关于ISO6336－2006中系数KHβ的计算及其在齿轮强度计算中的几点提示

时间：2024-07-28

王飞

（上海盛运机械工程有限公司，上海200030）

1 引言

在ISO6336－2006直齿轮和斜齿轮承载能力计算中，一对齿轮啮合副的计算接触和弯曲应力由下列公式得出：

式中：N＝（b／h）2／［1＋（b／h）＋（b／h）2］。

可以看出KHβ系数是直接影响齿轮接触和弯曲计算应力大小的重要系数之一。同时影响系数KHβ的主要因素有轮齿的接触精度、啮合刚度、轴及箱体的加工精度及其装配精度等，因此系数KHβ与齿轮的设计、制造及安装有关。ISO标准中规定了A、B和C三种计算方法，其中最为常用的是C法［1］。

2 KHβ系数C计算方法

C计算方法分为两种情况：啮合载荷不布满整个齿宽和载荷布满整个齿宽，前者是设计时注意避免的，后者情况下KHβ可由下式计算得出：

式中：Fβy—— 跑合后啮合齿向误差，μm；

cγ——轮齿啮合刚度，N／（mm·μm）；

Fm——分度圆上平均计算切向力，N；

b——计算齿宽，mm。

式中：Fβx——初始啮合齿向误差，μm；yβ——齿向跑合量，μm。

2.1 初始啮合齿向误差

Fβx是决定齿向载荷分布系数KHβ的重要依据，如图1所示。

式中：fsh1、fsh2——大小齿轮及齿轮轴在受到弯曲和扭转变形而产生的误差分量；

fma——齿轮、箱体轴孔等制造、安装误差产生的啮合齿向误差分量；

fbe、fca——轴承及箱体在载荷作用下的变形分量。

图1 Fig.1

KHβ计算C方法中，假定箱体、轴承、大齿轮及轴的刚度足够大，其变形可以忽略［1］，上式中的fsh2、fbe和fca误差分量在计算Fβx将不予考虑，同时为弥补计算过程中的线性化导致的误差，将上式中的小轮变形分量fsh1用系数1.33予以提高。上式可改写为：

2.1.1综合变形啮合齿向误差分量fsh1

fsh1是小齿轮和小齿轮轴在载荷作用下弯曲变形和扭转变形产生的啮合齿向误差。

式中：fshB——弯曲变形分量；

fshT——扭转变形分量。

2.1.1.1 fshB弯曲变形分量的计算

在计算小齿轮弯曲变形分量时，图1所示的齿轮结构受到的载荷可简化为直径dsh的简支梁受到集中载荷的作用，如图2所示。

由静力平衡得到A、B处支反力为：

由材料力学可得到AC段和CE段各自的弯矩方程和挠曲近似微分方程如表1所示。

由微分方程的连续条件：

当x1＝x2＝l／2－s时，θ1＝θ2，v1＝v2得出C1＝C2，D1＝D2

图2 Fig.2

表1 Table 1

由边界条件：

当x1＝0时，v1＝0；当x2＝l时，v2＝0，得出：

则转角方程为：

将x1＝（l／2－s）带入上式，可得出齿轮中点C处的转角：

齿轮两端BD的相对弯曲变形shB可以近似以中点C处的斜率求得对于可以将上式中的高阶分量在处线性化处理并将I＝／64带入上式得：

2.1.1.2 fshT扭转变形分量的计算

在计算小齿轮扭转变形分量时，图1所示的齿轮结构受到的载荷可简化为直径为d1等截面圆杆受到均匀分布的扭转力偶矩，如图3所示。

图3 Fig.3

式中：G：材料的剪切弹性模量。

将fshT和fshB分量带入及钢材的弹性模量E和剪切模量G值代入式（6）得到fsh1一般表达式：

式中：A＊＝0.015 5mm·um／N

由于轴在上述扭转和弯曲作用下实际的两变形分量是非线性的，公式建立过程中将其线性化处理从而造成误差，为了弥补上述误差和两非线性分量在计算过程中的相互抵消，将上式A＊扩大1.5倍，即A＝1.5A＊＝0.023mm·um／N，同时用常数0.3修正，系数1和－0.8分别用B＊及k′代替，式（7）可以即变为：

即ISO6336－2006标准中公式（57），对于其他齿轮形式fsh1计算式的导出都是建立在上式基础之上，限于篇幅，论文不再详细叙述。

2.1.2齿向加工误差的分量fma的计算

fma的大小取决于齿轮副加工的螺旋线倾斜偏差fHβ与轴线间平行度的补偿或彼此叠加以及齿轮副装配时是否进行装配调整。标准中给出了如下四种情况的计算方法：

①由齿轮、轴承和箱体实际误差测量得到fma的数值；

② 特定情况下，直接给定fma的数值；

③ 给定齿轮精度等级下，由大小齿轮螺旋线倾斜偏差fHβ计算得到；

④ 测量空载下接触斑点得到的fma数值。

在齿轮副在前期设计的时候，方法①和方法④无法进行，推荐采用方法③来确定fma的值：fma＝

2.2 齿向跑合量yβ

yβ为通过跑合使Fβx减小的量，影响yβ因素有：齿轮的材料、节圆速度、润滑方式、齿轮表面热处理、硬度和Fβx等因素，对于常用的渗碳淬火硬齿面齿轮通过下式来确定：

注意上式适用范围：对于任意节圆速度，当Fβ≥40μm时，yβ取其极限值6μm。

结合公式（3）－（10）可以计算出齿向载荷分布系数KHβ的大小。

3 例题

由式（8）及（9）可以看出，在不考虑任何齿形修形情况下，小轮轴承跨距l、小轮偏置距s、小轮轴弯曲变形当量直径dsh以及齿轮精度Q对于KHβ有着重要的影响。如某减速器高速级参数，其结构如图1所示，Z1＝23，Z2＝64，mn＝5.5，β＝12°，n＝1500 r／min，x1＝0.53，a＝250mm，b＝100mm，dsh＝90 mm，l＝494mm，s＝30mm，6级精度（ISO1328），KA＝1，额定寿命20000h，齿轮材料为20CrNi2Mo，σHlim＝1500MPa，σFlim＝430MPa，不做任何齿形修形，小轮轴刚性支撑，在不同l、s、dsh以及齿轮精度等级Q的情况下，计算出该齿轮副满足接触安全系数SH≥1和弯曲安全系数SF≥1.25可传递的功率P（kW），结果如表2、3和4所示。

表2 l、s对KHβ及可传递功率P的影响Table 2 Influence of s vs KHβand transportable power P（Q＝6（ISO1328））

表3 dsh对KHβ及可传递功率P的影响Table 3 Influence of dshvs KHβand transportable power P（Q＝6（ISO1328））

表4 齿轮精度Q对KHβ及可传递功率P的影响Table 4 Influence of gear accuracy Q VS KHβand transportable power P（dsh＝90mm）

综合上述实例计算结果，对于齿轮强度设计计算时，可以得到以下几点提示：

1）从表2可以看出，小轮轴承跨距l和偏置距s对于KHβ值有着直接的影响，随着其值的减小，KHβ值在减小，可传递功率P在增加，因此在齿轮结构设计时，应使小轮的l、s处于合理的位置，减小KHβ的值，提高齿轮的承载能力；同时齿轮在初始设计时由于无法考虑其实际的轴承跨距l和偏置距s，最终设计完成后，要针对其实际的轴承跨距l和偏置距s重新校核KHβ值，从而确定其最终承载能力；

2）从表3可以看出，当KHβ值较大时，可通过适当加大当量弯矩直径dsh，以提高小轮支撑轴刚性，减小KHβ的值，提高齿轮可传递功率P；

3）从表4可以看出，齿轮精度等级Q直接影响到fma的值，随着精度等级Q的提高，齿轮承载能力也随之提高；

4）对于有装配调整的齿轮副，由于其可以调整齿向接触，从而弥补了齿轮副加工的螺旋线倾斜偏差fHβ和轴线间平行度的偏差，减小了fma的影响，根据经验可以直接给定KHβ值的大小［3］，如SMS（德国西马克）公司，对于装有偏心套的调整的齿轮副，直接给定KHβ＝1.2；

5）对于重要的齿轮传动系统，如风电齿轮箱的齿轮，必要时可以采用更为精确的计算方法［4］，同时为了保证齿轮传动的可靠性，KHβ最小值不能小于1.15［5］。

总之，齿向载荷分布系数KHβ在齿轮强度计算中是一个较为复杂的参数，上述分析可以看出齿轮结构的布置形式（l、s及dsh）直接影响到fsh1的值，齿轮精度等级Q直接的影响到fma的值，从而上述参数对于KHβ的值以及齿轮可传递功率P有着直接的影响。在齿轮产品设计过程中，通过前期良好的齿轮结构设计、高精度的制造及后期装配调整，可以降低KHβ值，提高齿轮承载能力。