黄土隧道锁脚锚管力学特性的解析计算

宋柳柳, 王怡冰

(长安大学建筑工程学院, 陕西西安 710064)

[定稿日期]2017-08-31

锚管是隧道的重要支护手段，在前几年对黄土隧道支护体系的研究中，我国学者已从工程应用效果研究、理论分析和数值模拟等方面充分证明，黄土隧道中系统锚管作用不大[1]，目前在隧道施工设计中已经取消系统锚管[2]；而锁脚锚管作用明显，在保证黄土隧道安全施工和结构稳定性以及处治围岩大变形等方面的应用非常广泛，但对于其真实的作用机理以及合理设计施工参数的研究远远落后于其实际应用[3]。

黄土隧道锁脚锚管的作用不可轻视。黄土隧道开挖后自稳能力差，容易产生较大变形，为防止变形可能引起的破坏，黄土隧道初期支护体系必须坚固牢靠。初期支护体系的刚度与稳定性是通过钢拱架来实现的，而在钢拱架处打设锁脚锚管，将拱架锁定，可防止拱架及围岩的变形与下沉[4]。目前对于锁脚锚管的研究主要从工程应用效果、理论分析以及数值模拟三个方面进行，而对锁脚锚管的解析计算涉及较少，学术界存在较多争论。针对目前提出的几种锚管力学计算方法，如半无限体受集中力作用的Mindlin解[5-6]、弹性地基梁法[7]、Winkler计算模型、Pasternak双参数地基梁模型等，在综合分析优劣的基础上，提出对Winkler模型进行改进的一种计算方法，为黄土隧道锁脚锚杆的设计提供一定的理论参考。

1 计算假定

根据锁脚锚管的受力机理及其与钢拱架相互作用特点，计算假定如下：

(1)隧道的围岩为均质岩土体，且隧道为无偏压的黄土隧道，围岩级别为Ⅴ级。

(2)锁脚锚管与钢拱架在拱脚连接处焊接牢固，锁脚锚管在钢拱架两侧对称布置。

(3)锁脚锚管外端受到钢拱架的作用力集中在最外端一点，作用点位于锚管截面形心，即锚管的外端荷载只考虑弯矩和拉、压力，不考虑扭矩。

2 计算模型

2.1 锁脚锚管外端受力分析

锁脚锚管采用热轧无缝钢管，钢拱架架设后在拱脚处以与水平方向成一定角度斜向下埋设。锚管外端与钢拱架焊接，焊接点为刚节点，锚管承载着钢拱架传来的作用力，包括弯矩Mj、水平力μHj和竖向力Vj。以锚管外端加载点为中心建立直角坐标系xoy(图1)，设锚管外径为D，内径为d，打设角度为β，将μHj和Vj沿锚管的x方向和y方向进行分解，可求得锚管外端的受力情况。

图1 锁脚锚管端部受力

(1)

在N0、Q0和M0作用下，锁脚锚管与围岩的相互作用如图2所示。

图2 锁脚锚管与围岩相互作用模型

下面分别考虑锁脚锚管在外端M0和Q0作用下的横向作用，以及在N0作用下的轴向作用。

2.2 锁脚锚管横向作用分析

在外端M0和Q0作用下，锁脚锚管在横向产生挠度，由此受到围岩的横向反力作用(图3)，此时锁脚锚管可视为跨间无荷载的弹性地基梁。

图3 锁脚锚管横向作用计算模型

根据温克尔假定：地基表面上任一点的沉降与该点的单位面积上所受的法向压力成正比，即锁脚锚管任一点受到的横向抗力与该点的挠度成正比。运用弹性地基梁的挠曲微分方程式：

p(x)=KD·y(x)

(2)

式中：p(x)为锚管单位长度上横向弹性抗力(N/m)；K为围岩弹性抗力系数。综合考虑锚管外注的砂浆和砂浆外的围岩强度进行适当选取(Pa/m)，因锚管长度较短，在锁脚锚管长度范围内可将K取为常数；y(x)为锚管的横向挠度(m)。

根据弹性地基梁理论[8]，锁脚锚管挠曲线微分方程式如下：

(3)

式中：α为锁脚锚管的变形系数，1/α称为特征长度(m)；Em、Im为锁脚锚管体的等效弹性模量(Pa)和横截面惯性矩(m4)。EmIm=EsIs+EgIg，称为锚管体的等效抗弯刚度(N·m2)，其中Es、Is和Eg、Ig分别为锁脚锚管和砂浆的弹性模量(Pa)和横截面惯性矩(m4)。

式(3)为四阶常系数齐次线性微分方程，其通解为：

y=eαx[A1cos(αx)+B1sin(αx)]+

e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(4)

根据弹性地基梁理论[8]，有限长度的梁可简化为半无限长度的梁来处理，故锁脚锚管可按半无限长梁计算。由无限远处的边界条件确定常数A1和B1：由x→∞时，y(x)→0，可得A1=B1= 0。则式(4)可简化为：

y=e-αx[C1cos(αx)+D1sin(αx)]

(5)

若忽略剪力对梁挠度的影响，由材料力学知识得：

(6)

锁脚锚管加载点处的边界条件为：

(7)

解方程式(7)可得C1、D1：

(8)

将式(8)代入式(2)、式(5)和式(6)可得：

(9)

若规定：

(10)

则式(9)可以简化为：

(11)

根据式(11)可以计算得出在外端M0和Q0作用下，锁脚锚管在任意截面处的挠度、转角、弯矩、剪力以及横向弹性抗力。

2.3 锁脚锚管轴向作用分析

锁脚锚管在外端N0的作用下，产生轴向应变，同时受到管身周围围岩的摩阻力与锚管底端弹性抗力的作用。由式(1)知，轴力N0=μHjcosβ+Vjsinβ，所以轴力的大小与方向直接受其打设角度β的影响。隧道中锁脚锚管的打设角度一般为锐角，所以N0一般为压力。

锁脚锚管在N0的作用下，可看作打设在土中端部受荷的单承桩，并可借鉴单承桩的荷载传递法[9]进行受力分析。锁脚锚管在端头集中轴力N0的作用下产生轴向变形，锚管侧周和底端围岩为其提供约束，设侧摩阻力τ和底端支持力N′，则受力如图4所示。由于锁脚锚管的管径通常较小(一般为φ42或φ51)，且围岩为黄土，底端支持力N′通常较小，所以在轴向荷载N0的整个作用过程中，锚管受到的侧摩阻力τ为主要抗力。

图4 锁脚锚管轴向作用受力

假设在外端N0作用过程下，锚管与围岩之间不发生相对滑移，则沿x方向两者的位移协调。锁脚锚管在外端N0作用下，其任意截面的位移S(x)(外端截面的位移用S0表示)满足如下微分方程及边界条件[10]：

(12)

式中：Em为锚管体的等效弹性模量(Pa)；Am为锚管体的横截面面积(m2)；L为锁脚锚管的长度(m)；k1为围岩沿锚管轴向单位长度的等效刚度系数(Pa)；k2为锚管底端围岩沿锚管轴向的等效刚度系数(N/m)，且k2的值与Am的值成正比。

若令：

(13)

则由式(12)可解得锚管任意截面的位移和轴力：

(14)

从而有在锚管顶端(x=0)处：

(15)

进而可得锁脚锚管外端轴向位移和轴向荷载的关系：

(16)

由式(13)、式(14)和式(16)得：

(17)

锚管周围围岩沿锚管轴向单位长度的等效刚度系数k1：

(18)

此时，锚管任意截面的位移和轴力的表达式为：

(19)

锚管侧摩阻力为：

f(x)=k1S(x)=εN0e-εx

(20)

3 计算结果的规律分析

将常见的围岩参数和锚管参数代入锁脚锚管的解析计算公式进行作图，进一步分析计算规律。

3.1 围岩和锚管参数

表1和表2为围岩与锚管的物理力学参数[2-3]。

表1 围岩参数

表2 锚管参数

锚管的特征长度1/α远远小于其长度L=2.5 m，所以可采用弹性地基梁的方法计算锚管的横向作用。根据式(11)可知，锚管任意一点弯矩的表达式：

(21)

3.2 打设角度对受力的影响

以锚管竖直面内的弯矩为例，作出锚管弯矩沿长度方向的分布图，图5分别为不同β下的计算结果。

(a) β=0°

(b) β=30°

(c) β=45°

(d) β=60°图5 锚管弯矩分布

由图5可知：

(1)弯矩沿着锚管从外端开始迅速增大，在0.5 m左右增大到峰值；

(2)随后弯矩沿着锚管长度(0.5～1.5 m范围内)迅速减小并趋于0，此后弯矩变为负弯矩；

(3)沿着锚管长度(1.5～2.5 m范围内)，弯矩由负再次平缓地减为0；

(4)不同β下，弯矩的分布规律基本相同，β=30°时，锚管承受的弯矩峰值最大。

由此可知，锁脚锚管在外端竖向荷载作用下，主要依赖其管口附近部分来承受荷载。锚管的弯矩在距外端1.5 m左右的时已经趋于0，设计中可以忽略不计。所以，锁脚锚管取2.5 m左右的长度能够满足承载要求。

3.3 围岩强度对受力的影响

以β=30°为例，锚管外端竖向荷载为6 kN时，不同围岩强度(弹性抗力)下锁脚锚管弯矩沿其长度的分布规律如图6所示。

图6 不同围岩强度下锚管的弯矩-长度曲线

由图6可知：

(1)随着围岩弹性抗力的减小，锚管所受到的弯矩峰值逐渐增大；

(2)随着围岩弹性抗力的减小，弯矩峰值对应的锚管长度增大，即锚管需要更长的长度来抵抗荷载。

由此可知，锁脚锚管打设在围岩强度较低的隧道中时，为提高支护效果，可通过适当增大锚管的抗弯刚度和管身长度；而打设在围岩强度较高的隧道中时，可以适当选择短而细的锚管，避免造成不必要的浪费。

需要强调，此规律仅为定性研究，仅揭示一般情况下锚管的受力规律，具体到特定围岩强度下锚管的合理管径和长度应通过更为精确和全面的计算论证。

4 结束语

针对目前锁脚锚管受力特性的解析计算理论依据不充足的现状，充分考虑了锁脚锚管、钢拱架和围岩三者之间的相互作用与变形协调，采用结构力学、弹性地基梁理论、荷载传递法等计算方法，对钢拱架和锁脚锚管的解析计算进行了研究，推导了黄土隧道锁脚锚管内力计算公式，对计算结果作了规律分析。结果可为我国黄土隧道支护设计中锁脚锚管的设计提供理论参考，具有一定的现实意义。

[1] 陈建勋, 乔雄, 王梦恕. 黄土隧道锚管受力与作用机制[J]. 岩石力学与工程学报, 2011, 30(8): 1690-1697.

[2] 陈建勋, 杨善胜, 罗彦斌, 等. 软弱围岩隧道取消系统锚管的现场试验研究[J]. 岩土力学, 2011, 32(1): 15-20.

[3] 张涛. 软弱围岩隧道锁脚锚管(管)支护特性研究[D]. 西安: 长安大学, 2011.

[4] 陈丽俊, 张运良, 马震岳, 等. 软岩隧洞锁脚锚管-钢拱架联合承载分析[J]. 岩土力学与工程学报, 2015, 34(1): 129-138.

[5] 陈广峰, 米海珍. 黄土地层中锚管受力性能试验分析[J]. 甘肃工业大学学报, 2003, 29(1): 116-119.

[6] 姚显春, 李宁, 陈蕴生. 隧洞中全长粘结式锚管的受力分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2005, 24(13): 2272-2276.

[7] 张保善, 宋雅涵. 砌体中悬臂挑梁计算方法的研究与建议[J]. 郑州工学院学报，1984(2): 31-52.

[8] 驭球. 弹性地基梁的计算[M]. 北京：人民教育出版社，1982：14-26.

[9] 罗惟德. 单桩承载机理分析与载荷-沉降曲线的理论推导[J]. 岩土工程学报，1990, 12(1): 35-44.

[10] 横山幸满. 桩结构物的计算方法和计算实例[M]. 唐业清， 吴庆荪, 译. 中国铁道出版社, 1984.