积分型粘弹性阻尼器耗能结构瞬态响应的精确解

李创第，尉霄腾,王磊石，邹万杰

(1.广西大学土木建筑工程学院， 广西南宁530004；2.广西科技大学土木建筑工程学院， 广西柳州545006)



积分型粘弹性阻尼器耗能结构瞬态响应的精确解

李创第1,2，尉霄腾1,王磊石1，邹万杰2

(1.广西大学土木建筑工程学院， 广西南宁530004；2.广西科技大学土木建筑工程学院， 广西柳州545006)

摘要：为建立积分型粘弹性阻尼器耗能结构的精确设计方法，对单自由度结构在任意激励和非零初始条件下的时域瞬态响应精确解进行了系统研究。首先采用线性粘弹性阻尼器的一般积分型精确分析模型，用微分积分方程实现了单自由度结构的时域非扩阶精确建模；然后采用传递函数法，直接在耗能结构非扩阶空间上获得了变频耗能结构在任意激励和非零初始条件下位移与速度时域瞬态响应的解析表达式；最后，基于此精确解得到了结构在平稳Kanai-Tajimi谱随机地震激励下响应方差的解析表达式。通过与扩阶复模态法结果的对比分析，验证了所获精确解的正确性和简易性，表明建立了适用于单自由度积分型粘弹性阻尼器耗能结构的优效解析方法。

关键词：传递函数法；一般积分型模型；瞬态响应精确解；随机响应精确解

0引言

橡胶支座基础隔震[1]和耗能减震是目前两种最为成熟有效的被动控制技术。线性粘弹性阻尼器是一种性能优良的耗能装置，在抗震工程中应用广泛。

一般积分型模型[2-3]是粘弹性阻尼器的最一般模型，其他模型如复模量模型[4]、分数导数模型[5-7]、一般微分型及其近似模型[2]等均为该模型的近似或无限逼近。

目前粘弹性耗能变频结构的分析方法主要分为扩阶精确法和非扩阶近似法两类。扩阶精确法针对广义Maxwell[8]、GHM[9]、分数导数Kelvin[10]等易于扩阶粘弹性近似模型，利用扩阶复模态法获得结构响应解析解。因物理意义不明确，变量个数剧增，计算效率低，使该方法难以用于耗能结构基于反应谱的设计与研究。

非扩阶近似法主要是模态应变能法[11]和取结构基频的强行振型解耦法[12-13]，但近似法采用阻尼器频域建模方式，使耗能结构方程并不严格适用于地震和强风等非简谐激励的时域分析，且采用较多近似假设，使其精度和适用范围有待提高[14-16]。

针对传统方法的不足，本文力求得出兼顾精确和效率的优效方法。传递函数法不用扩阶运动方程，可直接获得一般粘滞阻尼对称线性定常系统的脉冲响应矩阵的精确解，但尚未见该方法用于粘弹性阻尼变频非定常结构的研究。基于传递函数法，本文成功获得了单自由度积分型粘弹性阻尼器耗能结构的精确设计方法，通过与复模态方法对比，验证了该方法的正确性与简易性。

1运动方程

设置一般线性粘弹性阻尼器的单自由度结构的动力方程可表示为：

粘弹性阻尼器作用力p(t)与位移x(t)的一般积分型本构关系为[17]：

式中：kp和h(t)分别为阻尼器的平衡模量和松弛函数。

故单自由度一般线性粘弹性阻尼器耗能结构的时域动力方程均可精确表示为：

(1)

方程(1)具有一般性，既可表示任意单自由度线性粘弹性阻尼器耗能结构方程，也可表示任意单自由度线性粘弹性材料组合结构方程[18]。

2结构瞬态响应的传递函数法

2.1结构特征值分析

对运动方程(1)取拉氏变换，得：

也即：

(2)

其中，

(3)

结构的特征值方程即为：

D(s)=0。

(4)

由式(4)可得出结构的N=2+n个特征值sj，包括有1对共轭复特征值和n个实特征值。

2.2传递函数解析式

由于结构特征值sj为传递函数的极点，故传递函数可展开为：

(5)

所以

由洛必达法则，计算常数ηj为：

(6)

又因

故有

(7)

2.3结构位移和速度瞬态响应的解析解

由式(2)、式(3)和式(5) 、式(7)可得：

对以上两式进行拉氏变换，可得

式中，δ(t)为狄拉克函数。

对于t>0时，结构位移与速度响应可进一步表示为：

(8)

(9)

式中，aj(t)表示由初始条件产生的响应影响，且

(10)

显然，对于零初始条件，aj(t)=0，(j=1～N)。

结构响应解析解表达式(10)完全类似于粘滞阻尼结构用经典复模态法所获得的响应表达式，可视粘滞阻尼定常结构经典复模态法在粘弹性耗能变频结构的推广。

3解析解的验证分析

对比单自由度广义Maxwell粘弹性阻尼减震结构响应的复模态法分析结果，验证本文方法的正确性。

3.1单自由度广义Maxwell阻尼减震结构方程

图1　单自由度广义Maxwell阻尼器耗能结构Fig.1　SDOF (single degree of freedom)energy dissipation structure withgeneralized Maxwell damper

(11)

3.2本文方法结果

由式(4)，结构特征值方程为：

(12)

根据式(12)可得结构2+n个特征值sj。

由式(6)，计算常数ηj为：

(13)

则在零初始条件下，由式(8)结构的位移和速度响应分别为：

(14)

(15)

3.3复模态法结果

令中间变量：

则运动方程(11)可扩阶为如下一阶状态方程组：

(16)

式中：

z(t)=[x(t),v(t),r1(t),…,rn(t)]T，

方程(16)的特征根方程及特征根所对应右、左复模态向量方程分别为：

det[Iλj+A]=0，

(17)

[Iλj+A]φj=0，

[Iλj+A]Tψj=0。

由数学归纳法不难验证特征值方程式(12)与特征值方程式(17)完全一致，即λj=sj。同时，可求出右、左复模态向量分别为：

(18)

(19)

由式(18)、式(19)和式(13)不难验证：

(20)

(21)

式中： φ1j和φ2j分别为φj的第一、二个分量。

对比式(14)、式(15)和式(20)、式(21)知，两种方法计算结果完全相同，但本文方法计算简便，适用范围更广。

4耗能结构平稳随机地震响应的精确解

式中：ωg、ξg分别表示场地土的卓越频率和阻尼比；S0为基岩上白噪声的谱强度因子。

由式(8)、式(9)，有：

故：

由复模态理论[19]，可以获得z(t)的协方差函数为：

其中：

由式(16)可得：

令τ=0，得结构的位移、速度响应的方差分别为：

E[x2(t)]=Cx(0)，

5算例分析

图2　计算简图Fig.2　Calculation diagram

对于如图2所示的质量为m，刚度为k，阻尼为c的单自由度广义Maxwell阻尼减震结构，结构所在地区的抗震设防烈度为I=8度(0.2 g)。计算参数为：结构质量m=1kg，结构刚度k=300N/m，阻尼比取ξ0=0.05，结构自振频率ω0=20s-1；两个并联的Maxwell阻尼器性能参数分别为：平衡模量kG=100N/m，松弛时间倒数μ1=10s-1，μ2=15s-1，单元阻尼系数分别取c01=18、24、30、36N·s/m，c02=12、16、20、24N·s/m。采用中等坚硬度土壤参数，场地土的卓越频率和阻尼比分别取ωg=16.5s-1，ξg=0.8，谱强度S0=0.013 87m2/s3。所得特征值示于表1；所得计算常数ηj示于表2；系统位移方差和速度响应方差示于表3。

表1　特征根计算结果

表2　ηj计算结果

表3　响应方差计算结果

表1、表2给出了结构特征值及计算参数ηj的计算结果；由表3所示结果可知，随着阻尼器的单元阻尼系数增大，阻尼耗能结构的位移和速度响应方差有减小的趋势，表明适当调整阻尼器的阻尼单元性能参数，可以减小结构的地震反应剧烈程度，使结构响应更趋于平稳；计算结果与实际情况相符，验证了本文分析方法的可行性。

8结论

本文对一般积分型单自由度粘弹性阻尼耗能减震结构在任意激励和非零初始条件下的瞬态响应精确解进行了系统研究。首先采用线性粘弹性阻尼器一般积分型精确分析模型，用微分积分方程实现了结构的时域非扩阶精确建模；然后采用传递函数法，直接在耗能结构非扩阶空间上获得了变频耗能结构在任意激励和非零初始条件下位移与速度时域瞬态响应的解析表达式；基于广义Maxwell阻尼器模型，通过对比传统经典扩阶复模态法的分析求解过程与所得响应解析表达式，验证了该精确解的正确性和简易性。此振动机理将为建立耗能变频结构精确的振型分解反应谱法提供分析路径。最后，基于结构瞬态响应的精确解，得到了结构在Kanai-Tajimi谱平稳随机地震激励下的响应方差的解析表达式，并通过算例反映了阻尼器参数对结构响应随机特性的影响，验证了本文方法的可行性。本文为一般积分型单自由度粘弹性阻尼耗能结构瞬态响应与随机响应的分析研究提供了一条有效途径，同时为一般积分型多自由度粘弹性阻尼耗能结构瞬态响应与随机响应的分析奠定了一定的理论基础。

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(责任编辑唐汉民梁健)

Exact transient response solution of energy dissipation structure with internal viscoelastic damper

LI Chuang-di1,2, WEI Xiao-teng1, WANG Lei-shi1, ZOU Wan-jie2

(1.College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;

2.Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

Abstract:In order to establish an accurate design method for general linear viscoelastic damping energy dissipation structures, a systematically research on the time domain transient response exact solution of structure that have single degree of freedom was conducted under arbitrary excitation and non-zero initial condition. A general integral accurate analysis model of linear viscoelastic damper was adopted, and a precise non-extended order model in time domain of structure that had SDOF(single degree of freedom) was created by applying the differential-integral equation. The transient displacement and velocity response analytical expressions of variable frequency energy dissipation structure in time domain under arbitrary excitation and non-zero initial condition were obtained directly in non-extended order space of energy dissipation structure using the transfer function method. The analytical expression of response variance of structure that met with stationary random seismic excitation of Kanai-Tajimi spectrum was established by applying the exact solution obtained in this paper. It is proved that this exact solution is correct and simple, compared with the consequences obtained by employing the complex model method of extended order, which suggests that an effective analytical solution has been built and the solution is applicable to general linear viscoelastic damping energy dissipation structures of SDOF.

Key words:transfer function method; general integral model; exact solution of transient response; exact solution of random response

中图分类号：TU311.3

文献标识码：A

文章编号：1001-7445(2016)01-0083-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0083

通讯作者：李创第(1964—)，男，广西柳州人，广西科技大学教授，博士； E-mail：lichuangdi1964@163.com。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51468005)；广西自然科学基金项目(2014GXNSFAA118315)；广西科技大学创新团队支持计划项目

收稿日期：2015-04-20；

修订日期：2015-11-24

引文格式：李创第，尉霄腾,王磊石,等.积分型粘弹性阻尼器耗能结构瞬态响应的精确解[J].广西大学学报(自然科学版)，2016，41(1)：83-90.