基于外场实测数据的非平稳非高斯振动试验条件制定

吴家驹 苏华昌 贺智国 于亮

（北京强度环境研究所，北京 100076）

0 引言

地面和飞行运载工具在使用中会承受随机振动载荷环境，通常用功率谱定义的平稳高斯随机振动激励来对这些运载工具中零部件进行鉴定考核。但现实中随机振动环境并非完全是平稳高斯的，例如不规则路面和湍流压力扰动等引起的振动。传统的高斯随机振动试验信号没有再现使用过程中遇到的冲击等环境特征，产品振动试验模拟存在失真，导致较高的外场失效率，增加了额外的研制费用。随着数据处理硬件和软件的发展及先进控制策略的应用，现代控制仪能够按规定功率谱和峭度产生非高斯激励信号，控制峭度使得振动试验更真实，因而更接近实际使用载荷环境。

目前的商品化控制仪，或用“时间波形再现”模块，或用“峭度控制”模块，按规定的功率谱和峭度产生激励信号，来实现非高斯随机振动试验。但是，受多种原因影响，基于功率谱和峭度控制的试验方法至今尚未正式成为军用设备的标准振动试验方法。一方面，根据自谱和峭度产生非高斯随机振动时间历程的方法很多，但相同参数所产生的效果却并不一致[1]；另一方面，缺乏依据外场试验数据制定振动试验规范的标准方法。归根到底，是自谱和峭度不能完整表征现实世界多数随机振动环境。

本文将非高斯随机振动和非平稳随机振动统一表征为乘积模型，以此提出了一种依据外场试验数据制定军用设备的随机振动试验通用方法。重点讨论了烈度速变和缓变的两类外场试验数据的不同表征和处理方法，并用实测信号演示了振动试验规范的形成过程。

1 随机振动的模型化

制定振动试验规范的目的是提供试验和计算的输入条件。在航空航天、汽车和能源等工业界，零部件要按所经受的实际工作环境条件来设计，以保证其使用寿命。抗疲劳设计可以减少担保费用和不必要的维护，增加安全性和可靠性，获得更好的产品声誉。振动试验的目的是鉴定产品的耐久性，为了复现和实际条件相同的破坏机理，试验规范必须能真实代表使用载荷。使用载荷有两种表示方法，一种是与被激励系统特征无关的外力，另一种是与被激励系统特征密切相关的振源系统界面运动。无论是外场测量还是室内试验，使用运动激励（尤其是加速度）最为方便，但力激励的模型化相对简单。火箭的外力激励包括发动机脉动推力、喷流噪声和气动噪声，就振源本身而言，通常都假设为平稳高斯的，只因飞行速度的变化才产生非平稳非高斯随机振动响应。地面运行的车辆，同一路面上匀速行驶时外激励也认为是平稳高斯的。车速变化引起的烈度变化，随机出现的路面坑洼脉冲激励引起的突发响应，使得振动分布呈现出非平稳非高斯特征。为了规范外场试验数据的表征和处理，文献[2]通过机理分析用三个数学模型描述上面各种工况的振动激励，第一种是用乘积公式

将振动激励表示成一个有规定功率谱密度的高斯载波被一个与载波无关的低频随机波调制，它适合用作喷流噪声、气动噪声和轮式车辆振动的分析模型。第二种是用求和公式

将振动激励表示成周期随机冲击引起的瞬态响应与高斯基波的叠加，它适合用作冲压发动机压力震荡、高铁和履带式车辆振动以及炮击振动的分析模型。第三种是用卷积公式

将振动激励表示成非线性系统对高斯振动激励的响应，它适合用作轮胎和弹簧等非线性引起的非高斯随机振动的分析模型。

制定试验规范的依据通常是外场试验测量的振动加速度，它本质上是系统对外激励的响应。从运动响应的角度，这三个模型的结果可以等效。例如，卷积公式所代表的非线性系统响应是平稳非高斯振动，如果系统表现为弱非线性，那么可以用乘积模型近似。按经典的随机振动理论[2]，在多脉冲瞬态激励情况下，当脉冲出现的平均速率趋于无限大时，系统响应随机过程变成高斯的。如果(2)式中随机脉冲的大小和出现时刻互相独立时，那么求和公式与乘积公式等价。这样多数非平稳非高斯随机振动可用单一的乘积公式模型化[1,3]。文[5]则提出了乘积公式分解获得实测信号时变烈度的物理方法，包括：a)通过递归和非递归滤波器实现数字低通滤波；b)通过回归分析移走趋势项的多项式曲线拟合；c)通过短时平均获取逐段方差估计（滑动平均）。

无量纲平稳高斯载波反映出信号的频域特征，可用传统的功率谱估计方法处理。调制波除了包含着信号的幅值域分布信息外，还包含着信号的甚低频（下边界）特征。典型试验结果表明，完整模拟外场环境只有功率谱和峭度还是不够的。文[6]和[7]先后推出用跌宕周期和跌宕周期谱来表征那些被传统谱分析所忽略的信息。根据调制波的跌宕起伏程度，外场环境随机振动信号可分为两类。一类是平稳或准平稳的，但烈度速变呈非高斯分布的振动，例如炮击振动、压力震荡、高铁和履带式车辆振动等。另一类是非平稳的，烈度缓变的振动，例如轮式车辆振动和火箭动力飞行振动等。这两类信号的二次分解，表征参数的选择及其统计方法有各自特点。为叙述方便，本文将前者称为“炮震类”非高斯随机振动，后者称为“运输类”非平稳随机振动。虽然从分类学角度未必合理，但能与目前商品化控制仪的“高峭度控制”和“变烈度控制”功能模块分类接轨。

2 “炮震类”非高斯随机振动

图1是“炮震类”非高斯随机振动实例，左端从上到下依次是高铁列车齿轮箱振动、冲压发动机压力震荡和舰艇炮塔基础上的炮击振动。右端是对应的概率密度函数和峭度，与正态分布函数的比较。图2则是“点射”和“连射”炮击振动比较，点射的峭度为4.63，连射的峭度为2.91，后者十分接近正态分布（峭度3）。这一类信号的特点是周期地出现随机冲击响应。文献[8]-[10]提出了多种模拟方法，但是因效果不一而难以标准化。文献[11]、[12]采用两个参数自谱和峭度表征这种非高斯随机振动信号，并能在振动控制仪上通过谱闭环控制模式实现。但是，由于表征参数不完备，缺乏时域表征参数，而且表征参数的统计方法也不统一[13,14]，不同方法模拟效果不一的问题仍没有解决，下面用一个算例加以说明。

图1 非高斯随机振动实例 Fig.1 Non-Gaussian random vibration example

图2 点射和连射炮击振动比较 Fig.2 Comparison of gunfire vibration between burst and continuous firing

用应力筛选谱和规定的峭度按文[14]建议的移动海宁窗法，产生“炮震类”非高斯时间波形。特别设定脉宽（与移动海宁窗宽度对应）分别为1/4、1/16和1/64秒三种情况，如图3(a)所示（图中Ku表示重构信号峭度，设定值为7。图3(b)是参考谱和重构信号谱，图中标出了时域计算的烈度（均方根值）。图3(c)是重构信号作为输入时的单自由度输出的峭度谱。图3(d)则是重构信号作为输入时的单自由度输出的相对累积损伤谱，图右上方标出频域计算的烈度（带内均方根值）。图3(c)所示的输出峭度谱表明，经过系统混响，“宽”脉冲比“窄”脉冲的输入峭度容易在响应中保留，因而像图3(d)所展示的那样，“宽”脉冲比“窄”脉冲的输入相对容易造成损伤，或者说作为试验条件脉宽较宽者相对而言要保守些。这个被称为频域烈度控制的例子，说明表征非高斯随机振动时，除频域（自谱）和幅值域（峭度）外，还必须规定时域参数（突发周期和脉宽）。应当指出，当对原始信号作谱分析时，分辨率的选择要受脉宽尺度的限制。改变分辨率会影响非高斯信号的谱形，因此按乘积分解后的载波作为非高斯信号的自谱表征参数比较恰当。

图3 频域烈度控制 Fig.3 Frequency domain intensity control

第一节提到的三种分解方法都可用来应对“炮震类”外场测量随机振动信号。从精确环境模拟角度，尤其是窄脉宽尖峰信号用绝对值滤波方法比较好，不过滑动平均是相对保守的处理方法。图4是典型非高斯振动信号的分解，其中 ()xt是原始信号， ()wt为调制波， ()gt为高斯载波。根据信号长度和统计精度要求，优化滑动平均时间能改善载波的正态性

图4中所示n= 244,ε= 0.045。平稳载波被用来估计功率谱PSD，成为信号的频域特征。信号的幅值域特征为烈度σ和峭度Ku，既可以直接从原始信号中获得，也可以通过调制波获得。信号的时域跌宕周期则需要从调制波获得，图5是调制波及其重构波形。图中突峰出现的时间间隔Te和等效脉冲宽度To本文统称为跌宕周期，Bo为基底烈度，用以调整功率谱密度量级，它们都是随机变量，可以统计处理按设定的分布形成试验条件。针对不同工况，仍可使用Miner法则实施时间压缩等制定试验条件的常规做法。

图4 非高斯振动信号分解 Fig.4 Non-Gaussian vibration signal decomposition

图5 调制波拟合跌宕周期 Fig.5 Modulated wave fitting roll period

利用该方法，能通过外场测量的时域信号，提炼出表征“炮震类”动力学环境的参数：用Bo标定的PSD、峭度Ku、突发周期Te和等效带宽To，这些参数构成试验条件的全部要素。图6是依据单一外场测量，按乘积公式分解方法制定试验条件流程。

图6 乘积公式分解制定试验条件流程 Fig.6 Develop test specification process according to product formula decomposition

图7是高铁列车齿轮箱的实测振动信号和按两种方法重构的时间波形，一种是优化相位法（中图）[12]，另一种是移动海宁窗调制法（底图），所用基本参数完全一样。图8是疲劳损伤谱图，图9是功率谱图，图10是幅值概率分布图。比较结果表明，无论是信号的外形和作为输入所产生的累积损伤效果，增加时域约束的窗函数调制法都略胜一筹。如果要对功率谱“折线”化，那么两个方法的差距更大。这是因为窗函数调制法始终可以控制设定的脉宽，所重构时间波形的脉宽不受谱型影响；而优化相位法所重构时间波形的脉宽与谱型有关，谱型越平直，脉宽越窄。

图7 高铁振动实测与重构的时间波形 Fig.7 Measured and reconstructed high-speed railway vibration time history

图8 累积损伤效果比较 Fig.8 Comparison of cumulative damage effects

图9 功率谱控制效果 Fig.9 Control effect of power spectrum

图10 幅值概率分布比较 Fig.10 Comparison of amplitude probability distribution function

3 “运输类”非平稳随机振动

基于乘积模型处理运输类外场测量时间历程的各种方法，本质上都是用局部平稳高斯随机振动来近似非平稳随机振动，方法之间的差别在于调制波的表征。一种用时变烈度的幅值分布表征[3]，另一种用时变烈度的频率分布表征[15]。文[3]的基本思想是在维持相同概率密度函数的前提下，用若干段平稳高斯振动来近似非平稳非高斯振动。其理论基础是随机振动的瞬时值概率密度函数，在自然对数坐标上，高斯分布的为直线，非高斯分布的为曲线。实测的密度函数曲线可用几条直线近似，每条直线表示一段高斯信号，信号的长度和剂量（量级）可通过直线的斜率和截距求得。每一次外场测量记录可得到段长和剂量的几个样本，最后得到段长的分布函数。室内试验时先产生均匀分布随机数，与段长分布函数和剂量分布函数匹配后，重构出由若干段直线构成的调制波。基于分布函数匹配方法的时变烈度试验控制方案是可取的，但也有局限性。其一，方法只统计了幅值域的分布，没有考虑烈度的时域波动特征；其二，用多段短直线去拟合一条确定曲线有多种可能性，段长分布函数不是客观存在的反映。

由上一节(4)式分析可知，实现非平稳随机振动分解，可以在满足统计精度和载波接近高斯分布的要求之间找到滑动平均时间的最优值。因此，重构烈度时间波形时，采用信号的单一优化段长，只需匹配剂量分布函数，这样的改进可以简化试验条件的表征。运输类非平稳随机振动规范，除载波功率谱以和优化段长外，只包括时变烈度概率分布函数。而且后者在多数情况下可以用两个参数限定的分析式表征，这样进一步简化外场测量的数据处理。图11是本文提出的改进分布函数匹配法的试验条件制定流程，没有计及时间压缩和谱线规整等常规操作。图12是火箭发动机地面运输时同一个测点同一个方向实测振动的九个样本。图13和图14是用图12所示九个样本制定的试验条件，包括载波功率谱、幅值分布函数和烈度分布函数。用这些参数再造随机的调制波和载波。一共完成了九次虚拟试验，图15是九次虚拟试验的时间历程，图16则是外场测量和虚拟试验的幅值概率密度函数。图17为虚拟试验与外场测量累积损伤（九次运行的平均值）对比。表1则列出分析和综合的参数。

图12 道路运输实测振动子样 Fig.12 Road transportation measured vibration sub sample

图13 实测信号载波功率谱 Fig.13 Measured signal carrier power spectrum

图14 实测信号幅值和烈度分布函数 Fig.14 Measured signal amplitude and intensity distribution function

图15 时变烈度虚拟试验时间历程 Fig.15 Virtual time history of time-varying intensity

图16 分析与综合概率密度函数 Fig.16 Analysis and synthesis probability distribution function

从图17可以看到，在动强度分析所关心的频带，虚拟试验的相对累积损伤均略高于外场环境的相对累积损伤。因此可以说适度保守地模拟了实际非平稳随机振动环境。

图17 分析与综合累积损伤比较 Fig.17 Comparison of cumulative damage between analysis and synthesis

由表1可知，虽然在综合过程中并没有主动控制峭度和波峰因子，但虚拟试验中的值总体上均高于外场测量值。虚拟试验的烈度为0.15，它是根据外场测量的均值0.123和标准差0.021按对数正态分布估计的。该方法在模拟运输振动环境方面有一定优势：1）同样的平均烈度下所预测的累积损伤效果相对安全；2）幅值概率密度函数与外场实测结果贴合得很好。不过，以数值形式给出的分布函数，还需要拟合形成解析式，进而形成数据库，这对于环境试验规范化有很大好处。

表1 分析和综合参数比较 Table 1 Analysis and synthesis parameter comparison

文[15] 依据军用车辆跑车试验典型振动信号，分析证实振动烈度与车速的紧密相关性。提出可以将反映烈度时变的调制波表示成多个不同周期的正弦波叠加，其幅值和相位随周期变化称为跌宕周期谱，用奇异值分解技术得到。综合效果表明，采用功率谱表征载波和跌宕周期谱表征调制波的“双谱”控制方法，很好地再现了外场情景。不过，如何统计处理多种工况（剖面）组成的调制波系集以获得跌宕周期谱，可能需要费点心思。首选采用时平均的方法，因为若采用相平均，那么突出的跌宕周期分量很有可能被弱化。业已证明，时变烈度跌宕起伏的快慢程度确实关系到零部件的累积损伤[14]。因此在决定是否采用更精细的综合方法时，应当判断调制波分布是否具有明显的确定性特征。

图18是三种典型非平稳随机振动时间历程、时变烈度及其中心化自相关函数，第一个取自火箭主动段飞行，后两个均取自火箭公路运输测量。

图18 典型时变烈度相关函数 Fig.18 Correlation function of typical time-varying intensity

图19的上半部分是时变烈度的概率密度函数包括原信号（深蓝色）、分布函数匹配（浅蓝色）和跌宕周期谱重构（红色），下半部分是其所对应的累积损伤谱。调制波的相关函数反映出第一种有明显的确定性特征，概率密度函数呈“盆形”，第三种有明显的随机性特征，概率密度函数与对数正态分布类似。第一种用跌宕周期谱的方法比较有效，第三种采用改进的概率分布函数匹配方法比较合适。第二种介于二者之间，需要将两种方法结合。既满足跌宕周期谱又匹配时变烈度分布函数的调制波重构方法将在另外的报告中讨论。

4 火箭动力飞行随机振动

上面讨论了两类典型随机振动环境的表征、试验条件制定和室内模拟方法，对一些信号处理工具的优缺点有了进一步的理解，本文希望用它们来处理更为复杂的非高斯非平稳随机振动问题。火箭动力飞行的全程随机振动环境模拟，即实验室内“模飞”一直是设计师感兴趣的课题。实践证明，无论是结构强度破坏还是设备功能减退都与加载顺序有关[14]。火箭动力飞行所经历的动力学环境包括瞬态振动、非平稳随机振动和冲击等振动现象，用统一的幅值概率密度函数和跌宕周期谱来表征显然不合理。虽然也可以分时段处理[1,7]，但是作为试验条件又过于复杂。

图20是弹道式火箭四次飞行试验仪器安装部位的主动段实测振动加速度信号。从中可以看到，对于特定型号的火箭，其主动段飞行的时序是相对固定的，从点火起飞，经过稳态飞行到发动机关机和级间分离，只是每次飞行各个特征时段的长短存在差异。这三种工况的烈度变化或由小到大、或由大变小、或急速增加然后衰减，调制波的相平均不会失去火箭全程烈度变化的时域特征，这样各个特征时段的简单调制波波形用正交多项式拟合就比较有效。

图21展示出多项式拟合法的制定试验条件流程。根据特定试验要求，修改归一化功率谱的谱形，调整多项式系数，设定试验时间和多个特征时段的起始时间，然后重构成烈度时间历程，并和功率谱一起构成完整的全程试验条件。这样，振动试验控制必须与其匹配，实现功率谱与量级时变的实时控制。

图21 多项式拟合法的制定试验条件流程 Fig.21 Develop test specification process according to polynomial fitting method

图22是文[3]采用的双参数随机振动试验控制框图。

图22 非平稳随机振动试验控制框图 Fig.22 Block diagram of non-stationary random vibration testing control

图23是时平均得到的火箭振动载波归一化功率谱。

图23 火箭飞行振动载波自谱 Fig.23 Carrier auto power spectrum of rocket flight

图24是图20所示四个样本分解出的调制波、按95/50正态容差限预示最大环境多项式拟合曲线。

图20 火箭飞行典型振动时间历程 Fig.20 Typical vibration time-history of rocket flight

图24 火箭飞行振动时变烈度统计 Fig.24 Statistics of time-varying intensity of rocket flight

图25上图是为适应控制，由拟合曲线转换成的步进烈度时间历程，下图是虚拟试验的一次现实即“模飞”试验时间历程。

图25 虚拟试验条件和试验时间历程 Fig.25 Virtual test specification and test time-history

图26是虚拟试验与外场测量值的累积损伤效果比较。

图26 虚拟试验与外场测量累积损伤比较 Fig.26 Comparison of cumulative damage between virtual test and field

5 结论

从总体上看，大多数随机振动环境实际都是非平稳非高斯的，通常用平稳高斯随机振动来“等效”：一个功率谱要素就可表征规定预测的环境烈度，而且再现环境的方法几乎没有本质差别。但是单纯地控制二次距（烈度），并不能保证预测环境的保守性，于是增加了高阶距（峭度）要素的控制，来实现非高斯的幅值分布模拟。控制高阶距的算法很多，但由于统计距是平稳信号的总体特征，针对实际非平稳环境的效果差别很大，于是又增加统计距随时间变化的控制，来实现非平稳的时变烈度模拟。虽然客观世界的随机振动环境千变万化，不可能用一个模型描述其所有特征，但是从保证军用产品质量考虑，外场数据处理、试验条件制定和振动试验控制方法仍需要尽可能规范化。

乘积公式是本文用来统一表征大多数军用产品使用环境的模型，它将外场测量的随机振动时间历程分解成平稳高斯载波和时变烈度调制波。载波用归一化的功率谱表征，其分析、统计和综合沿用传统的方法。时变调制波根据其起伏程度处理：突变的用峭度和跌宕周期（突发周期和脉宽）表征，缓变的用分布函数表征，复合的则用分段的多项式系数表征。后续，在此基础上还可进一步开展工作，将分布函数拟合形成解析式，用尽量少的参数来规范非平稳随机振动环境。另外，本文建议方法的适用范围，还需要通过更多的实际工况来检测。