最小均方自适应滤波器设计及性能影响因素分析

时间：2024-07-28

王秋莎,张峥,王磊,程子玮,闫鹏

(1.中国电建集团河北省电力勘测设计研究院有限公司,河北石家庄 050031;2.国网吉林省电力有限公司长春供电公司,吉林长春 130021;3.国网河北省电力有限公司电力科学研究院,河北石家庄 050021)

0 引言

同步相量测量单元(Phasor Measurement Unit,PMU)是全局同步时钟下实现电网中电压和电流信号同步相量、频率和频率变化率测量的仪器。噪声是测量信号中无法避免的问题,会造成测量信号部分湮灭,导致测量信号波形失真、信噪比降低,影响关键数据检测、特征值提取等高级应用。PMU 测量的信号中通常包括大量噪声,对PMU应用造成了较大影响。

在电力行业,当被测信号信噪比低于40 dB时,被测信号会被噪声严重影响,关键数据及特征值将难以提取。因此,在电力行业信号测量过程中,选择合适工具对被测信号中的噪声进行有效处理,减少噪声产生的不良影响,是本领域研究的重点方向。

数字滤波器是按照预先设计好的滤波算法程序,达到对测量波形信号滤波的目的。文献[1]通过滤波获取各模态的电压和电流信号。文献[2]提出基于量测量误差协方差次优估计的自适应强跟踪无迹卡尔曼滤波的同步相量测量算法,对突变具有更好的检测灵敏度和更高的跟踪速度。文献[3]提出一种基于频率成分在线分析的带陷波齿的FIR 滤波器,实现滤波器中心频率和陷波齿位置的自适应调整。文献[4]提出基于一组线性相位有限冲激响应数字滤波的动态相量测量算法,实现动态和暂态条件下同步相量的精确测量。本文在数字滤波器基础上提出最小均方(LMS)自适应滤波器,并对其参数变化影响进行分析,掌握其规律,对于处理同步相量测量单元采集数据具有重要作用。

1 数字滤波器设计

数字滤波器是按照预先设计好的滤波算法程序,达到对测量波形信号滤波的目的。数字滤波器依据单位冲击响应时间特性,分为无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器[5-6]。

1.1 IIR 数字滤波器

IIR 数字滤波器是一种递归线性时不变因果系统,其差分方程为

式中:x(n)为输入序列;y(n)为输出序列;M、N为自然数,且N＞M,a i和b j为滤波器的权值系数。

从式(1)可以看出,在对输入序列和输出序列进行延时后,通过加权和相加运算即可得到IIR 滤波后的输出序列。

通过z变换之后,可得

因此,IIR 数字滤波器的传递函数

IIR 滤波器设计实质上是寻找一组权值参数a i和b j,使其性能满足预定的设计技术要求。

1.2 FIR 数字滤波器

FIR数字滤波器是对N个采样数据执行加权和平均的处理,其差分方程为

式中:h(n)为滤波器的单位冲激响应。通过z变换之后,可得FIR 数字滤波器的传递函数为

2 LMS自适应滤波器设计

2.1 基本原理

在工程中,一般无法掌握信号和噪声统计特性。此时,自适应滤波技术在不需要输入信号先验知识的前提下,能够获得极佳的滤波性能,因而具有很好的应用价值,由参数可调的数字滤波器和自适应算法组成,其原理如图1所示。

输入信号x(n)通过参数可调数字滤波器后产生输出信号y(n),将其与期望信号d(n)进行比较,形成误差信号e(n)。自适应滤波器的权值系数依据误差信号e(n),采用选取的自适应算法反复调整,使输出信号y(n)无限接近期望信号d(n)。滤波器系数权值更新通过自适应滤波算法实现,计及x(n)、d(n)、e(n),通过选取的算法对滤波器的权值系数进行迭代更新,获得新的权值系数,实现对未来信号的自适应处理,能够使滤波器的输出趋向于d(n) 。常用的算法准则为最小均方误差准则,由此产生对应的自适应滤波技术为LMS自适应滤波器[7]。

2.2 计算方法

LMS算法通过最小均方误差准则实现,通过动态调节权值系数使滤波器的输出信号y(n)与期望响应信号d(n)之间的均方误差E[e2(n)]最小。为求解该最小优化问题时,LMS算法采用随机梯度下降算法,在每次迭代时滤波器的权值矢量沿着梯度的负方向进行更新。倘若要得到精确的梯度矢量,需要知道信号的自相关矩阵R =E[x(n)xT(n)]和互相关矩阵P=E[d(n)x(n)],必须根据已有数据对梯度矢量进行估计。

LMS算法的关键技术是通过单次采样的平方误差代替均方误差,即e2(n)替换E[e2(n)],达到简化梯度估计的目的。一般情况下,LMS自适应滤波器采用横向滤波器结构,其计算原理如图2所示。

假设n时刻的输入信号向量表达式为

式中:M为滤波器阶数,为固定值,根据具体需求确定。

滤波器权向量的计算方法为

则实际输出信号的计算方法为

n时刻参考信号d(n) 与实际输出信号间的误差e(n) 计算方法为

LMS算法采用x(n) 与d(n) 的特定关系,不断改进自适应滤波器权系数,使均方误差达最小化,达到最优滤波的目的。设误差平方为

则均方误差定义为

式中:P为原始信号和参考信号互相关矩阵,P=E[d(n)x(n)];R为参考信号自相关矩阵,R =E[x(n)xT(n)]。

对均方误差求w(n) 的导数

并令式(12)中梯度向量为0,经求解可得到使代价函数最小的滤波器权值系数

将式(13)带入到均方误差中得到使其成立的最小均方误差为

最陡下降算法通过控制权值沿着均方误差最小的梯度方向移动,即

式中:μ为自适应算法步长。由于自相关矩阵R和期望信号互相关矩阵P难以获取,因此最陡下降算法在自适应滤波环节中不常使用。LMS算法通过瞬时平方误差e2、R和P的瞬时估计值估计梯度向量。R和P的瞬时估计值为

梯度向量的瞬时估计值为

权值更新公式为

为使算法收敛,步长μ应满足

式中:λmax为输入信号X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M +1)]T自相关矩阵的最大特征值。

通过不断迭代权系数w(n)变化,最终趋近于最优解,使实际输出信号y(n)与参考信号d(n)的误差接近0。

3 算例分析

3.1 LMS滤波器应用及效果

含有次同步振荡(SSR)归一化后的电流波形数据如公式(20)所示,各变量参数值如表1所示。

设置LMS滤波器的阶数M=15,步长参数μ=0.005。经LMS滤波器后的波形数据和频谱、以及采用输出误差随迭代次数所表示的学习曲线如图3所示。

图3 LMS滤波器应用的效果

3.2 参数变化影响分析

3.2.1 步长参数μ

图4显示了在相同的滤波器阶数M =15下,步长参数μ=0.000 1、0.001、0.05、0.5时,LMS滤波后的时域波形图和学习曲线。

图4 步长参数μ 对LMS滤波器性能的影响

由图4可见,步长参数μ对收敛速度、跟踪速度、稳态误差等指标影响作用明显。步长参数μ过小,会使算法收敛的很慢,且滤波效果不佳。适当较小的步长参数μ(如图4 的μ=0.001 和0.05),尽管收敛速度不快,但会获得较小的稳态误差从而提高算法的精度,对于时变系统来说较小的步长参数μ也会导致跟踪速度减小。此时可适当提高步长参数μ来提高滤波器的跟踪速度,会带来较大的稳态误差,降低算法的精度。但是,步长参数μ不宜过大(如图4 的μ=0.5),会造成LMS滤波算法的不稳定,导致不能实现滤波的目标。因此,需要根据实际应用场景,选取合适的步长参数。

3.2.2 滤波器阶数M

将步长参数设置为μ=0.05,改变LMS滤波器阶数M=3、15、25、35,图5显示了LMS滤波后不同阶数的时域波形图和学习曲线。

图5 滤波器阶数M 对LMS滤波器性能的影响

由图5可知,当滤波器阶数M过小或过大时,均不能很好地对噪声进行有效抑制。只有当自适应滤波器的阶数与噪声通道的传递函数F(z)的阶数一致时,才能有效地抑制噪声。而当滤波器阶数小于F(z)阶数时,输入通道的噪声将无法与参考通道的噪声抵消,会导致最小均方差变大;当滤波器阶数大于F(z)的阶数时,会引起失调变大。因此,只在滤波器阶数等于F(z)阶数情况下,自适应滤波器性能最佳。

3.2.3 信噪比

将步长参数设置为μ=0.05,LMS滤波器阶数设置为M=15,改变信噪比RSN的数值,分别为20 dB、10 dB、0 dB、-10 dB,图6显示了LMS滤波后的时域波形图和学习曲线。

图6 信噪比R SN对LMS滤波器性能的影响(M=15)

由图6可见,当信噪比降低时,LMS算法的性能将急剧恶化。进一步地,尝试增加滤波器阶数M=25时,RSN=20 dB、10 dB、0 dB、-10 d B,图7显示了LMS滤波后的时域波形图和学习曲线。

图7 信噪比R SN对LMS滤波器性能的影响(M=25)

由图7可见,增加滤波器阶数并不能带来滤波效果的改善。因此,当信噪比降低时,需考虑采用其他的滤波方法。