几种高程异常曲面拟合方法的应用比较

韦献强

(柳州市勘察测绘研究院，广西柳州 545006)

1 引言

GPS测量技术的出现改变了以往传统控制测量模式，通过GPS相对定位可同时获得高精度平面坐标与大地高，但在实际应用中GPS提供的是WGS－84大地坐标系的大地高程H84，而我国高程系统采用的是相对于似大地水准面的正常高系统Hr，因此需要把GPS提供的大地高H84转化为正常高Hr，公式如下式:

ζ为似大地水准面至椭球面间的高差，称为高程异常。

在工程测量中，通常采用GPS水准方法获取正常高Hr，因此高精度高程异常ζ的估计尤为重要，目前研究人员采用了多种方法对高程异常进行估计，常用方法包括:神经网络方法、曲面拟合方法、插值算法、考虑大地重力场的高程异常估计算法等，本文只介绍多项式曲面拟合数学模型的普通曲面拟合法及移动曲面拟合法。

2 曲面拟合数学模型

曲面拟合是将高程异常看做是一定范围内坐标的曲面函数，认为高程异常在此范围内变化是连续平缓的，因此采用数值拟合法拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的ζ，从而求出待求点的正常高。

采用的数学模型为:

经常采用的是四参数拟合:

五参数拟合:

六参数拟合:

2.1 曲面拟合法

当有多个已知数据点时，对于每个已知数据点写成误差方程(对于式(2))如下:

在∑vv=min的条件下，解出各a0～a3再按式(2)求出待求点的ζ，从而求出Hr。

2.2 移动曲面拟合法

移动曲面拟合法是一种局部逼近的方法，其模型与曲面拟合模型基本相同。其基本思想是以每一个内插点为中心，利用内插点周围数据点高程异常值，应用最小二乘原理建立一个拟合曲面，而这个曲面在内插点上的值就是所求的内插值，即内插点高程异常值。

设P为内插点，现以(2)式四参数曲面方程为例对P点建立相应的曲面。为计算曲面(2)式的系数，需要选取P点周围的数据点。选取的方法通常是以内插点P为中心，R为半径(R一般取数据点平均间距的2倍)，凡是落在圆内的点即被选用，所选取点的个数大于等于曲面方程系数的个数。当点数不够时，则扩大R的值。在计算时，将所有选取数据点改化到以P为原点的局部坐标系中，现设P点的坐标为(xp，yp)，选取数据点坐标(xi，yi)则有:

对于n个选取点数据建立下列误差方程:

另外，根据数据点对内插点的影响程度引入了权，即内插点距数据点越近影响越大，权重也越大，反之，距离越远影响越小，权重越小。权的形式有多种，本文仅讨论形式，其中di为选取数据点i到p点的距离。

令:

应用最小二乘原理:VTPV=min

可得:X=(ATPA)－1ATPL

对于P内插点有:

带入式(6)，得内插点高程异常ζi=a0

3 实例应用分析

柳州市某测区面积约25 km2，布设一级GPS控制点104个，其中62个点进行了四等水准测量。本文在62点中选取了4种不同的点数和点位分布情况，分别按曲面拟合法(四、五、六参数)、移动曲面拟合法(四、五、六参数)进行拟合计算，并按为检核点拟合高程与水准高程差值，n为外部检核点数)计算拟合外符合精度。图1为不同方案拟合点分布图。

图1 4种选取参与拟合点的方案分布图

方案1在测区周围选取分布均匀的5个数据点参与拟合，其余57个作外部检核;

方案2在方案1的基础上在测区中部增加1个数据点参与拟合，其余56个作外部检核;

方案3在方案2的基础上在测区内部增加4个点共10数据点参与拟合，这10个点分布并不均匀，其余52个点作外部检核;

方案4在测区周围及内部选取分布均匀的18个数据点参与拟合，其余44个作外部检核;

本文利用VB编程进行拟合计算，计算结果如表1～表4所示。

方案1拟合，外部检核点精度分布情况(个数)表1

方案2拟合，外部检核点精度分布情况(个数)表2

方案3拟合，外部检核点精度分布情况(个数)表3

方案4拟合，外部检核点精度分布情况(个数)表4

从4个方案拟合结果看，参数个数不同，拟合方法不同，其拟合的结果不同，就方案1而言，四参数曲面拟合结果最优。方案2与方案1比较:方案2在方案1的基础上仅在测区中部增加1个拟合点，除方案1中最优拟合方法(四参数曲面拟合)的结果无明显变化外，其余拟合方法的拟合精度都有大幅度提高，其中四参数移动曲面拟合法拟合结果稍好。方案3与方案2比较:方案3是在方案2的基础上增加4个点，除曲面拟合法结果无明显变化外，其余(移动曲面)拟合法拟合的精度都有不同程度的降低，经分析，较差较大的点均位于加密拟合点的外侧，即加密拟合点及较差较大的点分别位于方案2选取拟合点的内外两侧，这说明外侧拟合点精度的大幅度降低是因加密拟合点引起的，这也说明移动曲面拟合法对高程异常的变化较为敏感。方案4与方案2比较:方案4选取的拟合点点数是方案2选取的点数的3倍，方案4拟合点间距1.6 km，而方案2拟合点间距2.9 km，但从拟合结果看，各种拟合方法的精度相对方案2而言都没有明显提高，从外符合精度看各拟合方法结果基本相同。从表1～表4看，四参数曲面拟合方法无论是以上何种布点方案拟合结果都没有明显变化;从拟合精度较好的表2与表4看，在相同的布点方案条件下，四参数移动曲面拟合法精度稍好。

4 结论

通过对几种高程异常曲面拟合方法的计算和分析，得以下结论:

(1)采用高程曲面拟合时，GPS水准点(选取参与拟合点)应均匀分布在测区的周围和中部，以提高拟合成果精度和可靠度。例如方案1中，测区中部没有GPS水准点，仅四参数曲面拟合精度较好，其余拟合方法最大误差均超过10 cm，拟合效果较差。

(2)采用高程曲面拟合时，应根据测区地形起伏情况，选取拟合模型，对于本测区地势较为平坦，选取四参数曲面拟合无论是以上何种布点方案均取得较好效果。

(3)采用移动曲面拟合时，因移动曲面拟合法对高程异常的变化较为敏感应尽量避免外推拟合，以免引起较大误差，例如方案3中，移动曲面拟合法外推点精度较低。

(4)对于同一种拟合法，并非选取参与拟合点数越多，精度越高，就本测区而言，以上4个方案中，方案3、方案4布点均比方案2多，但精度并没有明显提高。

(5)对于面积较小地形地势较为平坦测区，无论采用曲面拟合法还是移动曲面拟合法，拟合效果相差不大。

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