具有时滞的两种群Lotka-Volterra 合作系统的稳定性

陈晓英， 韩荣玉

(1. 福州大学至诚学院 计算机工程系，福建 福州350002;2. 福州大学 数学与计算机科学学院，福建福州350108)

1 引 言

经典的两种群Lotka-Volterra 合作系统可以表示为

由文献［1－2］，对该系统而言，条件

足以保证系统(1)存在唯一的全局吸引的正平衡点。

近来，许多学者对合作系统的持久性及稳定性问题进行了研究，读者可参考文献［3－6］及其引文文献。考虑到现实的生物数学模型不可避免地都要受到历史状态的影响，LIN Suqing，LU Zhengyi［3］考虑了具有时滞的合作系统，研究了如下模型:

其中ri，ai，aij，τij(i，j = 1，2)均为常数，且ai＞0，τij≥0(i，j = 1，2)，考虑条件:

文中旨在发展文献［8－9］的研究技巧，通过构造适当的Lyapunov 泛函，得到保证系统正平衡点全局吸引的充分性条件，所得结果补充和完善了前人的结果。

2 主要结果

基于系统的生态学意义，文中恒设系统(2)满足如下初始条件:

式中，φi(s)(i = 1，2)是［－ τ，0］上的连续函数，τ =max{τij:i，j = 1，2}。

引理1 系统(2)满足初始条件(3)的解x1(t)＞0，x2(t)＞0(t ≥0)。

证

作为LIN Suqing，LU Zhengyi［3］定理2.2 的直接推论，关于系统(2)的持久性，有

引理2 若条件(C2)成立，系统(2)，(3)是持久的，即存在与系统的解无关的正常数m 和M 使得系统(2)的任一正解均满足:

下面，考虑条件

证 构造Lyapunov 函数:

沿着系统(2)～(3)的解计算V1(t)的导数，有

令

计算V2(t)的导数，有

令

计算V3(t)的导数，有

定义

由式(5)，(6)，(7)可知，有

取

由条件H 则有

其中

由式(9)可知，有

令t →+ ∞，有

也就是有

注 定理表明，条件(H)足以保证系统的正平衡点的全局吸引的，注意到，条件(H)蕴含了条件(C1)和(C2)，文中结果是对已有结果LIN Suqing，LU Zhengyi［3］的补充和完善。

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