巷道三点收敛观测法测点布置的复变函数解析

陈庆发，钟琼英，王 拓

(广西大学 资源与冶金学院，广西 南宁530004)

对岩石地下工程稳定性进行监测与预报，是保证工程设计、施工科学合理和安全生产的重要措施［1］。收敛观测是一种常用的围岩位移监测方法，这种方法简单易行，通过测量开挖巷道若干点的相对位移的变化，从而掌握围岩位移的变形发展动态，进而判断施工的安全程度以及检验围岩是否稳定，支护是否合理［2-3］。

在巷道围岩收敛观测研究领域，盛建龙［4］采用建立一种神经网络模型的方法对采场巷道进行收敛预测;许梦国等［5］通过对监测结果的分析，确定影响巷道收敛的因素，对监测结果中出现的一些特殊情况进行分析;付国彬［6］开展了考虑岩石破裂后强度衰减和体积膨胀条件下巷道围岩位移及收敛观测技术的研究。这些研究大多是对收敛观测结果进行分析，未探讨观测点的布置问题。赵同彬［7］曾基于遗传算法对巷道位移反分析进行了研究，其研究结果对于观测点布置起到了一定的借鉴作用。本文采用复变函数的方法探讨均质岩体巷道三点收敛观测法的测点准确布置问题。

1 均质岩体巷道收敛观测点布置的局限性

文献［2］指出，均质岩体巷道围岩收敛观测一般分为周边收敛量测和拱顶下沉量测，其测点与测线的布置方案如图1 所示。

对于均质岩体而言，由于巷道形状的对称性，在巷道顶底板中心点处的布点位置无疑是正确的，但巷道两帮或圆弧段上的观测点位置，大多由工程师根据个人经验确定，具有较大的随机性。这也是很多大型工程无法及时、准确地预测出片帮破坏现象的一个重要原因。

2 观测点布置的复变函数解析

图1 收敛观测测点测线布置图Fig.1 Arrangement of points and lines about convergence observation

2.1 复变函数方法

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数理论［8-9］。复变函数的优点在于能够把复杂的几何构型单连通域映射为较为简单的几何构型单连通域，从而在这个区域内利用解析函数的理论和边界条件确定待求的解析函数。

20 世纪以来，复变函数理论被广泛应用于弹性与弹塑性力学领域，Verruijt［10］采用复变函数方法分别研究不考虑岩土体自重情形下无衬砌浅埋隧道变形导致的地表变形问题，Strack 等［11］研究了考虑岩土体自重情况下由于隧道构造浮力效应所导致的地表变形问题，蔚立元等［12］利用复变函数开展了含圆孔半平面体的弹性分析，王立忠等［13］利用复变函数分析了盾构隧道施工引起的地基变形，吕爱钟等［14］应用复变函数方法对地下隧洞进行了详细的力学分析。

2.2 收敛观测点形变特征

根据文献［2］的分析，巷道两帮或圆弧段上收敛观测点应当具有竖直方向位移为零而水平方向位移最大的形变特征，确定巷道两帮或圆弧段上收敛观测点位置即是寻找满足上述形变的特征点。

为避免重力作用带来的不必要干扰，理论分析过程中将围岩重力分量忽略，仅考虑原岩地应力条件下的岩体开挖。

2.3 收敛观测点在复数平面上的位置

式中，Ck(k=0，1，2，3，…，n)取决于巷道断面形状，文献［15］给出了Ck的确定方法。

设Aj为巷道周边任意一点，其坐标为(rj，αj)，在单位圆上相应的映射点为Bj，Bj的极坐标为(1，βj)。

巷道断面内水平方向收敛观测点是巷道两帮竖直位移为零的点，即u=0。同时，所需找的点在巷道的边界上，巷道周边对应于ξ 平面上ρ=1 的边界，则可知EE=0，FF=0。

这样，式(1)可简化为:

即:

将AA、PP、UU、SS 分别代入式(4)，可得:

根据地下隧洞力学分析的复变函数方法，在解决实际问题时，只要n ≥4 计算得到巷道边界位移与实际位移相差较小，且n 取4 以及取4 以上相差不大，因此，在保证精确的情况下选取n=4 可保证计算方便。

在n 取4 时，式(4)可以化为:

运用三角函数二倍角以及三倍角公式可将式(6)化为:

将cosθ 看作一整体，可用解一元四次方程的费拉里方法来计算cosθ，这里只需求其实数根。

令a=8D，b=4C，c=2B-8D，d=A-3，e=D-B，则式(7)求解过程如下:

选取方程的解中值在(-1，1)范围内的值为cosθ 的值。

在ξ 平面cosθ 以及sinθ 求出之后，且巷道的边界上ρ=1，则收敛观测点在ξ 平面上的位置就很明确了，其极坐标可表示为(1，θ)。

2.4 收敛点在直角平面坐标系的位置

寻找到实际巷道上的点，需将ξ 复数平面上的点转化到z 直角平面上。根据复变函数的分析方法，其转换公式为:

式中，ξ=cosθ+isinθ。

将公式(8)展开，可得:

在z 平面的x 坐标(竖直方向坐标)即是式(9)右边的虚部，即:

在z 平面的y 坐标(水平方向的坐标)即是式(9)右边的实部，即:

所寻找的巷道收敛观测点位于巷道的两帮及或圆弧段上，在极坐标系中，θ 值取值区间为［30°，150°］，K 值取值区间为［-0.87 ～+0.87］，省去K 的高次方，简化后的x，y 值如下:

其次，根据复变函数分析原理，确定出直角坐标系的原点位置，如图2 所示。图中h1=h2，x 轴为巷道的中心对称轴。

求出巷道两帮或圆弧段收敛点的竖轴坐标后，对应于巷道两帮或圆弧段的点即为所求收敛点，即图2 中的M1、M2两点。

图2 直角坐标系原点与观测点Fig.2 The origin of rectangular coordinate system and observation points

以巷道底板为起点，换算成观测点高度，即为:

式中，H 为巷道高度。

3 讨 论

①依据平面应变问题的假设条件，巷道的轴向必须为主应力方向，对于轴向不是主应力方向，需进行坐标换算后再进行求解。

②巷道复变函数竖直位移分量的公式中n 取4，误差精度已满足日常岩石工程收敛观测技术要求，对于其他形状的巷道，如需要更加精确计算，还需对误差进一步分析研究。

③工程中采用本文理论研究成果，还需根据地应力参数和巷道形状参数，对观测点坐标值进行编程求解出具体位置。

4 结 语

本文采用复变函数的方法，通过对均质岩体巷道三点收敛观测点布置，巷道两帮与圆弧段竖直方向的位移进行解析，确定出竖向位移为零而水平位移最大的形变特征点，从而解决了三点收敛观测法测点准确布置的理论依据问题。

［1］ 杨强，刘耀儒，常强，等.结构变形稳定与控制理论及在岩土工程中的应用［J］.工程力学，2010，27(12):61-87.

［2］ 李造鼎.岩体测试技术［M］.北京:冶金工业出版社，1993.

［3］ 罗立强，王卫军，屈延嗣，等.深井岩巷分步联合支护技术应用［J］.广西大学学报:自然科学版，2013，38(1):228-234.

［4］ 盛建龙.基于神经网络模型的采场巷道收敛预测研究［J］.武汉科技大学学报:自然科学版，2005，28(2):172-174.

［5］ 许梦国，伍佑伦，叶义成.无底柱分段崩落法回采巷道收敛的影响因素分析［J］.矿业研究与开发，2001，21(1):12-14.

［6］ 付国彬.巷道围岩破裂范围与位移的新研究［J］.煤炭学报，1995，2(3):304-310.

［7］ 赵同彬.基于遗传算法的巷道位移反分析研究［J］.岩土力学，2004，25(增1):107-109.

［8］ 钟玉泉.复变函数论［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［9］ 陆明方，罗学富.弹性理论基础(下册)［M］.2 版.北京:清华大学出版社，2001.

［10］VERRUIJT A.Complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1997，21(2):77-89.

［11］STRACK O E，VERRUIJT A.Complex variable solution for a deforming buoyant tunnel in a heavy elastic half-plane［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2002，26(12):1235-1252.

［12］蔚立元，韩立军，陈晓鹏，等.含圆孔半平面体的弹性分析及其工程应用［J］.工程力学，2013，30(7):167-172.

［13］王立忠，吕学金.复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形［J］.岩土工程学报，2007，29(3):319-327.

［14］吕爱钟，张路青.地下隧洞力学分析的复变函数方法［M］.北京:科学出版社，2007.

［15］吕爱钟，蒋斌松，尤春安.位移反分析有限元网格划分范围的研究［J］.土木工程学报，1999，32(1):26-30.