两束艾里光束在Kerr和饱和非线性介质中的相互作用

卢克清，胡 凯，陈卫军，于会敏，张宝菊

（天津工业大学电子与信息工程学院，天津 300387）

两束艾里光束在Kerr和饱和非线性介质中的相互作用

卢克清，胡 凯，陈卫军，于会敏，张宝菊

（天津工业大学电子与信息工程学院，天津 300387）

采用分步傅里叶法对两艾里光束在Kerr介质和饱和非线性介质中同向和反向传输时的相互作用进行了数值模拟，探讨了两艾里光束的入射光间隔对相互作用的影响.结果表明：当两艾里光束的入射间隔大于其主瓣宽度时，在两介质中同向或反向传输的孤子均被束缚在原入射光束中稳定传输，无相互作用；当两光束的入射光间隔小于等于主瓣宽度时，在Kerr介质中同向传输的两光束在光强E=3时相互吸引而在E=4时由最初的相互吸引变为相互排斥，反向传输保持相互排斥的性质；在饱和非线性介质中两光束在任意光强都保持同向相互吸引、反向相互排斥的特性.

艾里光束；Kerr介质；饱和非线性介质；相互作用

衍射是光束的基本特性.由于衍射，激光束在传输过程中，光斑逐渐增大，能量逐渐分散.随着激光在通信、军事等长距离传输领域应用的不断拓展和深化，人们越来越希望消除衍射，降低激光束的传输耗散.由此，一个新的研究领域应运而生——无衍射光束.理论上无衍射光束携带无穷大的能量，因此严格来讲实际并不存在.目前主要利用孔径光阑对无衍射光束进行“截趾”来产生这些光束.虽然“截趾”后的无衍射光束不再保持绝对无衍射的形式传输，但在一定的传输距离内，相比高斯光束，它们仍具有很好的无衍射特性，因而被称作“近无衍射光束”.下文中如无特殊说明，无衍射光束均指近无衍射光束.

最具代表性的沿直线传输的无衍射光束是贝塞尔（Bessel）光束[1]，而最具代表性的沿曲线传输（横向自加速）的无衍射光束是最近热门研究的艾里光束[2-3].艾里光束在 2007年首先由Christodoulides研究组实验实现.相比贝塞尔光束[4]和马丢（Mathieu）光束，艾里光束除了具有无衍射和自愈特性外，还具有自弯曲传输的奇异特性.目前，艾里光束的特性已被充分研究，其中主要包括无衍射[5-6]、横向自加速偏移[7-8]以及自愈[9]等特性；单一艾里光束的非线性Kerr效应[10-11]及其传输动力学特性[12]也已经被报道，但是关于两束艾里光束之间相互作用的研究还比较少.本文拟利用快速分布傅里叶法研究两束艾里光束在Kerr介质和饱和非线性光折变介质中同向和反向传输时的相互作用，探讨艾里光束间的入射间距对相互作用的影响，并简要分析两个互相作用的艾里光束沿着横向传输时的动力学特性.

1 理论模型

在傍轴近似中，光纤中孤子的场包络函数的传输可用下列归一化标准非线性薛定谔方程[13]描述:

式中:δn表示折射率的非线性变化；x为归一化无量纲横向坐标；z为归一化传输距离.

当δn=0时，方程（1）为线性薛定谔方程，采用分布傅里叶法进行求解，其特解[14-15]可表示为:

式中:Ai为艾里函数.由于艾里光束固有的无衍射性，艾里光束具有无限的能量，其旁瓣衰减的非常慢；而在实际产生艾里光束的过程中，由于空间和能量的限制，需要它的旁瓣衰减的很快.因此，考虑其截断窗口的指数函数衰减[16]:

通常情况下衰减因子0＜a≤1，这样即可用有限能量的艾里激光束来近似无穷能量的理想艾里激光束；有限能量艾里激光束在自由空间中传输到任意距离处的场分布函数可表示为:

对方程（4）运用分布傅里叶法与样条插值法[17]可得出艾里光束传输时的主瓣宽度w=5；而方程（4）的一般形式可表示为:

式中:E和B为任意常量，分别代表振幅强度和沿横坐标平移的距离.

本文拟要探讨艾里光束间的相互作用，为此构造出初始入射光束为相互平行但加速度不同的一对艾里光束，表示为:

式中:截断因子a=0.2；l为控制相位变化的参数，当l=0时，艾里光束间为同向输入；当l=1时，两光束为反向输入.

2 艾里光束间的相互作用

2.1 Kerr介质

在公式（1）的基础上令δn=｜φ｜2，当入射光间隔较大时彼此间的相互作用非常弱，因此令两束光间距保持在相对较小的范围内.图1给出了振幅强度E=3时两艾里光束同向和反向输入时相互作用的演化图.

图1 E=3时两束艾里光束在Kerr介质中同向和反向传输的相互作用Fig.1 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beam s with E=3 in Kerr medium

由图1可以看出:

（1）艾里光束同向传输且入射光间隔小于主瓣宽度时表现出相互吸引的特性.在B=-3和B=4处，除部分孤子能量脱落外光束间保持平行传输；在一定范围内随着入射光束间隔距离减小，相互间吸引作用增强，产生绑定的呼吸子式孤子；距离越小，相互间作用越大，孤子的振荡周期越小.但仔细观察发现当B= 1时孤子的振荡周期比B=0时小，这是因为B=0时艾里光束的主瓣位于x=-1处，此时两个入射光束主瓣之间始终保持有一定距离.所以，在B=1时光束间的相互作用最强，形成的孤子周期最短；值得注意的是此时从主瓣产生的孤子以及主瓣的加速特性是不存在的[14].

（2）艾里光束反向输入时的初始振幅数值条件跟同向一致，但当光束间隔小于主瓣宽度时表现出来的特性与同向输入时完全不同.从图1中可以看到，两光束间隔距离较小时表现出排斥的现象，并且由于相互排斥作用产生孤子对.入射光束间隔越小，相互间的排斥作用越强，直到两个光束开始交叠；当光束交叠时，随着交叠程度的增加，光束间的排斥力减弱，如图1中B=1所示.另外，注意到在B=0时孤子对间的排斥力比B=1时大，这是因为艾里光束反向传输时在B=1处两个主瓣彼此间保持平衡而副瓣间的间隔距离比B=0时的主瓣间的距离大.换句话说，当B=1时孤子对是由副瓣产生的，而其它演化图孤子对是由主瓣产生的.

由图1还观察到，在B=4处艾里光束反向输入的演化图中出现两个孤子对，而在所有其它附图中除了最初艾里光束间相互作用产生的多余辐射能量外只看到一个孤子对.这是因为光束的能量主要储存在主瓣中，内部孤子对的能量强度比外部孤子小，但是在传播初期（大概z=2处）两个孤子对交换能量，外孤子对因为从主瓣中获取了更多的能量而排斥力较强；因此，一个孤子对来源于艾里光束主瓣，另一个来源于副瓣.仔细观察这个结果发现:如果令E变化，当E＜0.2时没有孤子产生，当E≥0.2时产生孤子对，当E足够大（例如E=8）时有多个孤子对产生.但是由于光束强大的自聚焦效应[10]，传播可能变得不稳定.图2截选了演化过程中的4个例子.

图2 B=4时E=0.2、2、4和8时的演化图Fig.2 Evolution graph of E=0.2，2，4 and 8 with B=4

基于以上讨论令振幅强度E=4，由于两光束反向传输时的演化结果与图1反向传输类似，光场交叠区发生相消干涉，导致该区域折射率降低，两光束分别向两侧偏移形成排斥现象，因此本文只给出了同向传输的演化图，如图3所示.

图3 E=4时两艾里光束在Kerr介质中同向传输时相互作用的演化图Fig.3 Evolution graph of two in-phase incident Airy beam s interaction with E=4 in Kerr medium

由图3可以看出，两光束同向传输、光束间隔小于w时有排斥现象出现，如图3（c）和图3（d）所示.这是因为折射率的变化使孤子间相互吸引，但随着传播距离的增加，吸引力逐渐减弱而排斥力增强，最终斥力强度强于吸引力起主导作用.从图3中还可以看到，B=1时由于重叠的主波瓣强度增加，脉冲宽度被抑制，因而从叠加的主瓣中分离形成的两个孤子间斥力比B=0时小.当B逐渐变大时，光束间间隔增大，彼此间相互作用减小，光束的主瓣与其它部分的高次波瓣重合产生平行传输的孤子，如图3（f）所示.

2.2 饱和非线性介质

根据光折变的基本理论，令δn=｜φ｜2/（γ+｜φ｜2），式中0＜γ≤1是饱和非线性常数，在本文中令γ=1.图4给出了艾里光束在饱和非线性介质中同向输入和反向输入时相互作用的演化图.

图4 E=3时两束艾里光束在饱和非线性介质中同向和反向传输的相互作用Fig.4 Interaction of two in-phase and out-of-phase incident Airy beams with E=3 in saturable NL medium

由图4可以看出，光束在饱和非线性介质中传输与在Kerr介质中传输时的行为相似，光束同向输入且光束间隔小于主瓣宽度时，由于光束间的相互吸引作用产生单个孤子和具有呼吸子式行为的孤子对.在图4中B=-4时，艾里主瓣形成单个孤子而孤子对由副瓣形成；而在B=0和B=2中，只有单个呼吸子式孤子形成，没有孤子对出现，并且由于两个艾里光束的主、副瓣能量的分量非常接近，副瓣连同主瓣共同形成中心孤子；在B=4和B=5时x=0处的孤子由副瓣和高次波瓣形成，而孤子对由主瓣形成.

艾里光束在饱和非线性介质中反向输入时，由于初始入射时两束艾里部分光束的叠加导致互斥孤子对的形成、单个孤子的消失.比较图1发现，在饱和非线性介质中的孤子对之间形成的排斥力比在Kerr介质中的强；另外研究B=4时E变化时艾里光束在饱和非线性介质中相互作用的稳定性，发现对任意的E值光束在饱和非线性介质中的传输是稳定的，其演化图与图4反向传输类似.

3 结论

本文研究了艾里光束在Kerr介质和饱和非线性介质中同向和反向传输时的相互作用.由于其固有的无衍射性，理想艾里光束具有无限的能量，其旁瓣衰减的非常慢，为了能在试验中实现艾里光束，需要对艾里函数加上指数衰减因子，用有限能量艾里光束近似无穷能量的艾里光束来讨论研究.结果表明:

（1）光束间的相互作用随着入射光束间隔的减小而增强；当光束间的间隔较大时光束互不影响，彼此保持平行传输；当入射光间隔小于等于主瓣宽度时两光束产生相互作用并表现不同行为.

（2）在Kerr介质中同向传输时，振幅的大小影响光束间的相互作用，当E=3时光束间相互吸引，而E= 4时光束间有排斥现象出现；反向传输时，在一定光束间隔范围内两艾里光束相互排斥，讨论B=4时产生的孤子对的稳定性，发现E＜0.2时没有孤子产生，当E≥0.2时产生孤子对，当E足够大（例如E=8）时有多个孤子对产生.

（3）在饱和非线性介质中，艾里光束无论是同向传输时表现出相互吸引还是反向传输时表现出相互排斥的性质都不随E的大小变化，保持稳定传输.

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Interactions of two Airy beam s in Kerr and saturable nonlinear media

LU Ke-qing，HU Kai，CHEN Wei-jun，YU Hui-min，ZHANG Bao-ju
（School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The interactions of two in-phase and out-of-phase Airy beams in Kerr and saturable nonlinear（NL）media are investigated numerically by using the distribution Fourier method.The influence of the incident light interval on the interaction of two Airy beams is discussed.The results show that if the interval between two incident beams is larger than the widths of their main lobes，the generated soliton pairs just propagate individually and do not interact.However，if the interval is comparable to the widths of the main lobes，in Kerr medium，when E=3，two in-phase Airy beams transmission attract each other，and when E=4，the two beams become mutually exclusive instead of the initial attract each other；if the two beams transmit in out-of-phase，they always maintain reply.In saturable nonlinear media，the two beams are always attract each other when they are in the same direction and mutually exclusive in out-of-phase to arbitrary intensity.

Airy beams；Kerr medium；saturable nonlinear（NL）media；interaction

O436.1

A

1671－024X（2015）04－0080－05

10.3969/j.issn.1671-024x.2015.04.017

2015-05-14

天津市自然科学基金资助项目（13JCYBJC16400）

卢克清（1961—），男，研究员，博士生导师，研究方向为非线性光学.E-mail:kqlutj@126.com