光电经纬仪坐标系统一方法研究

张逸飞，冯 灿，夏伟东

(中国商用飞机试飞中心，上海 200120)

作为一种大范围、远距离的自动跟踪光电测量仪器，光电经纬仪在国产民机试飞测试中发挥着重要作用，被广泛应用于飞机最小离地速度测量、最大商载动着陆、溅水试验等重要试飞科目中，为试验提供目标位置、速度和姿态测量手段。

光电经纬仪测量能力强大，功能丰富。在测量方面，可以提供高精度的空间位置、速度、姿态结果；在跟踪功能方面，具备多种跟踪模式，包括可视化自动跟踪和GPS引导跟踪。其中，GPS引导跟踪是一种利用飞机的实时GPS位置，进行超视距引导的一种跟踪模式，在多云天气下可以辅助快速捕获飞机目标，进而扩展测量范围。

根据光电经纬仪的测量和跟踪原理，如果将经纬仪测量结果和GPS测量结果相比对，需要将两种测量系统的测量坐标系相统一；同样的，如果使用GPS引导跟踪功能，也需要统一两种测量坐标系。因此，完成坐标系统一工作，是光电经纬仪正常工作的前提条件。

目前国内外专门进行坐标系统一方法研究的成果不多，主要原因在于大多数光电经纬仪建设属于固定式经纬仪，在建设经纬仪之初，可以通过良好的机械加工，以实现明确的坐标系转换关系，不需要特殊方法来实现坐标系统一。

在部分移动式的光电经纬仪系统中，国内外常用的坐标系统一方法[1-5]是：首先将光电经纬仪调平，并获取其经纬仪坐标系X轴相对GPS坐标系北向的夹角；而后测量经纬仪坐标系原点在GPS坐标系下的经纬度坐标，以及地心空间直角坐标系的坐标；最后根据经纬仪的大地经纬度和真北向夹角，依据刚体旋转公式来计算旋转矩阵，获取两坐标系统一的变换公式。

但此方法严重依赖光电经纬仪的调平，在严苛的工作环境下，如在倾斜较大的路面上布设经纬仪，或者经纬仪的调平系统无法正常工作时，该方法就无法进行有效的坐标系统一。为了解决这一问题，有研究人员通过[6]借助基于双光栅干涉产生莫尔条纹测量扭转角的方法对经纬仪姿态进行位置测量，但该系统较为复杂；还有部分舰载光电经纬仪[7-8]方面的研究，也遇到船舰平台无法调平的问题，他们通过在光电经纬仪基座上加装环境姿态测量系统，该系统采用GPS与惯导组合方式，实时获取经纬仪底座的位置和舰载平台的姿态，进而实现坐标系的统一。

为了解决经纬仪必须调平的问题，也提出了两种方法，分别是直接转换法和场地标定法。其中直接转换法采用加装惯导系统的方法，对经纬仪与GPS坐标系的姿态进行测量，具有不依赖调平精度和快速转换的特点，但增加了系统成本；场地标定法不增加系统构成，通过在经纬仪测量场内布设一系列标志点，并对标志点进行瞄准记录，继而计算坐标系转换关系，该方法兼具不依赖调平精度、快速转换和低成本的特点。在实际工作中，可根据具体需要进行方法选择。

1 坐标系基础定义

光电经纬仪坐标系以其主要部件——二维转台的轴系为基准而建立。二维转台是光电经纬仪的机械加工基准，具有方位转轴和俯仰转轴，可以带动光学设备进行方位旋转和俯仰旋转。坐标系原点设置在二维转台的两旋转轴交点，Zb轴与方位转轴重合，并指向天向，Xb轴位于方位转轴垂直的平面，并指向方位码盘0°方向，Yb轴与Zb轴、Xb轴垂直构成右手坐标系。

GPS系统所依赖的直角坐标系称为WGS-84坐标系，如图1所示，该坐标系是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，Zo轴指向BIH(国际时间服务机构)1984.0定义的协议地球极(CTP)方向，Xo轴指向BIH 1984.0的零子午面和CTP赤道的交点，Yo轴与Zo轴、Xo轴垂直构成右手坐标系。

图1 WGS-84坐标系定义

根据坐标系定义，两个坐标系都是空间直角坐标系，因此两个坐标转换关系可以使用矩阵形式表示，如式1所示，R矩阵表示两坐标系的旋转关系，T矩阵表示两坐标系的平移关系。

坐标系统一的目的就是解算出这样一组矩阵形式的转换公式：

Y=R·X+T

(1)

2 直接转换法

WGS-84地心坐标系是与地球固联的坐标系，而光电经纬仪坐标系是局部坐标系，两坐标系之间的轴系角度关系无法直接测量，无法直接推导出旋转矩阵。因此采用站心坐标系作为中间坐标系，分别获取光电经纬仪坐标系到站心坐标系的转换关系和站心坐标系到WGS-84坐标系的转换关系，最后联立得到光电经纬仪坐标系到WGS-84坐标系转换矩阵公式。

这里，采用东北天坐标系(ENU坐标系)作为站心坐标系。ENU坐标系原点设置在光电经纬仪坐标系的原点位置上，Yg轴指向地理北极方向，Zg轴垂直地面指向天向，Xg轴与Zg轴和Yg轴垂直构成右手坐标系。

建立光电经纬仪坐标系和ENU坐标系的转换关系，需要获取两坐标系轴系的三轴欧拉角。可以通过在光电经纬仪转台基座上加装惯性导航系统，获得光电经纬仪姿态参数，该组姿态参数便是三轴欧拉角，3个轴的角度可以用偏航角ψ、俯仰角θ、滚转角φ定义。将三轴欧拉角带入到光电经纬仪坐标系到ENU坐标系的旋转矩阵Rbg中，将光电经纬仪坐标系统一到ENU坐标系下。光电经纬仪坐标系到ENU坐标系旋转矩阵可以按XYZ顺序，即先沿Xb轴做滚转运动，再沿Yb轴做俯仰运动，最后沿Zb轴做偏航运动，两个坐标系就可以完全重合。转换关系可以用式(2)表示:

(2)

其中，

Rbg=

(3)

其中，

(4)

式中，a为地球椭球长半轴长度，b为地球椭球短半轴长度。

(5)

分别获取两个坐标系和中间坐标系的转换关系后，便可以将式(2)、式(5)联立，获得最终的转换关系表达式：

(6)

从以上推导过程可以看出，该方法不依赖精密调平，可以在任意环境下，快速给出坐标系转换关系，但缺点是加装惯性导航系统会给光电经纬仪增加额外的成本。

3 场地标定法

场地标定法是一种不依赖惯性导航系统的坐标系统一方法。该方法对场地内一系列标志点在WGS-84坐标系下的坐标进行标定，而后使用光电经纬仪分别对该系列标志点在经纬仪坐标系的坐标进行测量，进而获得标志点在两个坐标系的坐标，最后通过算法对两个坐标系的转换矩阵进行解析。

3.1 标志点测量

标志点在两个坐标系下的测量，分两步实施。

B=Rbo·A+Tbo

(7)

根据式(7)，可以看出待求解的未知数共有9个，而每个标志点可以提供3个方程，因此至少需要3个标志点才能求解方程。但由于标志点的坐标测量存在误差，为了减小随机误差，提高标定精度，则应尽可能增加标志点的数量。此时，标志点的数量超过3个，方程数量大于待求参数数量，该方程组变为超定方程组。那么坐标系转换公式的求解，即转化为对一组超定方程组的解的计算。

3.2 最小二乘法求解

超定方程组无一般意义上的解，但可以采用最小二乘解作为最优解。根据最小二乘解的一般矩阵形式，可以按式(8)获得转换关系公式：

B=RboA+Tbo⟹

B-Tbo=RboA⟹

(B-Tbo)AT=RboAAT⟹

Rbo=(B-Tbo)AT(AAT)-1

(8)

根据式(8)获得的Rbo是最小二乘形式下的最优解。但需要注意的是，旋转矩阵[13]是一种行列式为1的正交矩阵，但最小二乘法形式下的最优解是无法保证其正交性的。为了保持旋转矩阵的正交性质，采用第2种求解算法。

3.3 基于SVD的最小二乘算法

奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一种自带酉矩阵约束的奇异值分解算法[14]，广泛应用在降维算法、推荐系统和自然语言处理等领域。为了保证最小二乘形式下的Rbo依然是正交矩阵，可以采用SVD进行最小二乘求解。

可以证明[15]，最小二乘解可以等效为以下表达式，即求解一个Rbo，使得矩阵(B-Tbo)TRboA迹的值最大化：

(9)

根据矩阵迹的基本性质有：

tr(AB)=tr(BA)

(10)

那么：

tr((B-Tbo)TRboA)=tr(RboA(B-Tbo)T)

(11)

此时构造H矩阵：

H=A(B-Tbo)T

(12)

然后，对H矩阵进行SVD分解，得到两个正交矩阵U和VT矩阵和对角矩阵Σ：

H=UΣVT

(13)

则式(11)可以变换为

tr(RboA(B-Tbo)T)=tr(RboH)=tr(RboUΣVT)

=tr(ΣVTRboU)

(14)

(15)

所以欲构造一个最大的tr(ΣM)，需要使得M矩阵的对角值均为1，而M矩阵又是正交矩阵，所以M矩阵为单位矩阵时，tr(ΣM)可以取得最大值，因此：

I=M=VTRboU⟹V=RboU⟹Rbo=VUT

(16)

可以根据式(16)计算得到最终的旋转矩阵，该方法基于SVD求解最小二乘形式解，可以确保解为正交矩阵。

场地标定法相较于直接转换法，无需加装惯导系统，但需要对场地进行一次标定，设置一些均匀分布的场内标志点。如果标志点可以重复使用，当经纬仪在场地内移动布置，仍有一定数量的场内标志点可以被经纬仪观测到，那么则无需再次标定，坐标系统一可以快速实现，所需时间和直接转换法相当。

4 试验与结论

为了验证方法是否有效，对一台光电经纬仪分别采用直接转换法和场地标定法进行坐标系转换，最终通过GPS数据引导功能是否正常，或反算标志点角度误差大小来判断方法有效性。试验中使用的光电经纬仪具备惯性导航系统，试验场地为上海浦东机场第四跑道。

4.1 直接转换法验证

根据第2节中的方法，首先打开光电经纬仪的惯性导航系统，对经纬仪坐标系的姿态角进行测量，而后再利用差分GPS设备测量经纬仪的原点坐标位置，并根据式(3)求出坐标系的经纬度，最后按照式(6)求出坐标系转换矩阵。完成坐标系统一后，使用飞机空地遥测链路，将飞机的GPS位置实时发送至地面接收站，再通过地面光纤数据链路，将飞机GPS数据传输至光电经纬仪，激活其GPS数据引导功能。

根据试验结果，当飞机距离30 km时，通过GPS数据引导功能可以实现光电经纬仪对飞机的自动跟踪拍摄，这说明转换矩阵精度满足GPS数据引导功能需求，也证明直接转换法可以有效获取坐标系转换矩阵。

4.2 场地标定法验证

根据第3节中场地标定法流程，在具体试验中，首先对试验场地——浦东国际机场第四跑道进行标志点选取和标定工作。

如图2所示，在经纬仪布点四周1 km内选取9个标志点后，用差分GPS系统测量这9个标志点和光电经纬仪原点的GPS坐标，并记录数据，如表1所示。

表1 光电经纬仪原点及9个标志点GPS坐标

此时便得到了GPS坐标系下的标志点坐标序列B，需要注意的是，在光电经纬仪不具备测距单元时，可以根据各个标志点与光电经纬仪原点的GPS坐标，来轻松求取各标志点到经纬仪的绝对距离。

为了获取光电经纬仪坐标系下的标志点序列A，需要操作光电经纬仪分别瞄准9个标志点，此时首先测量瞄准各个标志点时对应的方位角和俯仰角数据序列，而后结合各标志点到光电经纬仪的距离值，可以得到光电经纬仪球坐标系下的标志点坐标。如表2所示。

表2 光电经纬仪瞄准9个标志点的转台角度值

此时，根据式(17)，便可以将光电经纬仪球坐标系下的坐标转换为直角坐标系下的坐标，获得标志点序列A:

(17)

获得A、B坐标序列后，根据章节3中提到的最小二乘法和基于SVD的最小二乘法，分别用这两种算法求解转换矩阵Rbo，结果如下:

最小二乘法下，Rbo表达式为

将其作为已知数，反算方位角和俯仰角的均方根(RMS)误差，可以得到方位角RMS误差为0.0087°，俯仰角RMS误差为0.0416°。

同样的，使用基于SVD的最小二乘法计算，可得到转换矩阵Rbo，表达式为

将其作为已知数，反算方位角和俯仰角的RMS误差，可以得到方位角RMS误差为0.0073°，俯仰角RMS误差为0.0418°。可以验证，该转换矩阵为正交矩阵。

从以上结果可以看出，两种算法计算出的矩阵Rbo表达式结果接近，且反算得到的误差数值接近，两个方向的角度误差均小于0.05°，但基于SVD的最小二乘形式解进一步满足正交约束条件，因此其结果更可取。

将上面的旋转矩阵结果输入经纬仪控制系统中，激活其GPS数据引导跟踪功能。结果表明，光电经纬仪可根据飞机的实时GPS遥测数据进行自动跟踪，这进一步验证了场地标定法的有效性。

5 结束语

针对光电经纬仪传统坐标系统一方法的使用限制问题，研究了两种替代方法。在直接转换法中，设计了中间坐标系以完成WGS-84坐标系和经纬仪坐标系的转换，并给出了公式推导过程；在场地标定法中，给出场地标志点测量方法和选取原则，并针对超定方程组求解进行了算法分析，给出了基于SVD的最小二乘形式下最优解的算法。最终，使用光电经纬仪的GPS引导功能实现了对飞机超视距跟踪，成功验证了两种坐标系统一方法的有效性。尤其是场地标定法，以其不依赖调平精度、低成本和快速实施的特点，可以广泛应用在需要灵活部站、快速实现坐标系统一的场景中，具有普适性。