基于柯西变异改进粒子群算法的无功优化*

苏福清 匡洪海 钟 浩 匡 威 陶 成

(1.湖南工业大学电气与信息工程学院 株洲 412007；2.三峡大学梯级水电站运行与控制湖北省重点实验室 宜昌 443002)

1 引言

电力系统无功优化在数学上是典型的非线性混合整数规划问题，具有非线性、多约束、多变量的特点[1]，解决这类问题的传统方法有线性规划法、非线性规划法和内点法[2]等，这类方法一般需要某些假设条件，如目标函数连续、导数存在及单峰等，而且对初始值的选取要求较高。近年来，基于群体智能的优化算法得到迅速发展，如遗传算法[3]、蚁群算法[4-5]、蜂群算法[6]和粒子群(Particle swarm optimization,PSO)算法[7-8]等，这些算法不要求目标函数连续以及可导，同时它们具有鲁棒性好、易于实现和计算效率高等优点，已成功应用于解决电力系统领域中的复杂优化问题。

PSO 算法虽然原理简单、参数设置少且收敛速度快，但是在求解复杂优化问题时，容易发生早熟收敛，陷入局部最优解。为了解决这一问题，学者们从参数调节、引入变异操作以及与其他智能算法相结合等方面改善粒子群的寻优性能。文献[9]认为较大的惯性权重有利于全局探索，较小的权重有利于局部开发，因此提出了惯性权重线性递减的策略；文献[10]提出带收缩因子的粒子群算法，不仅能提高算法搜索能力，而且可以加快收敛速度；文献[11]赋予粒子每一维以不同的线性衰减惯性权重，增强粒子搜索后期的群活性；文献[12]提出基于分布熵的自适应惯性权重更新策略，均衡PSO 算法全局与局部搜索性能；文献[13]引入基于邻域的变异算子来丰富种群的多样性，增强算法的开发能力；文献[14-15]将遗传算法的交叉变异思想融入粒子群算法，提高了粒子跳出局部最优解的能力；文献[16]将差异进化算法与粒子群算法相结合，提出了一种粒子群-差异进化混合算法；文献[17]提出基于Tent 映射的混沌搜索和非线性自适应粒子群算法相结合的优化算法。

本文将柯西变异操作引入混沌粒子群算法，提出改进的自适应混沌粒子群(Improved adaptive chaotic particle swarm optimization,IA-CPSO)算法，该算法不仅能够保证粒子群的多样性，而且有助于提高算法后期跳出局部最优解的能力。与文献[18]相比，本文算法仅对当前粒子群的最优粒子进行混沌搜索，以使粒子群的结构不被破坏，然后利用早熟收敛策略判断是否采用柯西变异操作对粒子群进行扰动。通过对IEEE 14 和IEEE 30 节点系统的无功优化测试，验证了该算法能够快速跳出局部最优解，并找到全局最优解。

2 无功优化的数学模型

2.1 目标函数

本文选择电力系统的有功网损最小为目标函数，并通过惩罚函数的形式处理系统节点电压和发电机无功出力越限的情况，构造的无功优化数学模型如下

电压越界和无功越界分别定义为

式中，总目标F由有功网损PLoss、系统节点电压和发电机无功出力越限的惩罚函数组成；N、M和NL分别为系统节点数、发电机节点数和系统支路数；λ1和λ2分别为越限惩罚系数。

2.2 约束条件

(1) 功率方程约束。系统节点的有功功率和无功功率平衡约束为

式中，PGi和QGi分别为发电机的有功输出和无功输出；PLi和QLi分别为负荷节点的有功功率和无功功率；QCi为无功补偿容量；Vi和Vj分别为节点i，j的电压幅值；Gij、Bij和ijθ分别为线路的电导、电纳和电压相位差；N为系统节点数。

(2) 控制变量约束。各控制变量在允许范围内是保证电力系统安全稳定运行的前提，控制变量的约束为

式中，VG、KT和QC分别为发电机节点电压、有载调压变压器变比和电容器补偿容量；NG、NT和NC分别为发电机数、电容器补偿数和变压器可调分接头数。

(3) 状态变量约束。采用惩罚函数的形式对状态变量进行限制，防止越界，状态变量的约束为

式中，Vi和QG分别为节点电压幅值和发电机无功出力。

2.3 改进的自适应混沌粒子群算法

2.3.1 标准粒子群算法

PSO 算法是源于对鸟类捕食行为的研究而衍生出来的一种新型群体智能进化算法，群体中的每个个体都是可行域内的一个潜在解，食物的位置则代表全局最优解，粒子群通过在D维解空间中迭代搜索全局最优解。在D维可行解空间中每个粒子的空间位置为相应的速度为同时将个体最优位置pbest记为全局最优位置gbest记为，迭代过程中粒子速度和位置的更新公式分别为

式中，ω为惯性权重，c1，c2为学习因子(非负常数)，r1，r2为(0,1)区间内的随机数；分别为第i个粒子在第k次迭代过程中的速度向量和位置向量的第d维分量；为第k次迭代中第i个粒子个体极值对应的粒子位置在第d维上的分量；为第k次迭代全局最优适应度值对应的第d维上的位置分量。

2.3.2 混沌搜索

混沌运动普遍存在于非线性系统中，具有随机性、遍历性和规律性的特点，广泛应用于求解不同领域的最优化问题。混沌搜索的基本原理是将解空间对应为混沌的遍历性轨道，以任意精度趋近最优解，同时可使搜索过程具有避免陷入局部最优的能力。典型的混沌系统是由Logistic 映射方程得出，其定义如下

式中，μ∈[3.57,4]，zi∈[0,1]，本文选取μ=4，此时系统处于完全混沌状态。

决策变量xi映射到混沌变量zi的公式为

由Logistic 映射方程得到的混沌序列zi再通过式(11)逆映射生成决策变量。

图1 为取初值x1=4和x2=4.001迭代20 次的混沌运动轨迹，两点间的初始距离仅为0.001，经过混沌系统后，迭代后期开始呈现分离状态，说明混沌搜索对初值的选取很敏感，即使是相邻的两点，仍然能够遍历决策变量的解空间，避免其陷入局部极值。

本文对粒子群算法每次迭代得到的全局最优粒子进行混沌搜索，并将混沌搜索得到的粒子位置代替粒子群中最差的一个粒子，这样能够引导其跳出局部极值，加快收敛速度，找到全局最优值。

图1 相邻两点的混沌运动轨迹

2.3.3 判断早熟收敛准则

群体适应度方差能够反映粒子是否陷入早熟收敛状态，其公式为

2.3.4 柯西变异操作

高斯变异和柯西变异是常用的两种扰动方式，图2 是它们的密度函数对比。柯西密度函数两端较长的分布不仅使个体有更高的概率跳出局部最优，而且变异产生的子代与父代间具有更大的差异性，因此柯西变异具有更强的扰动性[19]。

图2 高斯和柯西密度函数的对比

算法迭代后期粒子聚集明显，表现出强烈的趋同性，即所有粒子运动到同一位置并不再移动，这样就丧失了粒子群的多样性，易陷入早熟收敛状态，因此在算法陷入早熟收敛后，本文引入柯西变异操作，不仅可以保持粒子群的多样性，而且能够使算法有能力跳出局部最优。柯西变异的具体操作步骤如下。

(1) 算法陷入早熟状态后，将粒子当前的适应度值按升序排序。

(2) 对排名在前20%的粒子位置进行柯西扰动，并维持粒子在解空间内，以防超越边界。

(3) 重新计算粒子的适应度大小，并判断是否陷入早熟收敛，若是，则重复步骤(1)～(3)，直到找到全局最优或者达到最大迭代次数。

对粒子xi的扰动方式[20]如下

式中，rand为[0,1]之间均匀分布的伪随机数；Cauchy(0,1)为标准的柯西扰动随机值；xmax和xmin分别为粒子位置的上限值和下限值。

2.3.5 自适应权重系数

为了平衡粒子群算法的全局搜索能力和局部开发能力，本文采用基于粒子适应度的自适应调节惯性权重的策略[21]，其计算公式为

式中，ωmax和ωmin分别为ω的最大值和最小值，f、favg和fmin分别为当前粒子的目标函数值、所有粒子的平均目标值和最小目标值。

3 基于IA-CPSO 算法的无功优化

综合以上，基于IA-CPSO 算法的无功优化步骤如下。

(1) 读入电网运行数据，包括网络结构数据、无功优化控制变量的可调范围，并设置IA-CPSO 参数。

(3) 更新迭代次数，由式(16)计算惯性权重ω，再通过式(7)和式(8)更新各粒子的速度和位置，若粒子的位置和速度在可行域范围外，则作边界吸收处理。

(4) 潮流计算出有功网损以及每个粒子的目标函数值F，并与步骤(2)中各粒子目标函数值比较，更新个体最优值pbest，同时从粒子群个体最优值中找到全局最优Fbest，若当前全局最优优于历史全局最优，则更新全局最优位置gbest。

(5) 利用Logistic 映射方程式(9)对当前最优粒子位置gbest进行混沌搜索，将混沌搜索得到的最优粒子位置代替当前粒子群中最差的一个。

(6) 若算法达到最大迭代次数或者满足收敛条件，则跳转至步骤(8)，否则执行下一步。

(7) 根据式(12)判断算法是否陷入早熟状态，若是，则选出目标函数值排名前20%的粒子，由式(13)对粒子位置进行柯西扰动，然后重复步骤(3)～(7)，否则，执行下一步。

(8) 输出目标函数最小值Fbest和全局最优粒子gbest。

4 算例分析

为了验证自适应混沌粒子群算法和早熟收敛状态下引入柯西变异操作的有效性，采用Matlab 编程分别对IEEE 14 和IEEE 30 节点系统进行无功优化计算。

4.1 编码

IEEE 14 节点系统含有五台发电机(节点1，2，3，6，8 分别对应的G1，G2，G3，G4，G5)、三台有载调压变压器(支路4-7，4-9，5-6 分别对应的T1，T2，T3)和无功补偿节点(节点9 对应的G1)；而IEEE 30 节点系统含有六台发电机(节点1，2，5，8，11，13 分别对应的G1，G2，G3，G4，G5，G6)、四台有载调压变压器(支路6-9，6-10，4-12，28-27 分别对应的T1，T2，T3，T4)和两个无功补偿节点(节点10，24 分别对应的C1，C2)。因此粒子在每一个维度上的变量对应优化问题的控制变量可表示为

式中，发电机端电压取值范围为[0.95，1.10]，有载调压变压器变比调节范围为[0.9，1.1]，共有8 个调节档位，调节步长为2.5%，电容器补偿容量的上下限为[0，0.5]，分5 档投切，步长为0.1。

4.2 算法参数设置

种群规模为40，最大迭代次数为100 次，最大混沌搜索次数为10 次，c1=c2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.4，惩罚函数项系数λ1和λ2的值根据文献[22]取为1。

4.3 IA-PSO 算法验证

分别基于标准粒子群算法(PSO)、自适应混沌粒子群算法(ACPSO)以及本文提出的IA-CPSO 算法进行算例测试，图3 和图4 分别为三种算法对IEEE 14和IEEE 30 节点系统在求解无功优化过程中目标函数的最优收敛曲线。

图3 IEEE 14 节点系统各算法寻优曲线

图4 IEEE 30 节点系统各算法寻优曲线

从图3 可以看出，对IEEE 14 节点系统，虽然三种算法均能找到目标函数的最优解，但IA-CPSO算法迭代的次数比另外两种算法少，能够更快地寻找到全局最优。图4 中，对IEEE 30 节点系统，PSO算法中的粒子迭代至13 次就开始处于停滞状态，陷入了局部最优解，ACPSO 算法得益于对惯性权重的自适应调整策略和混沌搜索的遍历性特征，寻找到的目标函数值更小，但后期粒子聚集作用加剧，惯性权重发挥的效果越来越小，同时混沌搜索不足以进一步引导粒子跳出局部最优解，寻优过程陷入早熟收敛状态。而IA-CPSO 算法引入了早熟收敛判断策略，在发生早熟收敛时对部分最佳粒子进行柯西扰动，既增加了粒子群体的多样性，又提高了算法跳出局部最优解的能力，全局寻优能力优于另外两种算法。

图5 和图6 为三种算法对14 节点和30 节点优化后系统节点电压的变化情况。从图5 和图6 可以看出，三种算法优化后得到的系统节点电压均在允许范围内，但对30 节点系统的优化中，IA-CPSO算法优化后的电压波动更为平稳，系统的稳定性更好。表1 和表2 为各算法对14 节点和30 节点系统优化后的控制变量大小，表3 和表4 为各算法对14节点和30 节点系统优化后有功网损的情况。

图5 IEEE 14 节点系统节点电压优化情况

图6 IEEE 30 节点系统节点电压优化情况

表1 IEEE 14 节点系统优化后的控制变量

表2 IEEE 30 节点系统优化后的控制变量

表3 IEEE 14 节点系统优化后的有功网损

表4 IEEE 30 节点系统优化后的有功网损

从表3 可以看出，三种算法得到的有功网损值差别不大，说明在控制变量较少的情况下，各算法的优化效果一致。而在表4 中，采用IA-CPSO 算法进行无功优化计算后，有功网损由0.175 57 p.u.下降为0.159 815 p.u.，降幅8.97%，其优化效果优于另外两种算法，验证了IA-CPSO 算法在求解无功优化问题时的有效性。

5 结论

电力系统无功优化是降低有功网损、改善电压质量和保证系统安全运行的有效手段，在实际运行中被广泛的应用。本文求解系统无功优化问题，采用了改进的粒子群算法：结合自适应惯性权重，并在寻优过程中加入早熟收敛判断策略，对早熟粒子进行柯西变异操作。以IEEE 14 和IEEE 30 节点系统为例进行仿真，结果表明如下。

(1) 柯西变异操作能够增强粒子群的多样性，有效克服PSO 算法容易早熟、陷入局部极值的缺陷。

(2) 本文的改进粒子群算法具有较快的收敛速度，进一步降低了系统的网损，同时系统的节点电压也更加稳定。