对称紧小波框架滤波器的构造

常苗

(榆林学院能源工程学院,陕西榆林719000)

对称紧小波框架滤波器的构造

常苗

(榆林学院能源工程学院,陕西榆林719000)

针对在伸缩因子为5时对称紧小波框架的构造,在伸缩因子为5时得到了9个框架生成元,对于生成元的构造,需引入过样条多项式滤波器和中间变量,尺度因子为5时,低通滤波器长度的选取为5L和5L+2。利用完全重构条件,构造低通滤波器,借助于低通滤波器构造的形式,在不同的低通滤波器长度下,分别构造高通滤波器。

紧小波框架;低通滤波器;高通滤波器

紧框架滤波器是正交滤波器的一个普遍化,当伸缩因子是2时可以通过构造得到光滑和对称的小波框架,但是正交对称性却不能得到。近年来,尺度因子为4的6-边紧框架滤波器和对称的低通滤波器应用文献[1-2]中的Grobner基方法构造,而文献[3]讨论的情况更为复杂,它讨论了具有任意整数尺度因子的紧框架和正交小波的构造方法。对于任意的双正交框架的构造在文献[4-5]中给出。但是该文讨论的矩阵构造法并不能由已得到的滤波器构造低通滤波器。为此,文中研究了伸缩因子为5时的对称紧小波框架的构造。

1 概念与条件

文中介绍关于伸缩因子M=5的紧框架滤波器的定义和性质,N-1个实值小波{ψi(5m·-n)i= 1,2,…,N-1}和任意的函数f(t)∈L2(R)有关系式[6]

时构成了框架,称A和B为该框架的框架界。内积定义如下:

当A=B时称之为紧框架,一般地,一个小波系统构成了一个加细函数φ(t)和N-1个伸缩因子为M= 5的小波,一个小波系统是由伴随加细函数φ(t)的N-1个伸缩因子为M=5的小波,一个小波系统是

由伴随加细函数φ(t)的N-1个伸缩因子为M=5的小波定义下列函数空间[7-8]:

和

这里t∈R,同时加细函数和小波函数满足如下的多分辨等式:

一个函数f∈L2(R)可以被展开成如下的小波和加细函数的组合[9]:

这里φ0,k(t)=φ(t-k),ψi,j,k(t)=ψi(5j-k)。文中所讨论的滤波器都是有限长度的,(FIR)加细函数φ(·)和小波函数都是有限支撑的。

2 对h0长度的限制

文献[10]证明了伸缩因子为2的3波段紧框架,满足PR条件后,低通滤波器h0的长度应具备条件[11]:

这里K0为滤波器H0(z)中z=-1时的值,而Ki为滤波器Hi(z),i=1,2中z=1的值,在文献[12]中,对称情况下的最小长度为

在条件(10)中就可以直接得到M=5时h0的最小长度:

紧框架滤波器的一个优点是可以得到更高阶的v2的光滑性,在正交情况下,对于给定的K0有比较低阶的光滑性,在文献[13]中已经证明正交小波和紧框架具有移位稳定性。定义v2为

文献[14]中的计算已给出,当∑nh0(n)=2时,得到

这里λmax是由(c2i-j)-N≤i,j≤N所构成的矩阵的最大特征值,其中c(z)=Q0(z)Q0(z-1),而H0(z)=(1+ z-1)k(1+z-1+z-2+z-3+z-4)K0Q0(z),k∈{0,1}低通滤波器的构造和性质在下面的内容中给出。

3 滤波器的构造

文中讨论10个对称(或反对称)的滤波器的构造,首先介绍偶数长度的低通滤波器h0的构造。

3.1 低通滤波器的构造

伸缩因子M=5的紧框架滤波器中低通滤波器必须满足如下条件[15-16]:

这里Kmin=min(K1,K2,,KN-1),第1个条件保证了高阶多项式的重构成立并且包含K0-1,第2个和第3个条件保证了每一个高通滤波器在z=1时都有最小的Kmin值,它是小波函数具有消失矩的一个充分条件,滤波器具有偶数长度,并且有如下一般形式:

这里的Q0(z)是长度为2Kmin-1的对称多项式,且因子(1+z-1)k保证了滤波器是偶数长度的,在文献[17]中,Herrmann给出了一种构造方法,在此基础上,文献[18]中Han给出了复的正交对称的小波框架的构造方法。文中首先考虑k=1的情况,其中与之相对应的K0∈2N,构造变量x使得滤波器是对称的:

这里的多项式A(x)与多项式Q0(z)相对应,长度为Kmin,在等式(9)中由z=1,可得到P(x)必须满足条件[19]:

结合等式(10)和等式(11)得到

那么多项式A(x)就为

因此A(x)的阶数为Kmin-1,上面的表达式可以简写为

因此,由截断的泰勒级数,又可以得到A(x)为

换句话说,在只取第一个Kmin项,A(x)为泰勒多项式,从x映射到z,得到相应的多项式Q0(z),注意到,在A(x)的表达式中,引用到的B(x)不需要很清楚地找到,当k=0(K0∈2N+1)时,由A(x)可以得到级数为Kmin-1的泰勒多项式:

这里K0=2K+1,多项式A(x)和Q0(z)的关系为

在知道h0的基础上,与文献[20-21]中的方法类似,通过h0计算{h4,h5,h9},在等式(2)中,利用H0(z)的多项式展开式,在h0=5L时,计算对称的滤波器[22],有

注意到式(15)得到的H0(z)是对称的滤波器,那么滤波器(h4,h5,h9)如下:

类似地,当h0的长度为5L+2时,H0(z)可以被写作:

那么剩余的滤波器{h4,h5,h9}与等式(16)～(18)类似,可以通过计算得出,滤波器{h1,h2,h3,h6,h7, h8}利用如上解法得出,将h0=5L及h0=5L+2分别讨论。

3.2 h0的长度为5L时高通滤波器(h1,h2,h3,h6, h7,h8)的求解

假定低通滤波器h0的长度为h0=5L,L∈Z,令滤波器h2为

这里的a,b,c是整数多项式,这就决定了h2是对称的滤波器,进一步假定剩余的滤波器为

接下来需要计算多项式a,b和c,假定式(3)～式(6)的PR条件成立,有

注意到等式(4)中对于∀z,等式左边恒等于0,结合等式(25),(26),(27)得到

用另外的形式写为

上面式(26)～(28)与式(22)～(25)相结合,得到

由上面的计算可得a,b,c的值,那么相应地得到了高通滤波器,同时保证了它们是对称(或反对称)的。

3.3 h0的长度为5L+2时高通滤波器{h1,h2,h3, h6,h7,h8}的求解

在h0=5L+2时,对称滤波器也可写作a(z), b(z),c(z)的组合,但是与式(19)的书写形式有所不同,H2(z)可写作:

与3.2的计算过程类似,现计算出a(z),b(z), c(z)为

高通滤波器H2(z)由式(34)得出,那么其余滤波器按照3.3部分的计算,相应为

通过具体构造紧小波框架的生成元来构造对称紧小波框架。

4 结 语

研究了伸缩因子为5时构造对称紧小波框架。它是将伸缩因子具体化,这样构造出来的小波框架也就具体化了。在伸缩因子为4时得到对称的小波生成元的个数为7个,在伸缩因子为5时得到了9个生成元。文中对于生成元的构造、低通滤波器的构造方法需引入过样条多项式滤波器,利用完全重构条件进行构造,这个构造方法简单易行,同时也可以得到光滑的小波函数,但是高通滤波器却不能通过类似的方法构造,引入中间变量,使得对称性得以满足,在不同的低通滤波器长度下分别构造高通滤波器。

[1]曲长文,何友,刘卫华,等.框架理论及应用[M].北京:国防工业出版社,2009.

[2]Meyer Y.小波与算子[M].尤众,译.北京:世界图书出版社,1992.

[3]Vetterli M,Kovacevi′c J.Wavelets and Subband Coding[M].Englewood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1995.

[4]周相泉.伸缩因子为3的尺度函数双正交的一个充要条件[J].山东师范大学学报:自然科学版,2005,20(3):22-24.

ZHOU Xiangquan.A necessary and sufficient condition for biorthogonality of scaling functionswith dilation factor3[J].Journal of Shandong Normal University:Natural Science,2005,20(3):22-24.(in Chinese)

[5]杨蓓.伸缩因子为a的尺度函数双正交的一个充要条件[J].科技通报,2012,28(2):52-54.

YANG Bei.A necessary and sufficient condition for biorthogonality of scaling functions with dilation factor a[J].Bulletin of Scienceand Technology,2012,28(2):52-54.(in Chinese)

[6]Young R.An introduction to Nonharmonic Fourier Series[M].New York:[s.n.],1980.

[7]Kim H O,Kin R Y,Lim JK.Internal structure of thd multiresolution analysis defined by the unitrary extension principle[J]. Approx Theory,2008,154(2):140-160.

[8]Bolcskei H,Hlawatsch F,Feichinger H G.Frame-theoretical analysis of oversampled filter banks[J].IEEE Trans Signal Process, 1998,46(12):3256-3268.

[9]Christensen O.An Introduction to Frames and Riesz Bases[M].Boston:Birkhuser,2003.

[10]Selesnick IW.Balanced multiwavelet bases based on symmetric FIR filters[J].IEEE Trans Signal Process,2000,48(1): 163-181.

[11]李杰,高新慧.一类四带小波紧框架存在的数据[J].河南科学,2009,27(4):35-39.

LI Jie,GAO Xinhui.A sufficient conditon for the existence of tight wavelet frames with four-scale[J].Henan Science,2011,37 (4):1-8.(in Chinese)

[12]Abdelnour F,Selesnick IW.Symmetric nesrly shift invariant tight frame wavelets[J].IEEE Trans Signal Process,2005,53(1): 231-239.

[13]CHUIC,SUN Q.Affine frame decompositions and shift-invariant spaces[J].Appl Comput Harmon Anal,2006,20(1):74-107.

[14]Ehler M.Themultiresolution structure of pairs of dual wavelet frames for a pair of Sobolev spaces[J].Jaen J Approx,2010,2 (2):1889-3066.

[15]于育民,连冬艳,程正交.具有整数的伸缩因子的向量值正交小波的构建算法与性质[J].兰州理工大学学报,2011,37 (4):1-8.

YU Yumin,LIAN Dongyan,CHENG Zhengxi.Constructive algorithm and properties of orthogonal vector-valued wavelets with integer expansion factor,2011,37(4):1-8.(in Chinese)

[16]HAN B.Symmetric orthonormal scaling functions and wavelets with dilation factor 4[J].Adv Comput Math,1998,8(3): 221-247.

[17]Herrmann O.On the approximation problex in nonrecursive digital filter design[J].IEEE Trans Circuits Syst,1971,18(3):411-413.

[18]HAN B.Symmetric orthonormal com llex wavelets with masks of arbitrarily high linear-phase moments and sun rules[J].Adv ComputMath,2010,32(2):209-237.

[19]Lebrun J,Selesnick I.Grobuer bases and wavelet design[J].Symb Comput,2004,37(2):209-226.

[20]Strang G,Nguyen T.Wavelets and Filter Banks[M].Wellesley:Cambridge Press,1996.

[21]Selesnick IW,Abdelnour A F.Symmetric wavelet tight frameswith two generators[J].Appl ComputHarmon Anal,2004,17(2): 211-225.

[22]HAN B.On dual wavelet tight fames[J].Appl Comput Harmon Anal,1997,4(4):380-413.

(责任编辑:杨 勇)

Construction of the Filte of Symm etry Tight W avelet Fram e

CHANG Miao
(College of Energy Engineering,Yulin University,Yulin 719000,China)

In this paper,we study the construction of the symmetry tight wavelet frame when the scaling factor is 5. When the scaling factor is5,nine framework generators are obtained.For the construction of the generator,we introduce a spline polynomial filter and intermediate variables.When the scale factor is5,the length of low-pass filtermay be 5L and 5L+2.Using the perfect reconstruction condition,a low pass filter is constructed under the low-pass filter structure form.Under the different lengths of the low-pass filter,high-pass filters are constructed,respectively.

tightwavelet frame,low-pass filter,high-pass filter

O 174.2

A

1671-7147(2015)03-0374-05

2014-11-05;

2015-01-06。

常 苗(1985—),女,陕西榆林人,讲师,理学硕士。主要从事小波分析及其应用研究。

Email:changmiao00@126.com