直管科氏质量流量传感器灵敏度分析软件设计

时间：2024-07-28

胡纯，韩明哲，郑德智,3，彭鹏

(1.北京航空航天大学电子信息工程学院，北京 100191；2.北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院，北京 100191；3.北京航空航天大学前沿科学技术创新研究院，北京 100191；4.重庆德新机器人检测中心有限公司，重庆 400700)

流量测量、压力测量与温度测量被称为工业测量领域的三大参数测量，其中以流量测量最为复杂、精度要求最高，其测量的经济性、安全性、可靠性对生产过程有着重要影响，在工业中具有重要地位[1]。流量传感器分为体积流量传感器与质量流量传感器。体积流量会受到压力、温度、黏度与密度等因素的影响，并且标定过程烦琐；质量流量则不受上述因素的影响，并且适用于气液两相流，因此日益得到人们的青睐[2]。

目前针对灵敏度的理论较为成熟，对测量管振动模型、集中质量的影响、最佳检测位置等的研究较为充分，针对U型管和直管都进行了较多研究。文军浩等[3]关注了科氏质量流量传感器中的非线性因素，并研究了其对U型管质量流量传感器的影响。樊刚等[4]就温度对科氏质量流量传感器进行了分析，并建立了流量传感器温度补偿模型，对温度补偿进行了仿真。曹胜强等[5]将污垢按集中质量处理，通过微分方程和ANSYS仿真的方法分析了污垢对单直管科氏质量流量传感器灵敏度的影响。部分科氏质量传感器采用了在测量管两端安装波纹管的结构，波纹管刚度远小于钢管，因此此类测量管状态与一般测量管不同，徐伟国等[6]和纪彩虹等[7]分别就两段波纹管和三段波纹管的直管科氏质量流量传感器进行了灵敏度计算，但尚没有用于科氏质量流量传感器灵敏度分析的软件。为弥补此空缺，本文设计了一款具有灵敏度分析、频率计算、最佳检测位置分析等功能的软件，为科氏质量流量传感器的设计与开发提供便利。

首先从科氏质量流量传感器的数学模型入手，对科氏质量流量传感器进行了分析，建立了测量管的欧拉梁静力模型，并分别计算了测量管在激振力与科氏力作用下的挠度曲线；建立了测量管的微分方程模型，并通过求解其振动微分方程，计算出了测量管在激振力下的谐振频率和科氏质量流量传感器的灵敏度；接下来分析了测量管的压力损失，给出了在层流和湍流下的压损计算公式；研究了温度对科氏质量流量传感器的影响，对当前测量管的常用材料进行了调研，采用线性模型估计了温度对弹性模量的影响，并用以对分析结果进行补偿。

在理论分析的基础上，通过Matlab软件的APP Designer模块制作了直管科氏质量流量传感器的分析软件，实现了计算灵敏度、频率、压损等数据的功能；并使用ANSYS Workbench进行有限元分析；对其进行了静态结构分析，分别得到其在激振力和科氏力作用下的静挠度曲线，由此计算出传感器的最佳安装位置；进行了瞬态动力学分析，计算测量管在激振力作用下的振动；进行了模态分析得到其各阶模态及谐振频率，并分析了温度对谐振频率的影响；最后通过谐响应分析得到测量管位移振幅曲线。有限元仿真的结果被用于验证模型与所设计软件的计算结果，以确保所设计软件的正确。

1 直管型科氏质量流量传感器的数学模型

为设计灵敏度分析软件，首先要建立科氏质量流量传感器的数学模型。为此分别采用了静力学和微分方程的方法进行分析，得到了灵敏度等传感器指标的计算公式，为GUI软件的设计提供支持。

1.1 直管型科氏质量流量传感器的静力学模型

在科氏质量流量传感器工作时，其激振力频率应当接近测量管的固有频率，此时为简便分析过程，可以将测量管在恒定激振力下的静挠度曲线近似为测量管挠度曲线进行分析[8]。直管型测量管的双端固定且长细比大，符合双端固支梁模型，可视为双端固支梁进行计算。

双端固支梁为超静定结构，为对其进行分析，需要解除多余的约束条件并采用等效的作用力和力矩建模。将激振力F=Ffsin(ωt+φ)视为恒定的力F，设测量管两端约束力与约束力矩分别为Fa,Fb,Ma,Mb，由于测量管结构对称，因此有

(1)

Ma=Mb

(2)

为计算两固支端的约束力矩，考虑其两端和中心的转角。由于两端是固支端，其3个自由度都受到约束，其转角和挠度均为0；又由于双端固支梁为对称结构，故在作用于中点的激振力作用下，梁的形变同样具有对称性。因此梁的中点转角也为0。

通过材料力学的方法分析梁的弯曲变形，通常借助梁的挠曲线近似微分方程：

(3)

对于集中力P作用下的测量管，其弯矩为

(4)

使用积分法求解梁的中点转角，将式(3)从梁的端点到中点积分，得

(5)

(6)

因此，结合式(3)～式(6)，得到在激振力F作用下梁的挠度微分方程：

(7)

对其进行积分得到梁的转角方程和挠度方程：

(8)

(9)

激振力F作用下梁的静挠度曲线如图1所示。

图1 激振力F作用下梁的静挠度曲线

图1中对横坐标x和挠度y都做了去量纲处理。

在工作过程中，测量管所受科氏力载荷为

dFk=2Qω(x)dx

(10)

式中，w(x)为角速度，即角度对时间的微分：

(11)

为对测量管上的科氏力载荷进行分析，考虑在测量管上横坐标a处施加集中力dFk的情况。可以使用与分析激振力时相同的方法，将其视为恒定的力，解除其一边约束，并加以等效的约束力F′(a)和约束力矩M′(a)进行求解。再将求解出的挠度曲线关于dFk进行积分，得到科里奥利力载荷作用下的挠度曲线。经计算，前半段梁的挠度为

5.64×10-4x3L3+1.95×10-4x2L4)

(12)

后半段梁的挠度可由前半段关于中点对称得到。其挠度曲线如图2所示。

图2 科里奥利力载荷作用下梁的静挠度曲线

分析式(12)，可以得到在x=0.287L处，梁的挠度取得最大值。因此，最佳检测位置在0.287L处和0.713L处。

1.2 直管型科氏质量流量传感器的微分方程模型

对于等截面欧拉梁振动力学中已有成熟的理论，根据达朗贝尔原理可以列出其动力学方程：

(13)

式中，X,Y分别为测量管横纵坐标；T为时间；V为待测流体流速；E为测量管的弹性模量；I为测量管的截面惯性矩；m1,m2,m3分别为科氏质量流量传感器的检测器和激振器质量，其中m1,m3为检测器，m2为激振器，两检测器质量相等，安装在关于中点对称的位置上；mp,mf分别为测量管线密度和待测流体的线密度。

为计算谐振频率，需要对该微分方程进行求解。首先为方便分析，将其变形为无量纲形式：

(14)

式中，x,y,t,σk,v,β分别为无量纲的横坐标、纵坐标、时间、集中质量、流速、流体密度。

记测量管震动角频率为Ω，测量管无量纲振动角频率为ω：

对于此类微分方程，已经有成熟的求解理论，其解为[9]

y(x,t)=RΦ(x)eiωt

(15)

式中，R为常系数；Φ(x)为振型函数；i为单位虚数。对测量管的振型函数，可以各阶振型函数构成的无穷级数来表述：

(16)

其振型函数为[10]

φr(x)=cosh(krx)-cos(krx)-λr(sinh(krx)-sin(krx))

(17)

本文关注的是梁在激振力作用下的振动和在科里奥利力作用下的振动，分别对应一阶和二阶振型，振型曲线如图3与图4所示，其参数k和λ分别为：k1=4.730,k2=7.853,λ1=0.9825,λ2=1.001。

图3 一阶振型函数曲线

图4 二阶振型函数曲线

注意到微分方程解的一、二阶振型函数，与前文所推导的测量管在激振力与科氏力作用下的挠度方程具有相同的物理意义，由于在分析过程中采用了不同的方法去量纲以简化分析，因此二者应当具有线性关系。在此采用了相关系数的方法进行验证。

首先对计算出的函数进行采样，将其离散化。采样间隔设为0.001，取1000个采样点，然后分别计算一阶振型与激振力挠度、二阶振型与科氏力挠度的皮尔逊相关系数，分别为r1=0.999052,r2=0.999849，这说明二者高度相关，验证了上述分析结果。二阶振型函数在x=0.290处取得最大值，与2.1节中分析得到的最大值位置0.287相接近。归一化后的对比图如图5、图6所示。

图5 一阶振型与激振力挠度对比图

图6 二阶振型与科氏力挠度对比图

由图5和图6可以看出，两种计算方法所得到的振型与挠度曲线高度相似，此结果对上述分析的正确性提供了支持。

使用伽辽金法求解微分方程(14)，并取其前2阶振型作为该微分方程的近似解，解得：

(18)

(19)

在科氏质量流量传感器工作时，测量管同时存在激振力引起的振动和科氏力引起的振动，这使得测量点存在振动的相位差。因为科氏质量流量传感器通过测量此相位差以得到待测流体的质量流量，所以将科氏质量流量传感器的灵敏度定义为单位流量的相位差，即：

(20)

由式(19),可以得到测量管的振动函数：

(21)

其相位差Δφ为

(22)

进一步计算出科氏质量流量传感器的灵敏度K：

(23)

其中，

1.3 压损计算

压损按照产生的机理可以分为沿程压力损失和局部压力损失。对于直管型测量管，不存在阀口、弯管等通流截面变化或流动方向改变的结构，因此局部压力损失可以忽略不计。

圆管层流是流体运动中较为简单的一种情况，也是能够得出流速分布及压力损失解析解的为数不多的情况之一。经计算，在层流中沿程压力损失系数为[11]

(24)

湍流运动的情况较为复杂，沿程压力损失系数的计算往往依赖经验公式或半经验公式。1913年德国水力学家布拉修斯(Blasius)提出了计算湍流沿程压力损失系数的经验公式:

(25)

布拉修斯公式适用于Re<105的紊流光滑区，计算简单方便，且具有较高精度。

沿程压力损失的理论计算公式为

(26)

式中，l为测量管长度；ρ为测量管密度；v为流体流速，且满足

(27)

在层流和湍流下测量管的压损计算公式为

(28)

式中，Q为流体质量流量(kg/s)；η为流体动力黏度(Pa·s)；ρ为流体密度(kg/m3)。

1.4 温度对科氏质量流量传感器的影响

科氏质量流量传感器在工业领域中的应用逐步广泛，其所面临的工作环境也多种多样。因此，在各种环境下都能保持较高的精度已成为科氏质量流量传感器的迫切需要。为此，科氏质量流量传感器通常会设置温度传感器，测量被测介质的温度，通过温度补偿的方法抵消温度带来的影响，以保证测量数据的精度。

科氏质量流量传感器最常用的材料是316L不锈钢，除此之外哈氏合金c-22也被用于科氏质量流量传感器，在直管科氏质量流量传感器上，有时以硅合金作为测量管材料。笔者选取了最常见的这3种金属作为备选材料，对其属性进行了调研，结果如表1～表4所示。

表1 316L不锈钢(Acerinox公司)属性(自20 ℃起)

表2 哈氏合金c-22(Hastelloy公司)属性(自20 ℃起)

表3 钛合金Ti 6Al-4V(NeoNickel公司)属性(自20 ℃起)

表4 常见材料密度

上述各材料的平均线膨胀系数都在10-5量级，因此在本研究中，可以忽略温度对密度和测量管结构参数的影响，温度的影响主要体现在弹性模量上。对温度与弹性模量进行线性回归分析，其结果如图7～图9所示。

图8 哈氏合金c-22弹性模量与温度的线性回归模型

图9 钛合金Ti 6Al-4V弹性模量与温度的线性回归模型

上述回归分析相关系数R2均大于0.997，下面使用F检验法进行回归方程显著性检验。

相关系数R2与统计量F有如下关系：

(29)

由式(29)计算得，上述回归分析统计量F分别为

F1=5795.89，F2=4340.53，F3=2896.18

对于316L不锈钢、哈氏合金c-22和钛合金Ti 6Al-4V的数据，其样本容量分别为n=6,5,4。对F检验进行查表，得

F0.01(1,4)=21.20

F0.01(1,3)=34.12

F0.01(1,2)=98.49

因此上述回归均在0.01的水平上高度显著，故接受回归分析的结果，并在灵敏度计算中采用上述模型进行弹性模量的计算。在软件设计中还加入了自定义材料的功能，支持直接输入材料的弹性模量和密度，以适应使用其他材料或用户具有准确的材料属性的情况。

2 GUI软件设计

本GUI软件基于Matlab的APP designer进行设计，由参数设置、材料属性设置、集中质量设置、最佳检测位置分析、指定位置灵敏度分析、压损分析和曲线绘制7个面板构成，根据以上各节所推导计算的公式，完成了研究目标中所提出的灵敏度分析、谐振频率分析、压损分析等目标，实现了输入测量管结构参数、材料属性参数、传感器集中质量等数据，进行分析计算最佳检测位置、灵敏度、频率、压损等数据的功能，并绘制相关曲线图。软件还具有根据温度对材料属性进行补偿的功能。设计的GUI软件功能架构图如图10所示，GUI软件界面如图11所示。

图10 软件功能架构图

图11 GUI软件界面

Matlab的APP Designer提供了丰富而强大的回调函数，极大地便利了软件的设计。本软件充分利用了APP Designer的回调函数，基本上全部功能都通过回调函数实现。在程序运行的初期，先进行GUI界面的初始化，生成GUI界面、初始化数据并绘制表格和坐标轴；然后等待用户对界面进行操作，根据用户的操作执行相对应的回调函数。程序流程如图12所示。

3 科氏质量流量传感器的仿真分析

使用ANSYS Workbench对测量管进行了有限元仿真。首先建立了直管型测量管的模型，然后分别对其进行了静态结构分析、瞬态动力学分析、模态分析和谐响应分析，以验证理论计算结果。所使用的测量管结构为单圆直管，并忽略了集中质量，其结构参数如表5所示。

表5 测量管结构尺寸

3.1 静态结构分析

于测量管两端施加固定约束，施加作用于测量管外表面上、作用位置为测量管中央的正上方、方向竖直向下的激振力F，以进行激振力作用下的静挠度仿真；为计算科氏力作用下的挠度，采用了分段施加载荷的方式，将测量管分为20段，在每段下施加相应的科氏力载荷，以模拟实际的科氏力载荷分布。在网格划分方面，采用了由ANSYS软件智能划分的自由网格。其仿真结果如图13、图14所示。

图13 激振力作用下的静态结构仿真

图14 科氏力作用下的静态结构仿真

通过将激振力作用下测量管的静挠度曲线和以静力学模型计算出挠度曲线、微分方程的振型函数进行对比，验证了前文所进行分析的正确性。