本文采用加权系数法将两个目标函数整合在一起。加权系数的引入是因为柔性臂杆的残余振动与关节柔性引起的残余振动之间存在差异，需要反复试算才能确定加权系数。总的目标函数如下所示。

f=αf1+f2tf≤t≤2tf

(14)

式中：α为加权系数。则该优化问题的目标函数可写为

minf

s.t.Δθi∈(-0.1|θn-θi|,0.1|θn-θi|)

i=1,2,…,n

(15)

2.3 免疫遗传算法

免疫遗传算法是将免疫思想和遗传算法相结合而发展起来的一种群智能优化算法[15]。免疫遗传算法的兴起较遗传算法晚，因此可以视为遗传算法的一种衍生算法。与遗传算法相比，免疫遗传算法不需杂交操作，而是采用注入疫苗的方法。疫苗是优秀染色体中的一段基因，注入疫苗是指把疫苗接种到其他染色体中。对于绝大多数的优化问题而言，遗传算法和免疫遗传算法的寻优结果并没有优劣之分，计算效率相差不大。但免疫遗传算法的出现为群智能算法开辟了新的领域。

免疫遗传算法流程如下：

1)产生初始抗体群。随机产生N个个体，并从中提取m个个体构成初始群体，称其为记忆库，其中m为记忆库中个体的数量。

2)计算适应度，并完成种群中各个抗体的评价。

3)形成父代群体。将初始群体按期望繁殖率进行降序排列，并取前N个个体构成父代群体，同时取前m个个体存入记忆库中。

4)判断是否达到结束的次数,是则结束；反之则继续下一步操作。

5)产生新种群。在步骤3)的计算结果基础上对抗体群体进行选择、交叉、变异操作得到新群体，并与记忆库中的个体共同构成新一代群体。

6)执行步骤2)。

3 数值计算

3.1 参数设置

机械臂的相关参数设置均参考文献[11]，因此本节得到的计算结果对空间机械臂的抑振轨迹规划有一定的意义，同时对于SCARA等平面二关节机器人亦有相似的参考价值。具体而言，杆长L为0.75m，臂杆线密度ρ为3.74kg/m，柔性臂抗弯刚度EI为23.625N·m2，传动装置刚度k为200。反复试算可知，目标函数的值在计算过程中的变动量较大，但是数量级相差不大，取加权系数α=1×10-1，则目标函数的值将不存在数量级的差异，各部分的值均在目标函数中有所体现。为了凸显轨迹规划的有效性，设置机械臂在较短的时间完成较长的轨迹，参考文献[3]，机械臂的运动时间tf=2s。免疫遗传算法的参数设置为：种群规模100，交叉率0.7，变异率0.02，迭代次数100。微分方程的求解采用定步长四阶龙哥库塔法，步长为0.001s，三次样条的求解采用追赶法。

3.2 仿真结果

采用配备第7代酷睿i5处理器的联想微机。计算的总时长为6 391s。仿真过程中注意到，自变量取值范围的系数参考文献[5]时，计算的过程中会出现奇异解，在变量范围选取时应当注意这一点。

由图3可知，最优目标函数值在50次迭代之后即趋于稳定。在计算的前期目标函数有波动，随着计算的进行，目标函数迅速减小并趋于稳定。得到一组最优解x=[-0.067 00 0.009 68 -0.077 10 -0.077 50 -0.095 40 -0.094 30 -0.034 50 -0.037 90 0.073 20]。

图3 优化计算过程

图4所示为优化后驱动装置角位移曲线，曲线平滑。图5，6所示分别为优化后角速度、角加速度曲线。由图可知，采用分段的方式使得初始和终止位置的速度、加速度为零，而且插值点处的角速度、角加速度曲线过渡平缓，最值较小。

图4 优化后的插值曲线

图5 优化后角速度曲线

图7所示是柔性关节的残余振动曲线，图8所示是柔性臂杆末端的残余振动曲线。2个图中，前2s是机械臂受到驱动的运动曲线，后2s不驱动机械臂，用于研究残余振动。比较两条曲线可知，优化后机械臂的关节残余振动和柔性臂杆末端的残余振动均显著减小。关节变形由0.057 7减小为0.000 1，臂杆残余振动由0.012 0减小为0.000 1。优化后，柔性关节的运动曲线变得平滑。这里只考虑了机械臂的残余振动，机械臂运动过程中的振动不在考虑范围内。图像中也显示出了类似的结果，即运动过程中的弹性变形并没有因为良好的轨迹规划而显示出较好的动态特性。

图6 优化后角加速度曲线

图7 关节残余振动曲线

图8 柔性杆末端残余振动曲线

4 结束语

本文对单连杆全柔性机器人振动抑制的研究侧重于理论方面。采用三次样条曲线和五次多项式组合的方式进行轨迹插值的方法对多连杆柔性机械臂同样适用，但需要相关实验验证本文方法的有效性，因而后续的研究应与实验结合起来。