正多边形古塔中心坐标求解与倾斜情况分析

管锋

(太原市勘察测绘研究院，山西 太原 030002)

1 引 言

砖结构古塔在长时间承受气温、风力、自重等自然条件影响下，会产生倾斜、弯曲、扭曲等变形。某古塔自1984年～1997年经修复、纠偏、加固至今再没有进行过变形测量及倾斜沉降等工作的实测。由于没有准确的数据，现在无法对古塔进行科学有效地保护，为此需要对古塔进行变形观测，掌握古塔的变形情况，为安全性诊断提供必要的信息，以便及时发现问题并采取措施，使这一珍贵的文化遗产得到更好的传承。

观测采用角度交会原理，分别观测了1、6、11层的8个角点，用来求解各个角点的坐标，并计算中心位置，分析该塔变形情况。本文着重探讨了古塔中心坐标求解问题，并给出了相应的数学模型和计算方法，通过数据计算结果来分析古塔倾斜情况。

2 数学模型

2.1 模型建立

由正多边形特性可知，每个角点到等效中心的距离相等，即：

(1)

xi，yi为每个角点的x，y坐标，中心(x，y)和半径r初值设为x0，y0，r0，公式线性化后为：

(2)

(3)

VTPV=min

(4)

得：

(5)

(6)

式中，n为坐标值的个数，必要观测量为3，多余观测量为(n-3)。

2.2 程序实现

程序采用C++语言设计，使用已有的Matrix矩阵类进行矩阵运算。程序主要函数有读取坐标数据函数CCenterCompute：：FileOpen()、中心坐标计算函数CCenterCompute：：Compute()和结果输出函数CCenterCompute：：WriteRecPos()。

设计的Matrix矩阵类的运算包括矩阵之间的加、减、乘、求逆等一些运算方法。在进行矩阵计算之前，首先定义矩阵对象，然后使用运算符重载的功能，就可以进行矩阵的各种运算。

x0，y0的初值采用的是n个观测值的x，y的均值，r0取第一个点(x1，y1)到中心(x0，y0)的距离。

采用迭代的方法计算中心坐标，直到dx，dy，dr的改正量小于10-4时停止迭代。主要代码如下：

do

{

for (i=0；i

{

onexy=positions[i]；

s=sqrt(pow(onexy.x-FoucsX，2)+pow(onexy.y-FoucsY，2))；

B(i，0)=FoucsX-onexy.x；

B(i，1)=FoucsY-onexy.y；

B(i，2)=-1；

L(i，0)=R-s；

}

Q=(!(～B*P*B))；

v=Q*(～B*P*L)；

FoucsX+=v(0，0)；

FoucsY+=v(1，0)；

R+=v(2，0)；

if (fabs(v(0，0))<1e-4&&fabs(v(1，0))<1e-4&&fabs(v(2，0))<1e-4)

break；

} while (1)；

3 计算结果与古塔倾斜分析

3.1 测量方案与数据处理

根据规范相关技术要求，考虑到现场观测条件，平面控制网采用卫星导航定位测量，全站仪联测边长和角度，进行联合平差，高程控制网采用二等水准测量方法进行。利用平面和高程控制点前方角度交会的方法观测古塔1、6、11层的24个点。水平角观测采用方向观测法，所有点进行三角高程测量。各项观测指标均满足规范要求。

基线数据处理和网平差均采用Trimble Business Center 4.0软件。基线向量解算采用双差固定解；星历采用广播星历；观测值应加入了对流层延迟修正，对流层延迟修正模型中的气象元素采用标准气象元素。经过基线处理后，同步环、异步环、重复基线较差、三维无约束平差、二维约束平差均满足规范要求。

倾斜点前方角度交会计算软件清华山维NAS2008 1.2.1，除部分点因现场条件限制，只有2个方向交会外，其余点均有3个或以上方向交会。

倾斜点高程直接采用控制点与观测点的垂直角、距离进行计算。

3.2 古塔倾斜情况分析

本文以某古塔的观测数据为例，来对程序的运行结果进行说明。采用古塔的1、6、11层的观测数据(古塔为正八边形古塔)，计算得到各个角点的坐标，运行程序输出的结果如表1所示：

古塔1、6、11层坐标表 表1

将各层中心点的偏差除以各层中心点的高差，求得塔的倾斜，倾斜结果如表2所示。

古塔倾斜成果表 表2

3.3 模型影响分析

后期计算过程中，发现古塔存在一定倾斜，这就导致倾斜点不在同一高程面上(假定塔未倾斜时，倾斜点是在同一高程面上的，且塔的8个角点严格在同一个圆上)，那么测出的倾斜点平面坐标构成的是一个椭圆，而不是圆。

因塔倾斜引起的倾斜点高程上的误差，等于塔的半径乘以倾斜率，塔倾斜引起的倾斜点平面坐标的误差，等于高程误差乘以倾斜率，计算结果如表3所示：

塔倾斜引起的倾斜点误差计算表 表3

由表3可知，因古塔倾斜引起的倾斜点平面坐标的最大误差为 0.4 mm，而倾斜点求圆心的中误差为 ±11.6 mm～17.2 mm，由此可见，塔倾斜引起的倾斜点平面坐标误差对计算结果影响很小，可不予考虑，数学模型仍采用等效圆。

4 结 语

文中通过对正多边形的特性分析，列出误差方程，给出了数学模型，通过使用C++语言编制程序，能够很好地求解古塔中心坐标，模型严密，求解的结果精度高。程序能极大提高工作效率，减少人工出错率。最后分析古塔的倾斜对模型的影响，在简单的情况下可以采用圆模型，对精度影响很小。计算的结果可为相关文物部门的古塔保护和监测提供参考和借鉴，具有较强的实用性。该模型适用于正多边形建筑的中心坐标求解。