基于Bayes正则化的柴油机神经网络燃烧预测模型

谢 辉，聂振华，陈 韬

（内燃机燃烧学国家重点实验室，天津大学，天津300072，中国）

虚拟标定技术因在柴油机标定过程中具有降低资源消耗、缩短开发周期的潜力而受到广泛重视。在虚拟标定技术中，模型标定是一个至关重要的环节，模型精度是否满足要求决定最终得到的控制谱图（Map）是否适用于实际柴油机对象。燃烧模型输出的放热率曲线或者缸压曲线可以作为柴油机扭矩、油耗和原始排放仿真计算的基础，也可以用作燃烧反馈控制的控制信号，优化燃烧。当前的研究中针对柴油机的燃烧过程描述主要是从数值计算的角度展开，大致分为零维、准维和多维燃烧模型[1]。零维模型由于其计算较快、参数间关系简单而被广泛应用[2]。由于Wiebe 函数灵活的函数形式能够很好地适应复杂多变的喷油策略导致的复杂燃烧输出的放热率曲线，国内外较通用的计算燃烧放热率的半经验公式就是Wiebe函数[3]。在实际应用中，其准确性取决于函数中具有非线性关系的经验参数的整定。就单Wiebe函数而言，需要整定的参数有4个[4]，针对多次喷油柴油机需要采用多重Wiebe函数（后文简称多Wiebe函数）进行仿真计算，当前主流的单工况逐点标定方式，存在一个巨大的参数标定工作量，经验依赖性强，并且多Wiebe之间相互耦合，增加了标定的难度。

针对双重甚至多Wiebe模型的简化和标定，国内外研究人员对此做出了一些探索和研究。比如，凡尔赛大学F. Maroteaux等[4]以多Wiebe函数为核心建立柴油机缸内燃烧模型，通过手动方式对模型进行标定，并利用多项式拟合的方法研究了工况边界参数和标定参数之间的关系，与此同时，简单地分析了针对不同工况应该采用的合适重数的Wiebe函数。哈尔滨工程大学胡松等[6]通过对双Wiebe函数进行简化求导分析Wiebe函数中各个参数对累计放热量曲线和放热率曲线的影响，并根据曲线的形状来判断Wiebe函数的重数。印度理工学院P. Valecha等[7]对比了单/双Wiebe模型对放热率曲线的拟合效果，证明了双Wiebe模型比单Wiebe模型的拟合效果更好，并探索了Wiebe参数和喷油速率之间的关系。哈尔滨工程大学李文辉等[8]在逐点标定双Wiebe燃烧模型之后，通过神经网络建立了部分工况下部分柴油机工况参数和Wiebe函数参数之间的关系。上述研究中，Wiebe参数整定方式是在指定工况点的情况下以实验获得的放热率曲线为目标，手动调整Wiebe参数，直到Wiebe函数计算得到的放热率曲线和实验放热率曲线能在一定的精度范围内重合，即Wiebe参数达到最佳值。但这种方式的参数整定存在一定的盲目性和经验性，对人力消耗较大，且结果并不具备普适性，所得到的整定参数并不能很好地适应未进行标定的工况，因此造成了仿真工作过程模拟准确性不高的现象[5]，并且对于工况边界参数与模型标定参数之间的关系的研究比较简单，部分重要的边界参数并未考虑，尚有很大的提升空间。

为此，针对手动逐点标定多Wiebe燃烧模型工作量大、经验依赖性强和模型缺乏预测性的问题，本文提出了一种建立基于 Bayes正则化的神经网络燃烧预测模型的多Wiebe放热率模型标定方法。简化并搭建多Wiebe燃烧放热率模型，实现多次直喷柴油机燃烧放热率曲线的输出；利用多目标优化软件modeFRONTIER，以某型号四缸柴油机模型的部分实验工况点对多Wiebe燃烧放热率模型进行预标定，代替人的逐点标定过程，筛选出每个标定工况点的最佳标定参数组合；基于部分预标定工况点的工况边界参数和多Wiebe参数，建立多输入多输出的神经网络模型，利用Bayes正则化算法对神经网络模型进行训练，建立预测模型，赋予多Wiebe燃烧放热率模型预测性，并与Levenberg-Marquardt (莱文贝格-马夸特)算法、量化共轭梯度算法训练的神经网络模型进行对比，证明Bayesian正则化算法在抑制过拟合现象中的优势，并用剩余预标定工况点实验数据来验证预测模型的精度和预测性。

1 多Wiebe放热率模型

1.1 多次直喷柴油机燃烧过程描述

根据众多专家学者对燃烧理论的研究，可以将单次喷油燃烧划分为预混燃烧和扩散燃烧2个阶段[9]；在进行放热率仿真计算时，可以将每次喷油的燃烧过程看作一个整体，即将每次喷油的燃烧分为预混燃烧和扩散燃烧，计算得到各自的放热率，叠加得到完整的燃烧过程放热率曲线。滞燃期会明显受到缸内压力和温度的影响，预喷油的燃烧会缩短后期喷油的滞燃期，从而影响整体的燃烧过程，这些影响都会在放热率曲线上得到体现。

1.2 多Wiebe放热率模型的简化及搭建

基于上述对多次直喷柴油机燃烧过程的分析，燃烧放热率模型的搭建根据建模对象的喷油次数进行划分。多Wiebe燃烧放热率模型的搭建主体是多Wiebe函数表达式。

其中：Q表示累计放热量；i表示Wiebe函数的重数； φ表示曲轴转角角度；bi表示每一重Wiebe函数在整个燃烧过程中所占的比重。

式(1)中的标准单Wiebe函数表达式为

其中：α和m表示Wiebe函数的形状因子； φ0表示燃烧始点；Δφ表示燃烧持续期，通常指的是燃烧放热量从10%到90%经历的曲轴转角，标定时用CA90-10表示。

为减少Wiebe函数的标定参数数量，需要对标准Wiebe函数进行变形简化。通常，将累计放热量达到50%对应的曲轴转角作为整个燃烧过程的一个中心，标定时用CA50表示，即Wiebe(φ) = 0.5，φ = φ50，将其代入式（2），可以得到式（3）：

根据式（3），可以推导得出其中参数α的表达式：

将式（4）代入式（2）中，变形得到式（5）：

将式（5）变形简化后的单Wiebe函数求导，得到式（6）所示的瞬时放热率表达式：

本文研究的平台是某型号四缸直喷柴油机模型，具体的基本参数表1所示，建模对象的喷次数是2次，喷油量和喷油正时由喷油策略决定，并且作为选定的工况边界参数。

表1 柴油机基本参数

根据上述对柴油机的喷油次数和柴油机燃烧过程的分析，每次喷油对应的预混燃烧和扩散燃烧的累计放热量和瞬时放热率计算分别与一个Wiebe函数相对应。以往研究[10]表明：双Wiebe函数相比于单Wiebe函数能够更好地仿真计算出一次喷油真实的放热率曲线；对于单次喷油，双Wiebe函数表达式如式（7）所示：

其中：b1和b2分别表示两个单Wiebe函数在整个燃烧所占的比重，且b1+b2= 1 。

以此类推，针对本次建模对象的喷油策略，初始设定的放热率计算Wiebe重数是4重，则：

其中，b1～b4表示4重Wiebe函数在整个燃烧过程中所占的比重，且b1+b2+b3+b4= 1。

在变形后的单Wiebe函数中，φ0作为燃烧始点，具有明确的物理意义，即喷油正时与滞燃期之和为燃烧始点。为了降低模型的复杂程度，在标定时，将燃烧始点作为一个和m、φ50性质相同的数值，不单独为滞燃期或者燃烧始点进行建模。

2 模型标定

2.1 实验标定数据

本文的主要研究工作是探索一种新的柴油机燃烧模型标定方法，标定实验数据来源于上述的高压共轨直喷柴油机模型，该详细模型仿真计算后，可以得到各工况下的瞬时放热率曲线和工况边界参数。根据对标定实验数据的要求设置工况进行仿真计算。工况的设置是以柴油机的外特性为边界，以转速、平均有效压力(break mean effective pressure，BMEP)和轨压作为定义工况的参数，最高转速为4 500 r/min，怠速转速为800 r/min，轨压设置为80～200 MPa，试验设计共计48个工况点，部分工况如表2所示。

表2 部分实验设计工况

以每个工况下的瞬时放热率为标定目标，除瞬时放热率之外，还需要将每个工况下的转速(n)、BMEP、轨压(prail)、循环喷油量、预喷正时、主喷正时、残余废气(exhaust gas recirculation，EGR)率、进气压力、进气温度和残余废气率(Rexh)提取出来，作为工况边界参数用于预标定完成后建立预测模型。

2.2 瞬时放热率模型预标定

获取上述实验数据后，基于这些数据和搭建的多Wiebe燃烧放热率模型进行模型预标定。以模型输出的放热率曲线是否符合实验放热率曲线为标准标定多Wiebe放热率模型。针对手动逐点标定对经验依赖性大、人力成本高的问题，本文的方法是基于多目标优化工具modeFRONTIER进行瞬时放热率模型的预标定。该工具集成了多种试验设计 (design of experiment，DOE)方法和优化算法，通过设置优化目标、优化变量以及优化约束，以特定的优化算法进行寻优。该方法被证明可以用于系统参数整定[12]。

本文以实验数据中的瞬时放热率曲线为优化目标，以多Wiebe瞬时放热率模型待标定的参数为优化变量，以每个曲轴转角下实验瞬时放热率与多Wiebe模型输出的瞬时放热率之间的误差为优化约束，输出为每个曲轴转角下对应的燃烧放热率绝对误差以及循环平均绝对误差，使用的变量DOE方法是工具中的实验设计算法Sobol。Sobol算法是一种可以在整个变量设计空间内进行自由随机分布[13]的算法，产生的设计组合之间相互分散，避免了聚类效果，适合产生中大数量的设计样本。Sobol序列属于低偏差序列的一种[14]，适用于DOE，尤其适合实验空间的初期探索[15]。

优化算法采用的是多目标遗传算法MOGA-II（multi-objective genetic algorithm-II），它使用智能高效的多搜索精英法，能够保持优秀（Pareto解或非劣解）的解决方案，而不会过早地收敛到局部最优。精英法改进了算法的收敛性，并确保每一代的适应度大于父代的适应度[11]。MOGA-II可以处理离散型或者连续性问题，但是针对连续性问题需要进行内部离散化，它对真正的离散问题具备很优秀的性能表现[16]。

基于这些设置，建立如图1所示的多目标优化工程。由于标定参数数量较多，标定结果通常会产生多解的情况。因此，在运行工程之前需要对优化变量的区间进行限制，以便能够减少符合约束的解的数量，降低后续筛选最优解的工作量。优化变量约束如下：Wiebe比例系数b1～b4在0～1之间，且和为1；每重Wiebe函数的燃烧中心CA50_1～CA50_4分别在-10～10、-5～15、0～20、5～25 （°）的范围，用α1～α4表示，且α1＜α2＜α3＜α4；每重Wiebe函数的燃烧持续期CA90-10_1～CA90-10_4用β1～β4表示，均在1～20 （°）之间；Wiebe形状因子m1～m4在0～5之间；共计16个参数。

依据上述所建立的多目标优化工程，完成48工况点的标定工作。通过加强约束，进行进一步的筛选，选出最理想的标定参数组合，最终每个工况筛选出一个最优解组合，部分工况的标定参数组合如表3所示。

表3 部分工况预标定参数组合

将得到的最优解组合代入搭建的燃烧放热率模型中，得到模型输出的瞬时放热率曲线，并与整机模型输出的放热率曲线进行对比，模型预标定的精度η定义如下：

其中：emax表示对应曲轴转角下的最大绝对误差；Qmax表示某工况下的瞬时放热率最大值。

部分工况下的对比效果如图2所示，结果证明，所有预标定完成的工况能够满足既定的约束条件，所有标定工况的平均绝对误差为0.69 ‰，平均精度达到99%，该精度满足预测模型建立的要求，说明针对2次喷油的柴油机喷油策略建立四重Wiebe模型相比于单/双重Wiebe模型能更灵活准确地反应放热率曲线，同时证明利用多目标优化工具进行预标定的有效性；由于预标定工作是由计算机完成，从而有效抑制了因建模复杂度增加而导致地人工标定周期增加的问题，为后续预测模型的建立提供了可靠数据。

3 预测模型建立

3.1 工况边界参数对标定参数的影响

完成48个工况点的预标定后，得到了建立预测模型所需要的数据，即每个工况点对应的最佳标定参数组合和该工况下的工况边界参数，这些参数包括转速、BMEP、轨压、循环喷油量、预喷正时、主喷正时、EGR率、进气压力、进气温度和残余废气率。部分工况下的模型标定参数和对应的工况边界参数如表4、表5所示。

表4 部分工况的边界参数

表5 部分工况的标定参数

之所以选定这些参数作为工况边界参数和预测模型的输入参数，是因为根据以往的研究[4,7,17],这些参数与缸内燃烧有很大关系，对标定参数有很明显的影响，对两者进行参数敏感性分析，如图3所示，根据图中的点分布，每个工况边界参数对各Wiebe参数的影响非常明显，但是缺乏规律性，常规的线性拟合的建模方法很难构建两者之间的关系，所以需要针对该预测模型多输入、多输出且影响规律不明确的参数关系进行有针对性的建模方法探索。

3.2 基于Bayes正则化算法的预测模型建立

选择40个工况点的工况边界参数和获取的最佳模型标定参数组合，搭建预测模型。根据上一小节中工况边界参数对模型标定参数的敏感性分析，目前常规的白箱数学建模方法不能很好地映射出两者之间的关系。神经网络模型由于其在多输入多输出关系拟合中具有良好的计算能力和预测泛化性能，目前在科学研究中被广泛应用。因此，本文中采用的预测模型搭建方法是基于Bayes正则化算法的人工神经网络模型，并与其他算法训练的神经网络模型和多项式线性拟合的建模方法进行对比，证明本文所选建模方法的有效性。

由于在多输入多输出且影响关系复杂的模型拟合中容易出现过拟合现象，因此采用正则化算法训练构建的前馈神经网络模型。为了证明基于Bayes正则化算法的神经网络模型对燃烧模型标定的有效性，本文在同样建模数据和同样神经网络结构的情况下，采用不同的主流算法对模型进行训练，并采用相同的评价标准对模型进行评价对比。模型结构如图4所示。该神经网络模型采用的是3层结构，分别是输入层、隐藏层和输出层，3层分别的神经元个数是10、20、16，隐藏层神经元数量的确定需综合考虑模型训练时间、计算资源和模型捕捉数据信息的多少，没有明确科学的方法来确定，经过多次尝试，确定隐藏层神经元数量为20。在神经网络模型建立过程中，80%的工况点数据用于模型训练，10%的样本点进行模型的准确度测试，10%的样本点进行模型有效性验证。

选用Bayes正则化算法作为神经网络模型的训练算法，主要考虑到其在降低过拟合可能性上的突出效果。贝叶斯正则化算法训练模型的过程如下所示。

训练模型的过程就是通过求最大似然值确定参数，即式（9）中的θ。

Bayesian正则化算法将θ当作一个未知的随机变量，因此可以给出关于θ分布情况的先验概率P(θ)，这并未考虑训练样本，只是一种假设或者统计结果。给定训练样本集可以求出θ的后验概率：式（10）

其中，θ是一个向量，且其中的数字不是一个固定的值，而是符合某种概率分布；式子(10)中，分母处的积分是对向量θ中的元素的积分的简写，是一个高维积分；由所使用的算法模型所决定。

对于一个新的样本x，可以通过后验概率来预测它的标签：

通过式（10）、（11）、（12）得出的预测结果是完全符合Bayesian理论的，但是式（11）中设计到对θ的积分，当θ为高维时，这个求解过程就很难实现。所以在实际应用中，通常采用最大后验概率来求参数θ的估计，即式（13）：

相比于式 （9），式 （13）多了一个p(θ)。在实际应用中，通常假设先验概p(θ)率服从正态分布θ～N(0,τ2I)，使用MAP方式得到的参数比使用式（9）得到的参数更加不容易过拟合。MAP统计方法对应的目标函数如式（15） 所示。

式（14）是式(9）对应的目标函数，相比于式（14），式（15）加了一部分，这项被称为正则项。通过该项的约束，参数θ的平方和就不能过大，否则会导致目标函数不能达到最小。通过约束参数θ，实际上就约束了特征向量的值，这和特征选择在某种程度上达到了一样的效果，只不过θ服从正态分布以后大多数集中在0附近，而不是像特征选择那样直接将参数赋为0。这就是贝叶斯正则化算法进行模型训练过程中防止过拟合的原理。

3.3 预测模型校验

本文在采用基于Bayes正则化算法的前馈神经网络模型进行燃烧预测模型的建立的同时，也采用Levenberg-Marquardt算法和量化共轭梯度算法对神经网络模型进行训练，对比3种算法的效果，证明贝叶斯正则化算法的优势。评价的标准采用均方差（σ）和决定系数（R），均方差越小，表示模型误差越小，决定系数在0到1之间，结果越接近1，说明模型对两者之间的关系拟合效果越好。

为证明以神经网络模型建立燃烧预测模型的方法的有效性，本文通过其与多元线性拟合方法对比，证明神经网络模型对多输入多输出，且影响规律不明确的对象的建模的有效性。3种算法之间的效果及基于Bayes正则化算法的神经网络模型和多元线性拟合法的效果对比如表6所示。

表6 训练算法及建模方法效果对比

从2次对比较结果来看，针对神经网络模型的3种训练算法，无论是从训练精度还是模型拟合程度上，Bayes正则化算法对模型的训练效果更好；从建模方法上来看，多元线性拟合所达到的模型精度和拟合程度，均不如Bayes正则化算法训练后的神经网络模型。基于之前的参数敏感性分析，原因是参数之间的影响关系缺乏规律性，所以线性拟合满足不了建模需求。

完成神经网络模型的训练后，需要选择10个工况点（包括未用于模型训练的8个工况点）来验证模型预测性能及准确性。将10个工况点的工况边界参数提取出来，作为预测模型的输入，输出是对应工况下待整定的多Wiebe放热率模型参数。通过燃烧预测模型得到这些待定模型标定参数后，将其代入多Wiebe瞬时放热率模型后，瞬时放热率模型可以输出放热率曲线，与整机仿真值对比，部分工况的放热率曲线对比效果如图5所示。

通过误差统计和曲线对比，该燃烧预测模型的平均精度达到了93.2%，部分工况下的精度达到97%以上，由此可以证明预测模型的预测性能和准确性。

4 结论与展望

针对手动标定多Wiebe燃烧模型工作量大和缺乏预测性这两个难点，本文提出了建立基于Bayes正则化算法的前馈神经网络燃烧预测模型的方法。

1） 选取整机数据中的部分工况点的放热率曲线进行燃烧放热率模型的预标定，采用的标定方法是基于modeFRONTIER多目标优化工具中的试验设计方法Sobol和寻优算法MOGA-II，得到使放热率模型输出的放热率曲线和整机模型输出的放热率曲线重合度最高的模型待整定参数组合。经过验证，平均绝对误差为0.000 69，平均精度达到99%，证明了该方法在参数整定方面的有效性，为预测模型的建立提供数据。

2） 利用预标定的模型参数数据，对工况边界参数和标定参数进行敏感性分析，得到工况边界参数对标定参数的影响关系，为下一步建立燃烧预测模型的方法选择提供数据分析依据。

3） 利用基于Bayes正则化算法的前馈神经网络模型完成燃烧预测模型的建立，并与另外两种算法训练的神经网络模型和多元线性拟合方法拟合的模型进行对比，证明基于Bayes正则化算法的前馈神经网络模型在复杂关系拟合上的优势效果；最后选取训练模型之外的工况点进行模型预测性能验证。结果证明，建立的燃烧预测模型平均精度达到93.2%，部分工况下的精度达到97%以上，能够很好地预测得到多Wiebe燃烧放热率模型的待整定参数，进而得到准确的瞬时放热率曲线。

本文采用的建模方法和模型标定方法针对的是柴油机二次喷油策略。随着喷油策略的变化，多Wiebe建模形式上会有所变化。但是该模型的标定方法具有通用性，适用于其他形式的多Wiebe燃烧模型。不过，建模形式对该模型标定方法在时间和效率改善上的影响还需进一步研究。