转动约束受压矩形钢板单侧屈曲强度计算简化

郑　艳，莫时旭，赵剑光，林飞扬，胥海宁

(1.广西岩土力学与工程重点实验室， 广西桂林541004；2.桂林理工大学土木与建筑工程学院， 广西桂林541004)



转动约束受压矩形钢板单侧屈曲强度计算简化

郑艳1,2，莫时旭1,2，赵剑光2，林飞扬2，胥海宁2

(1.广西岩土力学与工程重点实验室， 广西桂林541004；2.桂林理工大学土木与建筑工程学院， 广西桂林541004)

摘要：为研究内填混凝土钢箱构件在受压、受弯荷载下其组成钢板局部屈曲问题，建立了非受载边转动约束、线性分布压力下矩形板单侧屈曲模型，选取满足矩形板变形边界条件的多项式与调和函数组合位移函数，利用瑞利—里兹能量法导出了非受载边界为转动约束的矩形板在线性分布荷载下的单侧屈曲强度计算公式。与传统边界条件相同的双侧屈曲矩形板比较，单侧屈曲强度比双侧屈曲强度提高37%～58%。基于屈曲强度与约束系数的关系，利用回归分析方法对计算公式进行了简化，提出了约束系数表达的屈曲强度计算实用公式。已有试验表明，简化公式计算值与试验值之比在0.76～1.22，平均1.03，两者吻合良好，计算公式的有效性得到验证。

关键词：转动约束；线性分布压力；能量法；单侧屈曲强度；约束系数

钢板宽厚比的确定是薄壁钢结构设计的关键问题之一，合适的宽厚比是结构安全性、适用性和经济性的保证。因此，准确计算薄壁钢板的屈曲强度一直受到工程界专家和学者重视[1-3]。对于一般双侧屈曲模式矩形板的屈曲强度计算已有比较成熟的公式[4-5]。钢箱内填混凝土后其组成钢板受压时，内凹的屈曲变形受到混凝土的约束，只能发生外凸的单侧屈曲变形，针对此类单侧屈曲模式矩形板在均布压力下的屈曲问题已开展了大量研究[6-14]。刘庆辉等[6]提出了非加载边简支矩形板单侧屈曲强度计算公式；何保康等[7]提出了非加载边固支矩形板单侧屈曲强度计算公式。莫时旭等[8-9]建立了非受载边弹性约束矩形板单侧屈曲强度计算公式；毛佳等[10]得到了弹性支承上矩形板的屈曲强度计算公式。以上均布压力下矩形板单侧屈曲强度计算公式可用于合理确定矩形钢管混凝土轴心受压柱组成钢板和充填混凝土的钢箱梁的受压顶(底)板宽厚比。偏心受压矩形钢管混凝土柱的组成钢板和充填混凝土的钢箱梁的钢腹板承受非均布压力，对于非受载边转动约束、线性分布压力下矩形板单侧屈曲问题的研究尚不充分。

本文选取多项式与谐波函数组合的屈曲位移函数，利用瑞利—里兹能量法导出了非受载边界为转动约束的矩形板在线性分布荷载下的单侧屈曲强度理论计算公式，并通过回归分析对计算公式进行了简化，形式简洁，精度满足工程要求，试验结果[10-13]与计算结果对比表明，两者吻合良好，验证了计算公式的有效性。为解释法分析线性分布荷载下，非受载边界弹性转动约束矩形板单侧屈曲问题提供了依据。

图1　矩形板单侧屈曲模式Fig.1　Buckling model of rectangle plate

1矩形板单侧屈曲分析

1.1矩形板屈曲分析的里兹变分法

非受载边弹性转动约束矩形板单侧屈曲模式如图1所示，板底为刚性支承基底，板长宽为b，面内荷载N作用于x=0和x=a边界。

假定满足板边界条件的屈曲位移函数形式为：

(1)

作用的面内荷载沿作用边线性分布，表达式为：

(2)

则板产生屈曲变形的弯曲弹性应变能：

(3)

非加载边弹性约束应变能：

(4)

面内荷载所做功为：

(5)

Π=Ue+UΓ-W，

(6)

由最小势能原理：

δΠ=δUe+δUΓ-δV=0。

(7)

选择适当的板屈曲位移函数，代入式(7)可得到板屈曲临界荷载的本征值问题，利用瑞利—里兹法可以求出板屈曲临界荷载。

1.2矩形板单侧屈曲位移函数

图1所示的刚性基底上矩形板的加载边夹支，垂直加载边板方向板位移用半波余弦调和函数模拟，非加载边弹性约束，垂直非加载边板方向板位移用多项式函数模拟，矩形板单侧屈曲位移函数假定为：

(8)

显然，位移函数满足矩形板加载边面外位移和转角为零的边界条件;由非加载面外位移为零和板边弯矩与约束力矩相等的边界条件，即：

(9)

确定位移函数(8)中的未知系数φ1、φ2、φ3。得板屈曲位移函数为：

(10)

其中定义χ为约束系数，是无量纲参数，即：

χ=ζb/D,

(11)

若χ=0(即ζ=0)，则非加载边(y=0或y=b)为简支边界；若χ=∞(即ζ=∞)，则非加载边(y=0或y=b)为固定边界。

1.3矩形板单侧弹性屈曲强度

将式(10)代入式(3)，式(4)和式(5)，对位移求一阶变分，则得到：

(12)

(13)

(14)

式中:

β1=(4 464+2 280χ+424χ2+34χ3+χ4)，β2=(864+432χ+108χ2+16χ3+χ4)，

β3=(3 672+1 872χ+354χ2+30χ3+χ4)。

将式(12)～式(14)代入式(7)，得到屈曲临界荷载的本征值问题，整理得：

(15)

令γ=a/b，则板屈曲系数为：

(16)

由此可见，屈曲系数k是约束系数χ、长宽比γ的函数。取λ=1，χ=0，10，100时，由式(16)对每一个半波m=1，2，3，4，…可绘制出k-γ关系曲线，如图2所示。可见，m=1，χ=0时，屈曲强度系数k在长宽比γ=1.5时取得最小值，而随m倍数增加，k在长宽比相应倍数处取得最小值，即为板的临界屈曲强度系数；χ=10和100时，屈曲强度系数k在长宽比γ=1.15和1.05处取得最小值，因此，随χ增大，相同屈曲半波数时，矩形板取得最小屈曲强度的长宽比减小。

(a)χ=0

(b)χ=10

(c)χ=100

图2k与γ关系曲线

Fig.2Curve ofk-γ

1.4临界屈曲强度系数kcr

由式(16)对γ求导，令∂k/∂γ=0，整理得使k取最小值的γ为：

(17)

式中:β4=864+792χ+228χ2+26χ3+χ4。

由式(17)可以得到m=1时，临界长宽比γcr与约束系数χ的关系曲线，如图3所示。由此可见，相同屈曲半波时，γcr随χ增大而减小。

将式(17)代入式(16)整理得板的临界屈曲荷载系数为：

(18)

1.5kcr与λ的关系

令χ=10，由式(18)可以计算出临界屈曲强度系数kcr与荷载梯度λ关系曲线如图4所示。由图4可见，荷载梯度λ为0 时，矩形板均匀受压，临界屈曲强度系数kcr最小，随λ增大，kcr逐渐提高，λ增大至1.5以后，由于受拉区明显增大，kcr迅速提高。

图3γcr与χ关系曲线

Fig.3Curve ofγcr-χ

图4kcr与λ关系曲线

Fig.4Curve ofkcr-λ

2屈曲强度系数计算公式简化

式(18)右边取λ为1时，有：

(19)

式(19)，χ与kcr的关系如图5所示，其中χ采用对数坐标。可以看出，每一条kcr-χ关系曲线都存在上、下两条渐进线，分别代表边界固支和简支时板的屈曲荷载系数kcr。在χ小于0.5时，kcr趋近于下界渐近线，由表1可知，此时kcr取简支边界(χ=0)的kcr值，误差在5.7%。在χ大于100时，kcr趋近于上界渐近线，由表5可知，此时kcr取简支边界(χ=∞)的kcr值，误差在3.7%。可见，边界约束系数χ小于0.5的板，可按简支边界板计算屈曲强度系数kcr；而边界约束系数χ大于100的板，可按固支边界板计算屈曲强度系数kcr。

表1　kcr边界的取值误差

图5kcr与χ关系曲线

Fig.5Curve ofkcr-χ

图6kcr-lgχ关系曲线及拟合直线

Fig.6Curve ofkcr-lgχand fitted line

χ在0.5～100，kcr随χ增大而显著提高，而且kcr与lgχ近于线性关系(如图6)，利用线性回归方法，得到式(19)的简化回归公式：

kcr=4.12lgχ+12.15,

(20)

用式(20)取代式(18)右边的第2项，式(18)可用回归公式简化为：

(21)

计算出kcr后，代入式(15)，得到屈曲强度：

(22)

3几种特定边界屈曲强度系数

荷载梯度λ不同，矩形板受力边面内压力形式不同，取λ=0，2/3，1，4/3等几种情况为代表，面内压力形式如图7所示。不同非受力边界下板屈曲强度系数计算如表2。

利用式(19)计算的矩形板遗传算法优化的非线性钢结构模糊控制算结果比较如表3。可见，边界条件相同的矩形板，单侧屈曲强度比双侧屈曲强度提高37%～58%。

表2　特定边界矩形板屈曲强度系数kcr

(a)λ=0

(b)λ=2/3

(c)λ=1

(d)λ=4/3

4应用

钢箱混凝土柱在压力作用下，钢箱壁板在面内压力作用下，都发生向外的单侧屈曲[8-9]，其非受力边界受相邻壁板约束；在受压区部分充填混凝土的钢箱混凝土梁[10]在弯曲荷载下，受压顶板受面内弯曲压力作用，可发生向上的单侧屈曲，纵向边界为非受载边，其转动受腹板约束；受压区腹板在弯曲压力作用下，可发生向外的侧向单侧屈曲，其上、下边界受钢箱顶板、水平隔板及下腹板转动约束。这些受压壁板的边界条件为介于简支和固支之间的弹性约束边界，其弹性约束系数χ的计算可利用文献[9]使用的方法。对于两非加载边约束系数χ不同的构件，考虑到对板件屈曲的控制作用，χ取受压较大一侧的计算值或两边界中χ较小者。

表4中试件(1)～(12)为方钢管混凝土柱；试件(13)～(16)为部分充填混凝土钢箱梁，顶板为屈曲计算板，腹板为约束板；试件(17)为部分充填混凝土钢箱梁，受压区腹板为屈曲计算板，顶板为计算腹板上边界约束板，水平隔板和下腹板为计算腹板的下边界约束板。从表4中计算结果看，试验值介于边界简支条件和边界固支条件的计算值之间，而且按边界简支或固支，计算结果与试验结果都有较大误差；利用边界弹性转动约束条件计算结果与试验结果较为接近，式(18)计算值与试验值之比在0.76～1.22，平均1.03，均方差0.117，变异系数11.4%，计算值略高于试验值，两者吻合良好。简化计算式(21)计算结果与式(18)的误差为-9.3%～2.9%，误差不大，两式比较，式(21)更为简洁方便。

表4　计算值与试验结果比较

5结语

①利用瑞利—里兹能量法导出了非受载边界为转动约束的矩形板在线性分布荷载下的单侧屈曲强度计算公式，通过回归分析对计算公式进行了简化，形式简洁，便于应用，精度满足工程要求；

②讨论了此类矩形板在均匀、三角形、梯形等分布压力下非加载边为简支、固支、弹性约束等情形下的单侧屈曲强度计算，与双侧屈曲板屈曲强度计算结果进行比较，单侧屈曲强度提高37%～58%；

③试验表明，计算值与试验值之比在0.76～1.22，平均1.03，均方差0.117，变异系数11.4%，两者吻合良好，对计算公式的有效性进行了验证。

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(责任编辑唐汉民梁碧芬)

Simplified calculation on unilateral buckling strength of rotationally-retrained compression rectangular steel plates

ZHENG Yan1,2, MO Shi-xu1,2, ZHAO Jian-guang2, LIN Fei-yang2, XU Hai-ning2

(1.Guangxi Key Laboratory of Rock-Soil Mechanics and Engineering, Guilin 541004,China;

2.Guilin University of Technology College of Civil Engineering and Architecture,Guilin 541004,China)

Abstract:In order to study the elastic unilateral buckling of rectangle plate with restrainted rotation along unloaded edges under linear pressure of steel box concrete composite beam, a proper buckling displacement function was chosen, and a set of critical load formulas for unilateral buckling rectangular plate was obtained by the Ritz variation method. Unilateral buckling strength was 37% ～ 58% larger than bilateral buckling strength for rectangular plate of the same boundary. Based on the relationship of buckling strength and retrained coefficient, the formulas were simplified by the regression analysis method. Therefore the formulas are concise and convenient for application. Some test results show that the ratio of the calculated value and test value is between 0.76 and 1.22, and that the average is 1.03. The predicted values are in good agreements with the test results, so the validity of the formulas is verified.

Key words:rotationally restraint; linear pressure; energy method; unilateral buckling strength; restrained coefficient

中图分类号：TI389.8

文献标识码：A

文章编号：1001-7445(2016)01-0099-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0099

通讯作者：莫时旭(1964—)，男，广西桂林人，桂林理工大学教授，博士;E-mail:478990056@qq.com。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51168011；51108109)；广西岩土力学与工程重点实验室资助项目(11-CX-05)

收稿日期：2015-09-03；

修订日期：2015-11-01

引文格式：郑艳，莫时旭，赵剑光,等.转动约束受压矩形钢板单侧屈曲强度计算简化[J].广西大学学报(自然科学版)，2016，41(1)：99-106.