抵偿高程面上的坐标换算

王文忠（河北省地矿局第十一地质大队，河北邢台 054000）

抵偿高程面上的坐标换算

王文忠∗
（河北省地矿局第十一地质大队，河北邢台 054000）

在高海拔或高程变化较大的地区进行工程测量时，为了限制投影变形，一般采用具有抵偿高程面的工程坐标系。本文通过分析工程椭球与国家参考椭球之间的内在联系与差异，推导了工程椭球大地坐标的改正值公式，给出了工程椭球的建立方法及坐标换算方法，从而保证顺利地建立具有抵偿高程面的工程坐标系。

抵偿高程面；抵偿带；工程椭球；直接法坐标换算

1 引 言

在工程测量实践中，为了保持地面实际边长与高斯投影边长的一致，方便成果应用和放样施工，相关规范均对长度变形值做出了限制，一般要求边长相对变形值小于 2.5 cm/km。在高原地区或地形起伏较大的山区丘陵地带，采用国家统一坐标系统难以满足规范要求，需要具体分析测区地形变化情况，建立具有高程抵偿面的高斯投影平面直角坐标系。

2 投影变形规律

地面边长的投影变形值主要由两方面因素引起，即地面长度归算到参考椭球面上的变形和参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形。

2.1 地面长度归算到参考椭球面上的变形

实测边长所在的平均高程面与参考椭球面存在高差，当边长向参考椭球面归算时，其边长变形值为△S1:

其相对变形为:

Hm为归算边长的平均大地高，S为归算边的长度，R为参考椭球法截弧曲率半径（其概值约为 6 371 km）。由相对变形式（2）可知，随着地面大地高的增加，边长归算变形成比例增加，当Hm超过 159 m时，造成的相对变形值已超过1/40000，不能满足规范要求。

2.2 参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形

距离中央子午线愈远的区域，边长经高斯投影后长度变形越大，其变形值为△S2:

投影边长的相对变形为:

ym为归算边端点平均东坐标值，Rm为参考椭球平均曲率半径，S0为归算边长。由式（4）可见，相对变形值与ym的平方成正比，随着ym的增加而迅速变大，当ym超过 45 km后，相对变形值大于1/40000。

2.3 地面边长归算到高斯投影面的组合影响

地面边长归算到高斯投影面上的变形值是以上两种变形因素的叠加结果，其值为△S:

相对变形为:

由式（5）可见，当Hm为正值时，两种变形具有相互抵偿的性质，可在一定程度上抵消长度变形。

3 抵偿高程面的计算

在高原地区或地形起伏山区丘陵地带，采用国家统一3°带、1.5°带已不能满足规范对长度变形的限制要求，此时应选择抵偿投影面进行坐标投影计算，可采用如下方案:

方案1:采用具有抵偿高程面的国家统一分带高斯正形投影，适用于测区起伏不大的高原地区。

方案2:采用具有抵偿高程面的任意带高斯正形投影，适用于山区丘陵或远离中央子午线的高原测区。

∗ 收稿日期:2015—06—19

作者简介:王文忠（1978—），男，工程师、注册测绘师，主要从事工程测量、GPS数据处理等。

则得到一条满足边长变形要求的抵偿带，抵偿带以中央子午线为对称轴；抵偿带的宽度随着测区远离中央子午线而迅速变窄，如图1所示；并且由图1可见，当测区高于抵偿高程面约 150 m时，抵偿带的宽度达到最大，这正是两种变形互相抵偿的结果。

图1　抵偿带示意图

将线状工程绘制在抵偿带示意图上，可以观察工程线路曲线是否包含于抵偿带内，从而判断其是否满足变形要求。若不满足变形要求，可以通过移动中央子午线或抵偿高程面的方法得到一个最佳具有抵偿高程面的任意带高斯投影平面直角坐标系，在此工程坐标系下，测区所有位置长度变形满足规范要求。如果测区较大或较为狭长，采用单个具有抵偿高程面的任意带高斯投影平面直角坐标系不能满足要求，则应将测区划分，采用多个具有抵偿高程面的任意带高斯投影平面直角坐标系。

4 抵偿高程面上的坐标换算

4.1 工程椭球的建立

采用具有抵偿高程面的坐标系，需要建立适合测区的工程椭球。工程椭球的建立采用椭球膨胀法，即保持参考椭球的定位、定向和扁率不变，改变参考椭球的半长轴，使新的工程椭球参考面通过测区平均高程面。新椭球半长轴变化量为△a，其计算参照如下公式:

△a为半长轴变化值，Hm为地面平均高程（大地高），Bm为测区平均纬度。

4.2 同一地面点在工程椭球和国家参考椭球上大地坐标的差异

地面点在工程椭球上的大地坐标发生了改变，直观解释即两个椭球并非处处平行。地面点大地坐标改变量的计算公式，可由大地坐标微分式（8）进行推导得出。因为工程参考椭球的定位、定向和扁率不变，所以在微分式（8）中，令平移参数（△X、△Y、△Z）、旋转参数（εx、εy、εz）、椭球扁率差△f、尺度参数m均为0，即可求得地面点在工程椭球上的大地坐标改变量，见式（9）。

大地坐标微分式（8）:

其中:△B，△L，△H——同一点位在两个坐标系下的纬度差、经度差、大地高差，经纬度差单位为弧度，大地高差单位为m；

ρ=180×3600/π——弧度秒；

△a——椭球长半轴差，单位为m；

△f——扁率差，无量纲；

△X，△Y，△Z——平移参数，单位为m。

εx，εy，εz——旋转参数，单位为弧度；

m——尺度参数，无量纲。

地面点在工程椭球的大地坐标改正值计算公式，实际上是大地坐标微分公式的一种特殊情况，如下:

由式（9）可知，同一地面点在两个参考椭球系下的经度值一致，纬度值与大地高均发生了变化。

4.3 实用的坐标换算方法

国家平面坐标系到工程坐标系的坐标转换可采用直接法坐标换算（不涉及假设测区坐标原点），有两种方法可采用。

坐标换算方法1:国家平面坐标系的投影坐标先转换成国家参考椭球下的大地经纬度，再依照式（9）进行工程椭球下的大地坐标改正，最后由工程椭球的大地坐标计算其在工程椭球上的高斯投影坐标，即遵循下面流程:坐标换算方法2:国家平面坐标系的投影坐标先转换成国家参考椭球下的大地经纬度，大地经纬度再转换至国家坐标系下的空间直角坐标，因为国家参考椭球和工程椭球定位、定向一致，所以同一地面点在工程椭球上的空间直角坐标与国家统一坐标系下的空间直角坐标一致。此时，将测点的空间直角坐标转换为工程椭球上的大地坐标，再转换为工程椭球上的高斯投影坐标即可，遵循的流程为:

不管采用哪种计算方案，均需要首先根据△a及新的椭球半长轴计算新的椭球常数，用于高斯坐标正反算和大地坐标到空间直角坐标的计算，计算公式不一一列举。具体计算时，可以通过编程或采用第三方软件计算椭球常数、并进行高斯投影正反算和空间直角坐标的计算。

5 计算实例

某工程收集到国家统一坐标系下的已知点8个，中央子午线114°，平均纬度37°，为了方便利用，须将其坐标转换到中央子午线为114°、投影面高程为500 m的工程椭球上。已知点在国家统一坐标系下的高斯投影坐标及大地坐标如表1所示:

经直接法坐标换算，计算出的已知点在工程坐标系下的大地坐标及高斯投影坐标如表2所示:

已知点在国家坐标系中的坐标 表1

已知点在工程坐标系中的坐标 表2

坐标换算后，控制点的工程坐标已满足长度变形的限制要求，可以作为下一步加密、放样的起算点。而且，通过对比表1和表2的大地坐标，发现同一地面点在两个坐标系中的大地纬度有差异，这与理论推导结果一致。因此，在坐标换算时，我们不能假设同一点在两个椭球中的大地经纬度不变。

6 结 论

直接法坐标换算理论严密、计算方便，适用于在国

家坐标系和工程坐标系之间进行坐标换算。通过实例计算，验证了式（9）中论及的同一地面点在两个坐标系下大地纬度的差异性。

［1］杨元兴.抵偿高程面的选择与计算［J］.城市勘测，2008 （2）：72～74.

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［5］徐辉，陈功，袁晖等.高海拔地区送电线路GPS测量的问题及解决办法［J］.地理空间信息，2009，7（3）：50～52.

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［7］孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础［M］.武汉：武汉大学出版社，2001：158～175.

［8］TB10054-97.全球定位系统（GPS）铁路测量规程［S］.

Coordinate Conversion of the Compensating Surface

Wang Wenzhong
（The Eleventh Geological Brigade，Hebei Province Bureau of Geology and Mineral Resources，Xingtai 054000，China）

In high altitude or elevation changes in the larger area of engineering measurement，in order to limit the projection deformation，use is generally compensated height surface engineering coordinate system.Is deduced in this paper，through the analysis of the inherent relationship and difference between engineering ellipsoid and the national reference ellipsoid engineering ellipsoid geodetic coordinate correction value formula and gives the engineering ellipsoid establishment method and the method of coordinate conversion，so as to ensure the smooth established with compensation height surface engineering coordinate system.

compensating surface；compensation belt；engineering ellipsoid；direct method of coordinate conversion

1672-8262（2016）02-113-04中图分类号：P226+.3

B