基于多元线性回归函数在后张法桥梁锚下有效预应力检测中的应用研究

罗伟斌

（1.广西交通设计集团有限公司，广西 南宁 530029；2.广西交通工程检测有限公司，广西 南宁 530011）

0 引 言

预应力钢绞线是采用各种高强度的钢丝经过加工咬合且需经过后期稳定化处理的钢绞线。预应力钢绞线广泛地应用于桥梁工程，而桥梁后张法预应力张拉施工及桥梁锚下有效预应力的检测是桥梁工程施工过程与质量检验过程中的关键环节，桥梁后张法预应力钢绞线施工的好坏以及桥梁锚下有效预应力质量检测结果对桥梁梁体的承载力、使用性能以及后续运营使用的耐久性有着极其重要的影响［1］。

当桥梁锚下有效预应力过大，将可能导致预应力钢绞线断丝；当桥梁锚下有效预应力过小，将可能导致梁体预应力度不足而产生梁体横向开裂。在实际施工中，如何对桥梁锚下有效预应力进行有效的控制，准确检测桥梁锚下有效预应力是目前研究的重点。

1 反拉法工作机制力学分析

反拉法主要是对露在体外的钢绞线进行单根张拉，同时测试张拉力和钢绞线伸长量。当千斤顶对预应力钢绞线产生拉拔力且小于预先施加的桥梁锚下有效预应力时，钢绞线处的夹片将对钢绞线起紧固作用，而未被约束的自由段可自由伸长；当千斤顶对预应力钢绞线产生拉拔力且大于预先施加的桥梁锚下有效预应力时，预应力梁处的锚头与夹片将会在一瞬间脱开，钢绞线将能够自由伸长。此外，自由伸长的钢绞线长度的增加将会出现明显的伸长，而夹片也同时产生向外的位移量。在实际检测过程中，钢绞线可视为弹性体，在受力拉伸过程中，可通过分析施加的反拉荷载与钢绞线拉伸量的关系进而判定锚下有效预应力值。钢绞线张拉后，夹片夹持钢绞线，取夹片与钢绞线的一段隔离体进行受力分析，如图1 所示。

图1 反拉法检测受力分析图

夹片夹持钢绞线，锚固固定夹片，夹片与钢绞线的受力平衡关系式如式（1）所示。

式中：F0为钢绞线的锚下有效预应力，kN；F1为千斤顶施加的反向张拉力，kN；F2为夹片承受锚具传递的水平方向的力，kN。

2 多元线性回归函数模型

2.1 回归模型的建立

假定 m 个自变量X1，X2，……，Xm，则称模型（见式 2）为 m 元线性回归模型。

式中：U0，U1，……Um为表示回归参数；Xi，1，Xi，2，Xi，m为表示已知常数项；Xi为表示随机误差，独立且服从N（0，e2），i＝1，……，n。

如设已知常数项Xi，0＝1，则 m 元线性回归模型可写成：Yi=U0Xi，0+U1Xi，1+U2Xi，2……+UmXi，m+Xi；由于 E（Xi）=0，所以 m 元线性回归模型的回归函数为 E（Y）=U0+U1X1+U2X2+……+UmXm；m 元线性回归模型用矩阵和向量形式表示时，如式（3）所示。

桥梁锚下有效预应力 P 的大小与预应力钢筋与管道壁之间的摩擦 σl1、锚夹具受压变形引起的损失 σl2、预应力钢筋的应力松弛 σl5等 3 个因素有关（本文暂不考混凝土弹性压缩、混凝土的收缩和徐变等其他因素影响）。因此，可建立如下的多元线性回归模型，如式（4）所示。

式中：σl1、σl2、σl5为自变量；Zpi为因变量；X1i为随机误差，独立且服从 N（0，e2）。

其中 σl1、σl2、σl5据参考文献［2］结合现场实际检测数据计算得到。

假定 X1i为随机误差，其独立且服从N（0，e2），所以 E（X1i）=0，则多元线性回归模型式（4）的回归函数Zpi=Up0+Up1σl1+Up2σl2+Up5σl5，Upj（j=0，1，2，5）为回归参数，又称偏回归系数，其中 Up0是线性回归时设定的常数项。

2.2 最小二乘估计及相关性检验

采用最小二乘法确定 Upj的估计，假定 X 的秩为 m，回归平面度的残差平方和，如式（5）所示。

令 eTe=min，此时的 UΛ即为 U 最小二乘估计，将式式（5）求导并令其为 0，即得：

m 元线性回归模型中的 X，Y，U 分别为：

将 X，Y，U 带入至UΛ=（XTX）-1XTY 中，可得到回归参数的最小二乘估计为。因此，综合以上即可得到桥梁锚下有效预应力的多元线性回归函数表达式，如式（7）所示。

式（7）中后张法桥梁锚下有效预应力回归模型线性相关显著性的检验可以通过样本复相关系数 R 和服从自由度为（k，n-k-1）的 F 分布等两个统计指标来检验。其中，k 表示参变量个数，n 表示样本总数。

式（8）中样本复相关系数 R 越接近1，则表示其相关性越显著。此外，服从自由度为（k，n-k-1）的 F 分布的 F 值，如式（9）所示。

对于给定的相关水平 α0.05，可以查得与自由度（k，n-k-1）相关的临界值λ［3］。然后与计算统计量 F 值比较。若 F ＞λ，则在 α0.05的水平下该回归函数线性相关性显著，反之不显著。

3 工程实例分析

3.1 工程概况简介

某高速公路项目里程为 K167+146～K238+731.987共71.58 km。本次桥梁锚下有效预应力检测主要为该高速公路中某标段的 4 个预制梁场，预应力管道采用预埋圆形及扁形金属波纹管成孔，梁体采用 C50 混凝土。预制梁其余主要参数如下：预应力钢绞线弹性模量 Ep=1.95×105MPa、松弛系数 ζ=0.3，锚具变形钢筋回缩取 6 mm（一端），管道偏差系数 κ=0.001 5，预应力钢绞线采用抗拉强度标准值fpk=1 860 MPa、公称直径 d=15.2 mm 的低松弛高强度钢绞线，预制梁内正弯矩及墩顶连续段处的负弯矩钢束锚下控制应力为 0.75 fpk=1 395 MPa。

采用反拉法对 4 个预制梁场的桥梁锚下有效预应力进行检测，累计完成 30 片预制梁，选取部分数据进行多元线性回归分析，反拉式有效预应力现场检测曲线如图2 所示。

图2 反拉式有效预应力实时测试曲线

3.2 回归参数最小二乘估计及相关性检验

进行多元线性回归的样本最小容量必须不少于模型中解释变量的个数（包括常数项），根据相关文献认为，当样本总数≥30 时，才能满足模型估计的基本要求［4］。故本文取现场实际检测试验数据中的部分检测试验数据 30 组，其中设定为自变量的数目为 3 个，试验数据自由度为（3，26），通过查 F 分布表，可以得到线性相关程度达 95 % 的自由度为（3，26）F 值：F0.05（3，26）=2.98，方差分析结果如表1 所示，回归参数与线性相关检验参数计算结果如表2 所示。

图3 变量残差结果分析图

表1 方差分析结果一览表

表2 回归参数与现行相关检验参数计算结果一览表

根据表1，由于因变量与自变量 X2与 X3的相关性分别为 0.023 及 0.017，两者显著性水平均小于 0.05，自变量残差分析结果如图3 所示，故该两项的自变量与因变量相关。

根据表2，F 显著性统计量值为 0.044，小于显著性水平 0.05，故该回归方程回归效果显著。

综上，通过相关性检测指标，复相关系数 R 以及 F显著性检验的计算结果可以看出回归函数线性显著相关，相关性检验表明：可用回归函数计算得到的桥梁锚下有效预应力与现场实测的有效预应力基本保持一致，在工程实际范围内多元线性回归函数可用在对后张法预应力桥梁检测结果的预测和设计优化控制。

4 结 语

基于多元线性回归函数，本文对包括桥梁预应力钢筋与管道壁之间的摩擦、锚具及锚口变形、预应力钢筋的应力松弛等预应力损失因素对桥梁锚下预应力检测值的影响。将上述各种预应力损失因素作为自变量，现场实测桥梁锚下预应力检测值作为响应变量，建立多元线性回归模型。试验结果表明：可用回归函数计算得到的桥梁锚下有效预应力与现场实测的有效预应力基本保持一致，在工程实际范围内多元线性回归函数可用在对后张法预应力桥梁检测结果的预测和设计优化控制，试验研究结果为开展桥梁锚下预应力检测的工程应用推广提供了理论及试验基础。