柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法

熊 宇，曾贵娥，崔晓

（广东白云学院 电气与信息工程学院，广州 510450）

在自动化生产线上，柔性关节机器人的抓取末端执行器需要具备快速定位功能，而机器人在开关机时末端存在非常大的振动，严重影响定位的精准度和速度[1-2]，因此，自动化控制柔性关节机器人抓取末端振动成为研究的热点课题。

文献[3]方法提出误差补偿法。利用傅里叶分析设计整形器，将柔性关节机器人的末端振动值输入到整形器中，完成抓取末端控制。该方法抑振效果差、性能低；文献[4]方法分析转速波动机理，建立柔性关节机器人系统的数学模型，利用内环鲁棒控制和现代控制理论完成柔性关节机器人抓取末端控制，该方法控制误差高、精准度低；文献[5]方法结合多体动力学和角动量守恒构建控制系统算法的数学模型，计算柔性关节引起的转动误差，完成柔性关节机器人抓取末端控制。该方法上升时间长、劳动强度低、效率低。

为了解决上述方法中存在的问题，提出柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法。采用奇异摄动模型对柔性关节机器人系统进行描述，充分考虑机器人系统中的非线性、耦合和奇异摄动等因素，使得所设计的控制器更加准确和精细。设计优化控制器，并构建控制误差代价函数，利用拉格朗日法获取函数最优解，实现柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制，以提高机器人的控制精度和效率。

1 柔性关节机器人模型

1.1 系统动力学分析

在自动化控制之前需要构建柔性关节机器人模型，对其展开系统动力学分析[6]，如图1 所示。

图1 柔性关节机器人系统Fig.1 Flexible joint robot system

图1 中，柔性关节机器人系统的柔性关节为（O1，O2），其载体为Q0。刚性杆和载荷分别表示为（Q1，Q2）、A。构建柔性关节机器人系统惯性坐标系（OXY），其中，Qj（j=1，2）的主轴坐标系为（Oj，Xj，Yj）。V 为系统的总质心。V0、V1表示Q0、Q1的质心。t0、t1表示V0、V1的矢径。V2a表示Q2和A 结合部分Q2A的质心。t2a表示V2a的矢径。tv为V 与O 对立的矢径。rj代表着轴xj的单位矢量。

依据Sponge 函数假设理论，将自动化机器人的柔性关节简化成无惯量线性扭簧[7]，如图2 所示。

图2 柔性关节简化模型Fig.2 Simplified model of flexible joints

当柔性关节Oi位置的电机转子经过旋转运动通过角度ηi时，在扭簧弹性力的作用下，它带动的杆Qi的转动角度为wi=ηi+Δi，在此式中，柔性关节导致的旋转运动的误差为Δi。所以，在系统动力学分析时需要将柔性关节机器人和电机转子动力学分别展开讨论和分析[8]。是以柔性关节机器人系统的动能U 需要计算柔性关节机器人的动能Uw以及电机转子动能Uη。则其表达式如下：

式中：ti表示Vi的矢径，V0、V1的质量、转动角速率及中心惯量矩分别表示为mi、σi和Ji（i＝0，1），结合体Q2A 的质量、转动角速率及中心惯量矩分别表示为m2a、σ2a和J2a，柔性关节O1、O2上电机转子的转动角速率及中心惯量矩分别表示为Jη1、Jη2和ση1、ση2。

不考虑外界环境中存在的极小的重力作用，则扭簧的弹性力可以作为柔性关节机器人运动的总势能，表达式如下：

式中：刚度系数表示为k。

令系统初始动量和动量矩为0，则柔性关节机器人系统的动量和动量矩守恒关系如下所示：

由此初步完成柔性关节机器人系统动力学方程的建立，需要进行运动分解，实现弹性振动控制。

1.2 柔性关节机器人奇异摄动建模

基于关节机器人系统动力学方程，利用奇异摄动法抑制柔性关节机器人的弹性振动。将式（4）近似地分解为慢变和快变子系统，分别代表柔性关节机器人系统刚性、柔性2 个运动部分。则柔性关节机器人系统的控制算法δ 如下所示：

式中：慢变、快变子系统控制算法分别为δd、δg。

令一个很小的正数常数ζ 和正定相对角矩阵的关系为K1＝ζ2K，同时将快、慢变量分别设为弹性力c=K（η-w）和w，此时柔性关节机器人系统动力方程表示为

在速度差值的基础上将快变子系统的反馈控制算法重新描述，具体如下所示：

式中：Kg＝K2/ζ，K2代表正定对角矩阵。此时，通过收到的速率差值一直调整Kg，确保δg的稳定性，将式（5）、式（7）代入式（6）中：

根据K＝K1/ζ2可知，当ζ→0 的时候，K→∞，这时柔性关节可以近似为刚性；将式（4）中η＝w、，则δd的动力学方程如下所示：

综上所述，式（8）和式（9）就是柔性关节机器人系统的奇异摄动模型。

2 自动化控制方法

2.1 控制器设计

柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法的抑振目标是末端残余振动，因此柔性关节机器人系统运动方程如下所示：

式中：对称正定常数矩阵为M；柔性关节机器人系统的坐标列阵为P；常对称矩阵为K；输出向量为Bd；结构阻尼为V。

式（10）是根据有限元法构建的柔性关节机器人系统运动方程，是高维度的二阶微分方程式。考虑控制器成本与系统低阶模态激励振动的弹性，对控制器的运动方程展开降阶操作，通过实时模态方法将物理空间定义的运动方程映射至模态空间上，变换如下所示：

式中：振动型矩阵为φ；模态坐标向量表示为μ。

将式（11）加入式（10）中，同时左乘φT，（单元动能为T）则系统控制模型表达式如下：

展开前e阶低阶模态控制操作，此时模型可做简化处理，表达式如下：

2.2 控制器的优化

将式（13）描述成状态空间的表达式如下：

通过最佳状态反馈控制器可以在最大程度上削减柔性关节机器人系统的末端剩余振动，将性能函数重新定义：

式中：权重矩阵为W、E。令控制输入的表达式如下：

式中：增益矩阵为H。

按照LQR 概念，通过式（15），控制振动的最佳增益矩阵的表达式如下：

式中：矩阵黎卡提代数方程的解为A，即：

2.3 目标函数误差最小化

上述式中设计柔性关节机器人控制器在末端振动的抓取中存在一定误差，柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法通过建立单一的控制误差代价函数，达到误差最小化的目的。

将柔性关节机器人的单位阶跃信号视作参照的输入信号，则与其对应的二阶线性系统反馈d（y）表达式如下：

式中：柔性关节机器人系统阻尼比率为σ；无阻尼固有频率为w0。

通过将其输入控制器整形后的柔性关节机器人系统的单位阶跃响应为

式中：脉冲信号为η；脉冲幅值向量为Si。假设柔性关节机器人系统的响应停滞时间是明确的λ0，将需要整形处理的脉冲信号采取路径规划操作，将其向前移动mYv，也就是将参考脉冲信号向后移动mYv，此时实际输出值和参考输出值存在误差r（y），表达式如下：

在实际操作中，有限长时间Ymax完全可以替代y→∞这一要求，此时代价函数的表达式如下：

式中：W代表n×n 维的正定加权对角矩阵，W 的对角因子wi值越大，对S 的惩罚越高。第2、3 项分别表示过程、定位抑制振动误差项，惩罚因子为l1、l2，将式（22）每项展开运算，如下：

假设：

对式（24）展开化简处理，则：

式中：n×n 维矩阵为ψ，则代价函数的表达式如下：

式中：A1=W+l1ψ+l2Z，A2=l1η+l2H；η代表n 维向量；Z代表n×n 维矩阵。通过拉格朗日法对S 展开运算，构建拉格朗日函数U（S，λ）为

式中：拉格朗日方法的乘子向量为λ，λ∈E8。U（S，λ）的极值要求为

经过运算后的S的表达式如下：

式中：A1矩阵存在可逆与不可逆2 种情况，当正定加权对角矩阵W上的对角因子w 和惩罚选项l1符合w≥0.2、l1≥1 要求时，确保A1满秩，此时幅值向量S有解，在实际操作中，对误差的需求更高，因此惩罚选项l2>l1。

选取一个柔性关节机器人的初始脉冲数n0（n0≥8）启动迭代运算，直至求解出满足要求的幅值矢量S*为止，并将S*的维数设置成n，此时脉冲的工作时效为yi＝（i-1）Yv（i=1，2，…，n），此时整形器表达式如下：

此时，求解的误差值达到最小，实现柔性关节机器人抓取末端振动的自动化控制。

3 测试与分析

为了验证柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法的整体有效性，需要对其展开相关测试。采用AUBO-i3 六自由度工业机器人作为测试对象；采用熙源AT211D100 加速度传感器置于机器人末端采集振动信号，采样周期为2 ms。搭建的机器人控制系统配置英特尔i7 四核处理器，搭载MATLAB R2019a 软件。测试平台如图3 所示。

图3 测试平台Fig.3 Test platform

将柔性关节机器人末端振动信号抑制效果作为指标，采用所提方法、文献[3]方法、文献[4]方法和文献[5]方法对柔性关节机器人展开抑振处理，不同方法的抑振效果如图4 所示。

图4 抑振信号处理Fig.4 Vibration suppression signal processing

根据图4 可知，文献[3]方法、文献[4]方法和文献[5]方法整形器上的脉冲信号较多，振动信号变化幅度较大，振动信号抑制效果较差，而所提方法不存在上述问题，因为所提方法通过建立奇异摄动模型定义柔性关节机器人系统的运动方程，基于此设计并优化系统控制器，很好地消除了脉冲信号，振动信号变化幅度降低，实现柔性关节机器人末端振动信号的有效抑制。

将整形轨迹相位误差作为指标，评价所提方法、文献[3]方法、文献[4]方法和文献[5]方法控制精度，不同方法的控制误差如图5 所示。

图5 不同方法的控制误差Fig.5 Control error of different methods

根据图5 可知，所提方法的残余振动整形轨迹相位控制误差均在0.02°以内，而其余3 种方法是在±0.3°的范围内波动，对比4 种方法的控制误差结果可知，所提方法的误差较小，表明所提方法抑振准确率高，可以精准地完成柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制。

脉冲信号的上升时间是指脉响应达到稳态值的时间，能够体现末端振动整形器的抑振效率，因此将上升时间作为指标，采用所提方法、文献[3]方法、文献[4]方法和文献[5]方法对柔性关节机器人采取抑振措施的上升时间如表1 所示。

表1 不同方法的上升时间Tab.1 Rise time of different methods

根据表1 可知，所提方法的上升时间最短，其余3 种方法的上升时间远高于所提方法，是所提方法的5 倍以上，表明了所提方法能够迅速使振动信号趋于稳定完成整形器抑振目标，抑振效率较高。

4 结语

现阶段，对柔性关节机器人的末端振动控制方法存在误差高、上升时间长的问题，为此提出柔性关节机器人抓取末端振动自动化控制方法。本方法构建奇异振动模型，设计优化控制器，采用拉格朗日法获取误差控制最优解，实现柔性关节机器人抓取末端振动的自动化控制。测试结果表明，本文方法提高了控制精度和效率，可有效解决目前方法中存在的问题，为日后柔性关节机器人的发展找到了新的方向。