基于稳健估计的CPⅢ高程网平差程序设计

王永锋，林飞

(杭州市勘测设计研究院有限公司，浙江 杭州 310012)

1 引 言

近年来随着经济的发展，国内大中型城市对轨道交通的重视和建设与日俱增。轨道施工的质量好坏，关系到运营时的安全、舒适以及平稳。目前国内城市的地铁建设也在陆续引入高铁无砟轨道施工中的CPⅢ测量技术，可以更加及高效、高精度地完成轨道铺设任务。

CPⅢ高程网是一种精密的水准网，通常用平差中经典的最小二乘法来求取其计算结果。然而当数据量庞大的时候，观测值中难免就会存在粗差，考虑到最小二乘估计不具有抗粗差的能力，本文将稳健估计(也被称作抗差估计)引入到CPⅢ高程网的平差程序设计中，运用C++程序语言编写了一个基于五种不同的稳健估计选权迭代法的CPⅢ高程网平差程序，然后结合某轨道交通工程项目的一段数据进行实例分析，以证明该程序的可靠性。

2 程序设计

vhjk=δHk-δHj+(Hk-Hj-hjk)

(1)

水准测量以每公里的高差观测值的中误差为单位权中误差，各个观测高差的权为：

(2)

上式中的Sjk为j点到k点的水准线路距离，单位为公里。

根据CPⅢ高程控制网各观测值的误差方程以及权阵，按间接平差法即可得出法方程，进而计算出各个观测点的高程平差值。

2.1 稳健估计理论

稳健估计，在测量中也被称作抗差估计，本文程序中的稳健估计的功能主要由选权迭代法来实现。选权迭代法的思路是，先使用最小二乘法进行平差求出初始残差阵V(1)，然后进行迭代，在迭代中，主要根据选好的权函数计算下一次迭代中观测值的权，从而使得含有粗差的观测值的权随着迭代而越来越小，直到最终接近于零[1]，进而达到消除观测粗差的目标[2]。

本文的5种选权迭代法(Huber法、IGG方案法、丹麦法、L1-L2法以及Fair法)即代表5种不同的权函数。他们的区别就是权函数的定义内容不同。其各自的权函数如下所示：

(1)Huber法权函数：

(3)

式中的c为调和系数，u表示标准化的残差指标(ui=vi/σ)。

(2)L1-L2法权函数：

(4)

(3)丹麦法权函数：

(5)

其中调和系数c一般取为1.5。

(4)IGG方案法权函数：

(6)

其中调和系数b=1.5，c=2.5，k为很小的数。

(5)Fair法权函数：

(7)

上式中，调和系数c取值为1.3998。

选权迭代法可以归结为以下模型：

(8)

估计准则为：

VTP(V)V=min

(9)

选权迭代法进行稳健估计的计算程序主要分以下几个步骤：

x(1)=(ATA)-1ATl

(5)通过以上的迭代计算，直到前后两次解出的差值符合限差的要求，迭代结束，否则继续。

最终的计算结果是：

经过多次迭代之后，最终的残差阵V中，含有粗差的观测值所对应的残差值应该是接近于粗差的大小，而其对应的权值最终将趋向于零[3]。

2.2 程序的实现

本文主要利用C++语言中的MFC[4]来编写程序[5～7]，程序设计的主要思想和流程如图1所示：

图1 程序设计的主要思想和流程图

程序主要包括文件的读取和输出、矩阵的各种运算、平差中的误差方程系数阵的生成、误差方程的解算以及稳健估计的选权迭代法等等。稳健估计的CPⅢ高程网平差程序的界面如图2所示：

图2 本程序的主界面

(1)首先是创建项目及确定存储位置，如图3所示：

图3 创建项目

(2)然后读入数据，如图4所示：

图4 导入数据的界面

读取的数据是按照程序的要求进行编辑的txt文本。

(3)选择相应的方法进行解算，程序运行后生成txt文本，运用选权迭代法计算后的主要输出内容有最终所得的权矩阵P、改正数x、残差阵V、选权迭代次数以及单位权中误差等，输出结果的窗口如图5所示：

图5 输出结果的txt文本

3 算例分析

3.1 概况

选取某轨道交通项目的一段CPⅢ高程控制网的原始数据如表1所示，其中153H21点为已知水准点，起算高程为 18.289 6 m，选取 153 313～153 322共10个CPⅢ点，取 1 km为单位权观测，以测段距离定权。

原始观测数据 表1

由水准观测线路可先确定各CPⅢ点的初始高程值，将表1的数据编辑到程序可以读取的文本中，然后用所编程序进行解算。

3.2 未加粗差时不同方法平差比较

5种选权迭代法的计算结果与最小二乘法计算结果的差值如表2所示：

各选权迭代法平差结果与最小二乘法的差值(单位/mm) 表2

结合以上可以看出，当不加入粗差时，稳健估计的五种选权迭代法和最小二乘估计的平差结果的差值很小，基本一致。

由于原始观测数据中没有粗差，我们可以认为最小二乘法的计算结果最为精确，所以取未加粗差时的最小二乘值作为最终平差结果(下文称为正确结果)。

3.3 加入粗差后各方法平差比较

因为原观测数据中没有粗差，现在为了方便讨论问题，在原观测数据的水准线路L4：H2-H1中加入 10 mm(远大于两倍中误差)的粗差，再使用同样的五种方法进行平差比较，为了看到差距，我们把加入粗差后各平差方法所计算出的结果与正确值进行比较，各个差值如表3所示：

各平差结果与未加粗差时的最小二乘值之差(单位/mm) 表3

各方法平差后所得的残差V如表4所示：

加入粗差后各方法平差后的残差V(单位/mm) 表4

由表3和表4我们可以看出：

(1)当在观测数据里加入一个粗差时，最小二乘法平差所得的结果中，除了点 153 314外，其他的计算结果都与未加粗差时的正确结果差了 4 mm以上，这个误差已经远大于2倍中误差。由此可知，当观测数据里加入一个粗差时，最小二乘法的计算结果与正确值相差较大。

(2)选权迭代法平差所得到的结果与正确结果相比，差距都很小，最大的差值也未超过 0.4 mm，几乎可以忽略不计，由此可以说明当加入一个粗差时，选权迭代法能够有效的剔除粗差。5种方法在所得的观测值的残差V方面没有大的差异，都在线路L4处有着将近 10 mm的残差，这与实际添加粗差的位置以及粗差的大小都十分吻合，很好地体现出了粗差的影响；而最小二乘估计所得的残差阵无法看出实际添加的粗差的位置和大小，这充分说明该程序具有良好的粗差探测及定位能力。

4 结 论

该程序与稳健估计理论相结合，通过算例证明了其具有以下特点：①在没有粗差的情况下，其计算结果与经典最小二乘法平差结果差距很小，满足要求。②在有粗差的情况下，该程序的选权迭代法可以有效剔除粗差的影响，计算结果明显地达到了抗粗差的目标。

和目前的具有抗差功能的平差软件相比，该程序的平差结果可以有效定位出粗差的存在位置，这有助于在原始数据中找出存在粗差的测段以做进一步的处理。

本文所编的程序只是对稳健估计理论做一次粗浅的应用，但是已经显示了稳健估计在处理测量数据粗差问题时的有效性和实用性，相信在今后的发展中，稳健估计理论在测绘领域必将得到更加广泛的应用。