缝内暂堵转向压裂数值模拟方法

王博，刘雄飞，胡佳，刘进军，周福建，周航

1 中国石油大学(北京)克拉玛依校区石油学院，克拉玛依 834000

2 中国石油大学(北京)非常规油气科学技术研究院，北京 102249

3 中石化长输油气管道检测有限公司，徐州 221008

4 中国石油新疆油田分公司开发公司，克拉玛依 834000

0 引言

水力压裂形成复杂缝网可以显著提高储层改造效果[1]，天然裂缝发育是形成复杂缝网的前提条件[2]。裂缝性储层中，当天然裂缝胶结强度高、水平应力差大或水力裂缝与天然裂缝夹角(逼近角)高时，水力裂缝倾向于直接穿过天然裂缝，无法将其有效激活。缝内暂堵技术利用暂堵剂在缝内形成架桥封堵，提升缝内净压力，转向激活更多天然裂缝，增大储层改造体积[3-4]。研究缝内暂堵转向过程，有助于厘清缝内暂堵转向机理与规律，指导缝内暂堵转向压裂设计。

Wang等[5]暂堵物模实验结果表明，当水平应力差为2.5 MPa时，在近井筒垂直于先压裂缝方位上产生了转向裂缝；而当水平应力差为7.5 MPa 时，不能产生明显的转向裂缝。Xiong等[6]使用尺寸为762 mm×762 mm×914 mm的超大岩样，通过纵向分层射孔与分层加压的方式，验证了人工暂堵纵向不同层位产生新裂缝的可行性。Mou等[7]采用碳酸盐岩天然露头，系统研究了水平井暂堵分段压裂中裂缝扩展规律。实验结果表明，暂堵剂的加入能够有效提升泵注压力，沿水平段不同位置产生了新裂缝。真三轴水力压裂物模实验是研究相交裂缝扩展的直观手段，但受尺度限制，无法模拟缝内暂堵转向过程[8]。数值模拟方面，Zou等[9]基于离散元方法，建立了3D复杂裂缝模型，研究了天然裂缝性质对缝网形态的影响。Wu和Olson[10]采用简化的三维位移不连续法，研究了水平应力差和天然裂缝分布对整体裂缝形态的影响。Xie等[11]基于Wu和Olson建立的模型进一步开展研究，模拟结果表明，当水力裂缝转向开启天然裂缝时，净压力得到抬升，引起天然裂缝前的水力裂缝段开度增大和整条水力裂缝长度的减小。Wang等[12]基于扩展有限元方法，研究了天然裂缝摩擦特性和胶结强度对相交裂缝扩展形态的影响。Guo等[13]基于有限元和内聚区方法，研究了应力差和逼近角对相交裂缝竞争扩展的影响。Chen等[14]同样采用有限元和内聚区方法，研究了应力场、天然裂缝界面属性、逼近角和泵注参数对相交裂缝形态的影响。内聚区有限元模型可以实现流固全耦合，考虑滤失及孔弹性效应，精确控制裂缝扩展和准确计算岩石变形和应力，是定量研究相交裂缝竞争扩展过程的有效手段。由于缺乏表征暂堵体封堵效果的数学模型，目前相交裂缝扩展数模研究中，尚未考虑人工暂堵的影响，无法研究缝内暂堵转向过程。

本文基于有限元和内聚区方法，建立了流固全耦合相交裂缝竞争扩展模型，引入暂堵体封堵模型，研究暂堵后相交裂缝竞争扩展行为，为系统研究缝内暂堵转向规律提供了方法与模型基础。

1 缝内暂堵转向压裂技术原理

裂缝性储层中，当水平应力差较大、天然裂缝胶结强度较高、水力裂缝与天然裂缝之间的夹角较大时，水力裂缝在流体驱动下向前扩展，遇到天然裂缝后，倾向于直接穿过天然裂缝，无法有效激活天然裂缝(图1a)。当水力裂缝扩展充分后，泵入小粒径暂堵剂，暂堵剂在缝内或缝端架桥封堵，形成致密暂堵体，阻止水力裂缝内流体压力传递至缝尖区域。缝内净压力升高，迫使流体流向天然裂缝，使天然裂缝面受到的有效压应力减小，天然裂缝发生张性(图1b)或剪切(图1c)激活。随着流体持续流入天然裂缝并到达端部，天然裂缝完全激活，后续注入流体逐步提高缝内净压力，在天然裂缝端部起裂延伸(图1d)或沿天然裂缝面薄弱点起裂延伸(图1e)，产生二次分支缝，获得缝网改造。改造结束后，在储层流体和温度影响下，暂堵体在一定时间后降解解封[15]，溶解到压裂液中并返排至地面，裂缝恢复导流能力并进行投产。暂堵压裂中，封堵炮眼一般用直径大于10 mm的暂堵球；封堵缝口一般用粒径为3～4 mm的颗粒作为架桥颗粒，纤维和更小颗粒作为孔隙填充材料；缝内封堵一般用1 mm颗粒和纤维混合封堵。

图1 缝内暂堵转向过程分解(HF表示水力裂缝，NF 表示天然裂缝)Fig. 1 Process decomposition of the temporary plugging and diverting fracturing within fracture (HF the hydraulic fracture,NF the natural fracture)

2 数学模型

缝内暂堵的相交裂缝竞争扩展模拟，需要考虑多个物理过程，包括裂缝内流体流动、多孔介质渗流、岩石变形、裂缝表面流体滤失以及裂缝扩展，且这些过程相互影响，需要耦合求解[16]。此外，暂堵剂形成的暂堵体压实程度高，渗透性低，能够有效阻断缝内流体及压力传递至缝尖[17]，显著影响相交裂缝竞争扩展状态，因此需要建立有效的数学模型来表征暂堵体的封堵作用。

2.1 流体流动和岩石变形控制方程

假设流体不可压缩且为牛顿型流体，则裂缝内流体切向动方程可表示为：

式中：qf为裂缝内流体切向流速，m2/s；w为裂缝宽度，m；μ为流体黏度，mPa·s；pf为裂缝内流体压力，Pa。

考虑流体经裂缝面流入储层，流体体积守恒方程可表示为：

式中：qb，qt分别为裂缝上、下表面流体法向滤失速度，m/s。

裂缝面流体法向滤失速度可由下式计算得到：

式中：cb，ct分别为裂缝上、下表面滤失系数，m/(s·Pa)；pw为裂缝周围孔隙流体压力，Pa。

多孔介质内流体流动方程可用下式表示[18]：

式中：J为多孔介质体积变化率；ρw为流体密度，kg/m3；nw为孔隙比(孔隙体积与岩石骨架体积之比)；vw为流体渗流速度，m/s；x为空间向量，m。

基于达西定律，多孔介质内流体渗流速度的表达式为[18]：

式中：k为渗透率矩阵，m/s。

基于虚功原理(平衡方程与边界条件的等效积分弱形式)，岩石变形平衡方程为[18]：

式中：t为单位面积上面力向量，N/m2；f为单位体积体力向量，N/m3；I为单位矩阵；δε为虚应变速度矩阵，s-1；δv为虚速度矩阵，m/s；为有效应力矩阵，Pa。

2.2 内聚区模型

内聚区模型(cohesive zone model)可将流体流动与岩石变形损伤进行耦合表征。相比于传统断裂力学方法，内聚区模型可以消除裂缝尖端应力奇异性，同时模拟裂缝扩展时不需要重新划分网格[19]。通过黏结单元指定裂缝扩展路径，因此无需网格重构即可捕捉裂缝扩展路径。本文采用双线性牵引力—距离(T-S)定律控制裂缝的起裂与扩展，该定律具有应用广泛、表达式简单且能够较好拟合实验数据的优点[20]。如图2所示，达到损伤起始点前，界面引力与界面距离满足线弹性规律；达到损伤起始点后，界面刚度逐步退化。

采用最大应力准则控制裂缝的起裂，表达式为：

式中，、分别为岩石的抗拉强度和抗剪强度。符号〈〉表示压应力不会引起损伤。σn、τs分别为单元实际法向应力和实际切向应力，可由下式计算得到：

式中，、分别为依据弹性段T-S准则，当前界面距离对应的正应力和剪应力。D为损伤系数，初始损伤点前对应的D为0，完全损伤点对应的D为1。线性软化过程中，D的表达式为：

式中，为当前界面距离。、分别为初始损伤和完全损伤时对应的界面距离。

在图2中，Gc表示断裂能，大小等于三角形围成的面积。采用Benzeggagh-Kenane(B-K)模型模拟裂缝扩展过程中的损伤演化过程，该模型假设第一剪切方向的岩石断裂能等于第二剪切方向的断裂能。B-K模型的表达式为[21]：

图2 双线性内聚牵引—分离法则Fig. 2 A bilinear cohesive traction-separation law

式中，、分别为I型和II型临界断裂能。GS=Gs+Gt，GT=Gn+GS。Gn、Gs分别为张模式和剪模式的断裂能分量。η为材料参数，此处取2.28。

2.3 封堵模型

缝内暂堵转向压裂过程中，暂堵剂通过架桥封堵并逐步压实形成致密暂堵体。流体流经暂堵体的压力损失较大，在暂堵体内的流动近似符合达西渗流规律[22]。当不存在暂堵体时，流体在缝内的切向流动可采用润滑方程进行计算。基于达西方程和润滑方程建立暂堵体模拟方法：流体在暂堵体内流动的压降，与流体在无暂堵体缝内流动的压降相等[22]。

式中：w为暂堵体厚度，即裂缝初始缝宽，m；A为暂堵体横截面积，m2；μm为流体实际黏度，Pa·s；μ*为流体在缝内切向流动的等效黏度，Pa·s；km为暂堵体渗透率，mD。可通过高承压裂缝封堵实验，预置不同长度的暂堵段，测其渗透性[23]。

公式(10)进一步变形可得到：

由公式(10)和(11)可知：在给定裂缝宽度w和暂堵段横截面积A情况下，不同的等效黏度μ*对应着不同的暂堵体渗透率。因此，通过改变等效黏度μ*值，可以在不改变缝内流体流动控制方程的前提下，实现对暂堵体的模拟。具体是通过提取指定水力裂缝单元，改变该部分单元内的流体黏度来模拟暂堵体，黏度不作改变时模拟无暂堵体。该方法忽略了暂堵剂的运移规律和架桥封堵机理，也忽略了缝宽和缝长的变化对暂堵体稳定性的影响。

3 模型建立及输入参数

缝内暂堵转向物理模型如图3a所示，依据公式(11)，通过调整裂缝单元内流体的等效黏度，实现指定长度暂堵体的预置。为缩短计算时间，将流体注入点设置在相交点左侧3 m处。为阻止水力裂缝持续向左扩展，在注入点左侧1 m处设置一段足够致密的暂堵体。指定水力裂缝沿着水平最大主应力方向扩展。基于有限元方法和内聚区模型，建立流固全耦合二维模型，研究水力裂缝内暂堵转向过程。如图3a所示，水平红线表示水力裂缝扩展路径，与其有一定夹角(逼近角)的红线表示天然裂缝扩展路径。模型尺寸为25 m×25 m，天然裂缝长度为8 m。对裂缝周围区域进行局部网格加密，以提高计算精度。相交裂缝处4个相交单元设置为初始张开，且4个相交单元采用共孔压结点处理，保证流体在各分支缝间自由流动。模型根据各分支缝内流动压降，自动算出剖分到各分支缝的液量。模型实体单元类型定义为CPE4P单元(4结点双线性位移和孔压单元)；裂缝单元类型定义为COH2D4P单元(6结点位移和孔压黏结单元)。固定数值模型边界的位移自由度以消除刚体位移，且将边界设定为恒定孔压边界。基于塔里木库车山前克深区块储层特征，给定模型基本输入参数如表1所示。

表1 缝内暂堵转向模型输入参数Table 1 Input parameters of in-fracture temporary plugging and diverting fracturing model

图3 模型建立Fig. 3 Model establishment

4 模型验证

设定水力裂缝与天然裂缝夹角为75°，水平应力差分别取0 MPa、5 MPa、10 MPa，模型其他参数选取与Guo等[10]一致。模拟结果如图4所示，本文模型模拟结果与Guo等[10]模拟结果一致，即当水平应力差为0 MPa时，水力裂缝相交天然裂缝后能够将其钝角、锐角分支激活；当水平应力差为5 MPa时，水力裂缝相交天然裂缝后只能将其钝角分支激活；当水平应力差为10 MPa时，水力裂缝直接穿过天然裂缝，不能将其激活。

图4 模拟结果对比：左，本文模型模拟结果；右，Guo等模拟结果[10]Fig. 4 Comparation of simulation results: left, the simulation results from our model; right, the simulation results from Guo’s model[10]

5 缝内暂堵转向过程动态模拟结果分析

基于表1中参数值，针对水力裂缝与天然裂缝夹角(逼近角)为75°的情况，分别考虑缝内有、无暂堵体的情况，开展裂缝扩展对比模拟，模拟时间为70 s。缝内有、无暂堵体对比模拟结果如图5所示。当缝内有暂堵体时，水力裂缝缝宽在暂堵体位置出现陡降(图5a)，原因在于暂堵体渗透性低，相应位置缝内流体压力急剧降低(图5b)。暂堵体能够有效阻断水力裂缝内流体向前流动，后续注入流体使注入压力明显上升(图5c)，促使水力裂缝转向激活天然裂缝(图5d)。

图5 有无缝内暂堵体模拟结果对比Fig. 5 Comparison of the simulation results with and without tight plug

为整体动态分析缝内暂堵转向过程，针对逼近角为75°的情况，模拟时间增大至150 s。图6a表示注入点和相交点(水力裂缝与天然裂缝相交点)处流体压力曲线，包含缝内暂堵转向过程中的5个阶段：(1)水力裂缝起裂并扩展至相交点(OA段)；(2)水力裂缝由相交点扩展至暂堵体(AB段)；(3)水力裂缝停止扩展及天然裂缝上分支扩展结束(BC段)；(4)天然裂缝上分支扩展结束至下分支扩展结束(CD段)；(5)裂缝体积持续膨胀(DE段)。图6b给出了部分时间点水力裂缝缝宽与缝长的关系曲线(横坐标为0处对应相交点)；图6c给出了部分时间点天然裂缝缝宽与缝长的关系曲线(横坐标为0处对应相交点，y轴左侧对应天然裂缝的下分支，y轴右侧对应天然裂缝的上分支)。各阶段具体特征如下。

OA段(0～10.5 s)，水力裂缝由注入点起裂并扩展至相交点。如图6a所示，注入压力达到破裂压力后，水力裂缝起裂并向前扩展，注入点压力先陡降后小幅上升再小幅下降，相交点流体压力由于缝尖挤压流体扩散而小幅下降。当水力裂缝尖端到达相交点后，注入点与相交点的流体沟通，压力曲线发生重合。

AB段(10.5～20.95 s)，水力裂缝由相交点扩展至暂堵体。如图6b和6c所示，时间点10.71 s、11.04 s、13.87 s和20.95 s 对应的水力裂缝形态表明水力裂缝持续向前扩展；天然裂缝长度先增大后维持不变，主要以剪切方式开启(缝宽2 mm表示剪切开启)。原因在于水力裂缝缝尖逐步向前扩展，缝尖在天然裂缝缝面诱导产生的剪应力逐步减弱。图6a表明该阶段注入压力持续上升。

图6 缝内暂堵转向动态变化过程Fig. 6 Dynamic change course during in-fracture TPDF

BC段(20.95～61.88 s)，水力裂缝停止扩展至天然裂缝上分支扩展结束。如图6b和6c所示，在时间点57.82 s、61.88 s处，暂堵体有效阻断水力裂缝内流体向前流动，水力裂缝长度不再变化，缝内流体压力升高，天然裂缝上分支逐步被激活。如图6a所示，注入压力持续升高，直至上分支被完全打开，出现小幅波动。

CD段(61.88～141.1 s)，天然裂缝上分支扩展结束至下分支扩展结束。如图6a所示，后续流体使注入压力持续升高。如图6b和图6c所示，水力裂缝和天然裂缝上分支宽度逐步增大，天然裂缝下分支逐步被激活。当下分支被完全激活时，注入压力小幅下降，水力裂缝宽度降低。

DE段(141.1～150 s)，裂缝体积持续膨胀。如图6a所示，该阶段注入压力逐步上升，水力裂缝与天然裂缝停止扩展，裂缝开度持续增大。

6 结论

1) 给出了相交裂缝竞争扩展所涉及物理过程的控制方程，包括裂缝及基质内流体流动方程、岩石变形平衡方程、裂缝起裂与扩展的内聚区模型。基于达西方程和润滑方程建立暂堵体模拟方法：流体在暂堵体内流动的压降，与流体在无暂堵体缝内流动的压降相等。

2) 建立了二维流固全耦合相交裂缝竞争扩展有限元模型，模型模拟结果与前人模拟结果一致。引入封堵模型后，流体流动表现出明显的节流效应，水力裂缝缝宽在暂堵体位置出现陡降，缝内流体压力明显上升，水力裂缝内转向激活天然裂缝。

3) 基于本文模型，模拟了缝内暂堵转向动态过程，该过程分为5个阶段：(1)水力裂缝起裂并扩展至相交点；(2)水力裂缝由相交点扩展至暂堵体；(3)水力裂缝停止扩展及天然裂缝上分支扩展结束；(4)天然裂缝上分支扩展结束至下分支扩展结束；(5)裂缝体积持续膨胀。本文研究为后续系统研究缝内暂堵转向规律奠定了方法与模型基础。