基于二次型规划函数的无功补偿优化方法

林 霞，宋慧杰，陈三波

（1.国网山西省电力公司，山西 太原 030021；2.万家寨水务控股集团有限公司，山西 太原030012；3.中国能源建设集团山西省电力勘测设计院有限公司，山西 太原 030013）

0 引 言

随着国民经济的快速增长，全社会用电负荷随之增加，需要不断加大电网建设投资以满足快速增长的负荷需求。电网企业不仅要为用电企业提供可靠的电能供应，还需确保其自身电网的安全经济运行，提高电能的利用和转换效率，避免电网建设的投资浪费。随着电力体制改革的日益深化，电网运行的经济性成为电网建设的决定因素之一。合理配置无功补偿装置是电力系统经济运行、减少电能损耗以及提高电网输送效能的重要手段，对提高用户用电质量和提高电网企业的经济效益具有重大意义。

提高电压水平及电能质量的重要手段之一，是在相关站点的主变低压侧配置一定容量的无功补偿装置。该装置实际运行时根据电压水平的高低决定分组投切的容量。但是，目前无功容量的配置原则主要通过长期运行经验和粗略计算，缺乏一定的理论支撑。配置过少，造成电压水平过低、设备出力不足、损坏、损耗增加等问题；配置过剩，造成投资浪费，无功补偿装置的投资不能获得最佳回报。无功优化计算正是解决上述问题的重要手段，通过优化计算合理配置无功补偿装置，最大限度地优化无功潮流分布，提高电压水平和电能质量。无功优化问题难点主要集中在无功优化模型的建立和无功优化问题求解方法的研究。现阶段电网系统愈加庞大和复杂，对无功优化问题的建模及求解方法提出了更高的要求[1]。

1 无功功率的补偿及优化

1.1 无功的补偿方式

常见的低压补偿方式包括枢纽站集中补偿、配电网分散补偿以及用户终端就地补偿。针对城市低压配电网，采用的补偿方式是分散补偿。分散补偿是根据电力系统及用户的需要，按照局部负荷大小配置无功补偿容量，通常是在公用变压器上安装电容器组进行无功补偿。通过分散加装补偿装置的方法，可以改善电网系统无功潮流分布，从而进一步改进设备的承载能力，提高电压质量，降低网络损耗，是目前经济可行的补偿措施，体现了无功“分散补偿，就地平衡”的原则。

1.2 无功的优化方法

在电力系统无功优化领域，常规优化方法主要有非线性规划法、线性规划法以及混合整数规划法等。非线性规划法是最先被应用到电力系统无功优化的方法之一，其中具有代表性的有简化梯度法、牛顿法最优潮流算法以及二次规划法。二次规划法是发展较为成熟的一个分支。因无功优化中的目标函数和约束条件常常是二次函数的形式，故二次规划法常用于无功优化的求解。本文采用基于MATLAB的二次规划函数。

二次规划的标准形式为：

式中，H是m×m阶矩阵；A是n×m阶矩阵；Aeq是n×m阶矩阵；x,f,lb,ub∈Rm；b,beq∈Rn。

MATLAB优化工具箱中二次型规划函数的用法：

返回一组具有上下限、满足不等式约束及等式约束，且使函数f(x)最小的向量x以及f(x)的最小值fval[2]。

2 无功优化的数学模型

通常把无功优化表示成含有约束条件的非线性数学模型。目标函数可以有多种选择形式，如以线损最小、年运行费用最小、年支出费用最小以及年经济效益最高为优化目标。本文采用年经济效益最高为目标函数：

式中，Qc1,Qc2,…,QcNC为NC个无功补偿点的补偿容量；Ze为投入补偿电容之后年节约电能费用，单位为元；Zc为新装电容器的年综合造价，单位为元；ΔP0为补偿前最大负荷下的有功损耗，单位为kW；ΔPΣ(Qc1,Qc2,…,QcNC)为补偿后最大负荷下的有功损耗，单位为kW；τmax为最大负荷损耗小时数；β为有功电价，单位为元/（kW·h）；Ka为补偿装置的维护折旧率；Kc为安装单位补偿容量的综合投资，单位为元/kvar。本文考虑的约束条件是支路功率因数约束和节点电压约束：

式中，l=1,2,…,NF，NF≤NL，NL为系统总支路数；NF为功率因数约束支路数；k=1,2,…,KV，KV≤N，N为系统总节点数，KV为电压约束节点数。VK为K节点的电压值，cosφl为l支路的功率因数。

因无功补偿而减少的年电能损耗费用若大于投资安装无功补偿设备的年综合造价，即节省的费用超过投资的费用，则认为是划算的，其差值为年经济效益，优化目的是年经济效益最大。

二次型规划函数quadprog()所得到的目标函数的最优解是最小值，本文采用的目标函数（年经济效益）的优化目的是最大值，因此对目标函数进行如下变形（即等式两边同取负值）：

进而将目标函数年经济效益最大转换成求目标函数FT的最小值。

式（5）中的第3项根据潮流计算得到。本文采用的潮流计算方法引入一个节点-支路关联矩阵（不考虑源点），通过求得这个矩阵，根据已知的节点负荷求出支路功率，拓扑结构如图1所示。

图1 拓扑结构图

图1中，数字0～5是节点编号，数字0是源点；P01～P35是各支路功率（待求量，下标数字顺序代表功率流向）；P1～P5是各节点功率（已知量，如果不是负荷节点，则为零）。因此，图1的节点-支路关联矩阵为：

矩阵中，1代表注入功率，-1代表流出功率。现在考虑式（5）的第1项和第2项，那么新的目标函数可以写成：

式中，ΔPΣ是补偿前最大负荷下的有功损耗，具体表达式为：

式中，P1、Q1为无功补偿之前各支路的有功、无功功率；R1为各支路的电阻；VN为线路额定电压；Q1,c为线路l下游节点电容器补偿容量之和，具体表达式为：

式中，α1,ci为0或1的变量。α1,ci=1表示线路l下游节点集合中含有电容器ci，α1,ci=0表示线路l下游节点集合中不含电容器ci。

本文算法只考虑了支路功率因数约束和节点电压约束，具体描述为：

式中，Vs为电源点电压；βk,1为0或1的变量。βk,1=1表示电压约束点k的电压与支路i的压降有关，βk,1=0表示电压约束点k的电压与支路i的压降无关，Rl为支路的电阻，Xl为支路的电抗。

结合式（7）～式（10）可知，无功补偿容量的优化的目标函数和约束条件可描述为：

求出支路功率和α1,ci、βk,1后，式（11）中的变量就只有Q1,ci。

本文借助MATLAB优化工具箱的二次型规划函数进行仿真计算，应将目标函数及其约束条件转换成如式（3）所示的二次型规划函数所要求的标准形式进行计算。

经过公式推导得到目标函数及约束条件的标准形式如下：

式中，Qci是各无功补偿点补偿电容组成的NC维列向量；QciT为Qci的转置；H是NC×NC阶矩阵，具体表达式为：

式中，α是NC×NC阶矩阵；diag(R1)是NL×NL阶矩阵，矩阵内元素为各支路电阻组成的对角矩阵。可以看出，目标函数是一个标准的二次型函数。

以上分析为后续的优化计算做好了准备。下面通过一个实际算例来验证数学模型和算法的有效性。

3 实际系统分析

如图2所示，某地区城市配电网共24个节点，节点1为电源点，额定电压110 kV，24条支路，规划的无功补偿节点有15个。目标函数为该地区局部配电网年经济效益，优化目的是经济效益最高，以无功补偿设备容量作为可调变量进行优化计算。

图2 某地区城市局部配网示意图

选取部分节点作为补偿点，采用本文的数学模型及算法计算各补偿点的无功补偿容量。经过计算可知，补偿无功后，年电能损耗费用较未补偿无功之前减少了50万元，大于无功补偿设备的投资费用，即节省的费用超过了投资的费用。补偿无功后，各节点的电压质量得到了改善，补偿前后节点电压结果如表1所示。

表1 部分节点最优无功补偿容量及电压优化结果

4 结 论

采用上述方法安装的无功补偿装置能够降低网损，提高电压质量，且投资少，经济效益明显。通过实际算例证明，优化模型及算法具有合理性，二次型规划算法是有效的。