两个分数阶混沌系统的广义投影同步及电路实现

堵 威，方建安，唐 漾，龚信礼，赵晨圆

0 引 言

尽管分数阶积分和整数阶积分有着几乎同样的300年历史，但是分数阶积分很长一段时间都没有引起足够多的关注。由于分数阶混沌动力学系统具有比整数阶系统更为复杂、丰富的动力学特性，以及具有随机性和不可预测性增加等优点，这使得其在通信、医学等领域中的应用更加广泛[1-4]。众多分数阶系统被应用于分数阶力学领域中。

最近，许多学者开始研究分数阶混沌动力系统。由于混沌系统的不可预测性和初值敏感性，为了使分数阶混沌系统可控，学者们纷纷将研究重心放到分数阶混沌系统的同步问题上。Li C G用两个分数阶混沌系统进行了主从系统同步[5]，Lu J G研究了分数阶Lü系统的同步[6]。为了使同步问题在实际中得到更广泛地应用，考虑到在实际非线性系统中会产生时间延迟而提出的时滞同步[7]以及为了使用一种同步来表述多种同步特性而提出的投影同步和广义投影同步，成为众多学者的研究热点。其中，广义投影同步可以用于将二进制数字通信延伸到M进制数字通信，从而实现快速通信。Tang Y用了active控制和自适应方法来实现整数阶混沌系统的投影同步[8]。另外，一些学者在分数阶混沌系统的模拟电路实现方面做了一些工作，Ahmad W M推导出分数阶阶数α从0.1到0.9的1/sα展开式[9]，王发强设计了单元电路实现分数阶阶数α从0.1到0.9的1/sα展开式[10]，并且应用于单个分数阶混沌系统。然而，随着两个达到广义投影同步的分数阶混沌系统在保密通信[11]中的作用日益突出，迅速找到实现两个分数阶混沌系统广义投影同步的一般方法，以及对两个分数阶混沌系统的同步实现模拟电路的设计则越发显得重要。这也将为今后在实际中的应用打下基础。

基于上述讨论，本文首先考虑了两个分数阶混沌系统的广义投影同步问题，借助非线性观测器，给出实现广义投影同步的一般方法，并建立了相关数学模型来证明方法的有效性。其次，使用Matlab进行数学仿真，表明其合理性。最后，基于Multisim软件平台，设计了分数阶混沌系统投影同步问题的电路模型，确定元件参数，给出正确的电路仿真结果，从而满足了工程的需要，为今后两个达到同步的分数阶混沌系统在保密通信等领域的应用打下了基础。

1 分数阶混沌系统的理论基础

1.1 分数阶混沌系统

有关分数阶微分的定义有很多。最常用的定义就是Riemann-Liouville分数阶微分：

为了求解方便，常用复频域转换法，即通过Laplace变换，（1）式可转化为：

如函数f（t）的初始值均为零，则（2）式可表示为

对于分数阶混沌系统，认为n维连续时间分数阶混沌系统有如下形式：

1.2 基于非线性观测器的分数阶混沌系统的广义投影同步

广义投影同步（GPS）是从系统通过一个比例因子和主系统达到同步。如（β为比例因子）。

引理：

以下自治系统：

对于广义投影同步，基于观测器方法，利用系统（4），假设系统（4）的输出为：

β为比例因子。

即误差系统可表示为：

为了使分数阶系统达到同步，即（A-BK）=0，反馈增益 K的选择必须使（A-BK）矩阵的特征值满足引理。时，系统（7）是系统（5）的观测器，即时，。在这种情况下，极点配置的技巧将被应用于获得理想的（A-BK）的特征值，从而决定增益K。

2 基于非线性观测器法达到同步的混沌系统数学模型

应用非线性观测器法时，这里选取分数阶临界混沌系统作为驱动系统。

整数阶临界混沌系统的数学模型为：

取系统参数a=10，b=40，c=2.5，k=1，h=4时，对于（10）式，其分数阶数学模型为：

即：

同时，根据公式（8），响应系统可以被写成：

对于比例因子β的选取，并没有太多限制，这里取正负两个有代表性的比例因子β＝2和β＝－1。β＝2时，为了满足引理，确定矩阵的所有特征值，此时可求得从而可以写出响应系统为：

同理：β＝－1时，响应系统为：

3 基于Matlab的数学模型仿真

运用Matlab进行仿真，取阶数q＝0.9。当β＝2时，设驱动系统和响应系统的初值分别为下图给出误差随时间的波形图。其中。由图1可以看出，误差在经过不到1s的时间后，趋近于0，两个系统达到同步。图2是β＝2时，系统（12）和（13）同步的吸引子。可见，系统（13）状态矢量的幅值是系统（12）的2倍，两系统的相位为同相，即系统（13）和系统（12）的吸引子按指定的比例因子达到广义投影同步。

图1 β＝2时，系统（12）和（13）的同步误差曲线

当 β＝－1时，设驱动系统和响应系统的初值分别为下图给出误差e1，e2，e3随时间的波形图。其中由图3可以看出，误差在经过不到1s的时间后，趋近于0，两个系统达到同步。图4是β＝－1时，系统（12）和（13）同步的吸引子。可见，系统（13）状态矢量的幅值和系统（12）的相同，两系统的相位为反相，即系统（13）和系统（12）的吸引子按指定的比例因子达到广义投影同步。

图2 β＝2时，系统（12）和（13）的混沌吸引子:虚线为（13）的吸引子，实线为（12）的吸引子

图3 β＝-1时，系统（12）和（13）的同步误差曲线

图4 β＝-1时，系统（12）和（13）的混沌吸引子:虚线为（13）的吸引子，实线为（12）的吸引子

4 基于Multisim的电路仿真

用Multisim软件进行电路设计，并进行仿真。限于篇幅原因，仿真时只选用了比例因子β＝2的情形。

驱动系统为：

响应系统为：

在这里，同样选取阶数q=0.9。

实现两个系统的同步时，由混沌状态图可以看出在混沌状态下信号的一般输出电平达到近±60V。但是乘法器（如AD633）的最大工作电压为10V，运算放大器（如LM741）的最大工作电压为±15V。考虑到电路实现时的上述电压限制，则进行坐标变换，将电路信号缩小到1/10。即做如下变换：

驱动系统方程转变为：

响应系统方程转变为：

图5 β＝2时的模拟电路图

运用基尔霍夫定理和模拟电路知识，则如图5，得到驱动系统方程为：

响应系统为：

设计参数如下表：

取R0=1KΩ，经Multisim仿真后得到较好效果，仿真，响应输出u，v，w分别与驱动输出x，y，z的幅值比为2:1，即β＝2。实现了比例因子等于2的广义投影同步。

5 结论

本文研究了分数阶混沌系统的广义投影同步及其电路实现。首先，通过非线性观测器，建立了相关的数学模型，证明了其有效性。其次，选择合适的参数和初值，采用Matlab进行同步仿真，使得两个分数阶混沌系统同步。最后，通过选择适当的器件参数，设计模拟电路，用Multisim进行仿真实现，进一步验证了所提出的方法，不仅是可行的而且是有效的，从而为今后两个达到同步的分数阶混沌系统在保密通信等领域的应用打下了基础。

表1 元件参数表

[1]Bagley R L，Calico RA.Fractional order state equations for the control of viscoelastically damped structures[J].J Guid Control Dyn，1991，（14）:304-311.

[2]Koeller RC.Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity[J].J.ApplMech，1984，（51）:199.

[3]Sun H H，Abdelwahed AA，Onaral B.Linear approximation for transfer function with a pole of fractional order[J].IEEE Trans Autom Control，1984，（29）:441-444.

[4]Ichise M，Nagayanagi Y，Kojima T.An analog simulation of noninteger order transfer functions for analysis of electrode process[J].J Electroanal Chem，1971，（33）:253-265.

[5]Li C G，Liao X F，Yu J，Synchronization of fractional order chaotic systems[J]，Phys.Rev.E，2003，（68）.

[6]Lu J G，Chaotic dynamics of the fractional-order Lü system and its synchronization[J].Phys.Lett.A，2006，354:305-311.

[7]Tang Y，Qiu R H，Fang J A et.al，Adaptive lag synchronization in unknown stochastic chaotic neural networks with discrete and distributed time-varying delays[J].Phys.Lett A，2008，372:4425-4433.

[8]Tang Y，Fang J A，General methods for modified projective synchronization of hyperchaotic systems with known or unknown parameters[J].Phys.Lett A，2008，372:1816-1826.

[9]Ahmad W M，Sprott J C，Chaos in fractional-order autonomous nonlinear systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2003，（16）:339-351.

[10]王发强，刘崇新，分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].2006;55（8）:3922-06.

[11]汪学兵，张林华，李传东，混沌同步及其在保密通信中的应用[J].计算机应用研究，2007，（5）.