基于DP准则的功能梯度材料冻结壁受力分析

荣传新，王　彬，彭世龙，程　桦

(安徽理工大学土木建筑学院， 安徽淮南232001)



基于DP准则的功能梯度材料冻结壁受力分析

荣传新，王彬，彭世龙，程桦

(安徽理工大学土木建筑学院， 安徽淮南232001)

摘要：为了更好地分析深厚冲积层冻结壁的力学特性，基于Druker- Prager强度准则，将冻结壁视为力学性质呈抛物线变化的功能梯度材料(FGM)的厚壁圆筒，推导出FGM冻结壁弹性区和塑性区的应力解析表达式，以及作用于冻结壁上的外荷载p与塑性区相对半径ρ之间的关系式。计算结果表明：冻结壁的径向应力随相对半径r的增大而增加，冻结壁环向应力随相对半径r呈抛物线形变化，并且冻结壁塑性区的环向应力与外荷载大小无关，只与其所处位置有关。另外，由工程实例计算可得，冻结壁在530 m处承受的外荷载p为6.36 MPa，约等于冻结壁的弹性极限力6.33 MPa，小于其塑性极限承载力18.89 MPa，表明该冻结壁是安全的。

关键词：冻结法凿井；冻结壁；Druker-Prager强度准则；功能梯度材料(FGM)；极限承载力

0引言

对于冻结壁的研究可以分为均质冻结壁与非均质冻结壁两类。在均质冻结壁研究方面，梁惠生[1]基于摩尔—库伦强度准则对有内衬情况下的均质冻结壁进行了弹塑性分析，并提出了冻结壁厚度的简易计算公式。汪仁和等[2]基于摩尔—库伦强度准则对无内衬均质冻结壁进行了力学特性分析。杨维好等考虑冻结壁与围岩的相互作用，分别从弹性、弹塑性以及塑性三个方面对冻结壁进行了力学特性分析，并且得出了新的冻结壁厚度的求解公式[3-7]。在非均质冻结壁研究方面，尤春安[8]给出了非均质冻结壁弹性应力分布的解析解，并进一步探讨了非均质冻结壁的弹塑性应力状态。袁文伯等[9]考虑冻结壁土质的非均匀性，推导出非均质冻结壁厚度的解析解。胡向东在总结已有理论的基础上，将温度场等效成抛物线形和梯形分布，并将冻结壁视为材料性质呈抛物线和梯形变化的功能梯度材料(FGM)，在均布荷载下基于摩尔—库伦强度准则对冻结壁进行了力学特性分析[10-11]。

随着冻结法凿井穿越的冲积层厚度增加，作用在冻结壁上的荷载也不断增大，采用Druker-Prager强度准则，能更好地表征深厚冲积层冻结壁的力学特性[12-14]。同时，冻结壁的性质与温度存在着密切的关系[15-16]，将冻结壁温度场等效成抛物线分布，从而将冻结壁简化为材料的力学性质呈抛物线变化的功能梯度材料(FGM)[17-19]厚壁圆筒，即冻结壁的弹性模量与粘聚力随半径呈抛物线变化，并结合Druker- Prager强度准则对其进行弹塑性力学特性分析，可为冻结壁设计提供理论依据。

1计算模型及基本假设

根据文献[10]提出的假设，当温度场呈抛物线形变化时，弹性模量E、粘聚力C也将呈抛物线形变化(由于泊松比与内摩擦角受温度的影响比较小，在此不做考虑)，可以将均布荷载下温度场呈抛物线形变化的冻结壁简化成如图1所示的FGM厚壁圆筒进行求解。图1中p为冻结壁外荷载，σρ为塑性区与弹性区间的相互作用力；R表示冻结壁的任一点半径，RB表示内半径，RH表示外半径，Rρ表示塑性区半径。塑性区相对半径ρ=Rρ/RB，外半径与内半径之比rH=RH/RB，冻结壁任一点相对半径r=R/RB。

冻结壁材料性质随着半径的变化呈抛物线形分布，即：

(1)

图1　FGM冻结壁计算模型Fig.1　Calculation model of FGM frozen soil wall

式中，r为冻结壁任一点相对半径；m1,m2,m3,n1,n2,n3为待定常数。

2冻结壁应力求解

2.1　弹性状态下应力场

FGM冻结壁计算模型如图1所示，当冻结壁完全处于弹性状态时，应力的计算公式[10]为：

(2)

(3)

式中，p为冻结壁外荷载，rH为冻结壁外半径与内半径之比，m1,m2,m3为式(1)中弹性模量E(r)的待定常数。

2.2　弹塑性状态下应力场

当外加荷载超过弹性极限荷载，但低于冻结壁的塑性极限承载力时，冻结壁处于弹塑性状态，此时的冻结壁由内缘向外依次分为塑性区与弹性区。

2.2.1塑性区应力场

冻结壁进入塑性区后，满足Druker-Prager强度准则，如式(4)所示:

(4)

在平面轴对称应变问题中,对式(4)进行变换，可得：

(5)

塑性区内的平衡方程[12]为：

(6)

联立式(5)和式(6)得：

(7)

求解微分方程(7)，可得径向应力的通解为：

(8)

(9)

将式(9)代入式(8)可以得到径向应力的特解，式中，n1,n2,n3为式(1)中弹性模量C(r)的待定常数。

从而，由式(5)可以求得塑性区的环向应力：

(10)

将式(8)代入式(10)即可求得环向应力值。

2.2.2弹性区应力

(11)

(12)

2.3　塑性区半径

假设塑性区的相对半径为ρ，在r=ρ处，弹性区的内侧屈服，满足Druker-Prager准则以及连续条件，由式(5)、式(11)和式(12)可得：

(13)

(14)

3工程算例

淮南矿区杨村矿主井采用人工地层冻结法施工，在深度为530 m处为粉质粘土，冻结壁的内半径RB=6 m，对应的井帮温度为-8 ℃，外半径RH=18 m，对应的温度为-3 ℃，rH=RH/RB=3，冻结壁温度场抛物线顶点的温度为-28 ℃。通过计算可得温度场的抛物线方程为式(15)，冻结壁的平均温度为-20.5 ℃。实验测得杨村矿主井的冻结粉质粘土的力学参数见表1。

表1　冻土试验数据

把冻结壁温度场的抛物线方程式(15)代入表1中，可得冻结粉质粘土弹性模量和粘聚力的表达式为式(16)和式(17)。

T(r)=22.5r2-87.5r+57,

(15)

E(r)=-233.55r2+908.25r-567.97,

(16)

C(r)=-5.63r2+21.88r-13.35,

(17)

由式(16)和式(17)可得式(1)中的参数m1=-233.55，m2=908.25，m3=-567.97；n1=-5.63，n2=21.88，n3=-13.55。

冻结壁外荷载p一般按重液公式进行计算，即：

p=0.012h,

(18)

式中，h为计算深度,单位为m。

依据推导的FGM冻结壁的应力求解公式，得出冻结壁在弹性极限和塑性极限状态下的应力分布如图2(a)所示；当冻结壁承受的外荷载p分别为12.02 MPa、16.09 MPa和18.24 MPa时，对应的塑性区相对半径ρ分别为1.5、2.0以及2.5，其应力分布如图2(b)所示。

由图2可知，冻结壁径向应力σr随着r的增大而不断增加。由图2(a)可见当冻结壁处于弹性极限状态，即p=6.33 MPa时，冻结壁环向应力呈抛物线形变化，在r=1.6处环向应力达到最大值11.15 MPa；当塑性区相对半径ρ=3时，冻结壁处于塑性极限状态，此时外荷载为18.89 MPa，冻结壁环向应力也呈抛物线形变化，当r=2.4时冻结壁的环向应力达到最大值37.44 MPa。由图2(b)可见，冻结壁塑性区环向应力σθ与外荷载大小无关，只与位置有关，当塑性区的相对半径ρ<2.4时，冻结壁环向应力σθ的最大值出现在弹塑性分界线上；当塑性区的相对半径2.4≤ρ<3时，冻结壁的环向应力σθ的最大值出现在r=2.4处。

(a) 弹性、塑性极限荷载作用下冻结壁应力分布

(b) 不同的外荷载作用下冻结壁的应力分布

图2冻结壁应力分布图

Fig.2Stress distribution of frozen wall

塑性区相对半径与外荷载之间的关系如图3所示，随着冻结壁外荷载增加，塑性区的半径也不断增大。当塑性区相对半径ρ=3时，冻结壁处于塑性极限状态，此时的外荷载为18.89 MPa，即杨村矿主井冻结壁的极限承载力，而该矿主井冻结壁在深度530 m处承受的外荷载由式(18)可得p=6.36 MPa，该荷载约等于弹性极限荷载，表明冻结壁是安全的。

弹性和塑性极限荷载与冻结壁外半径与内半径比rH的关系曲线如图4所示，由图4可见随着rH的增大，弹性与塑性极限荷载不断增加，但弹性极限荷载的增长速度逐渐变小，塑性极限荷载随着rH呈直线增加。

图3外荷载与塑性区相对半径之间的关系

Fig.3Relationship between plastic zone radius

and external load

图4弹性和塑性极限荷载与rH的关系

Fig.4Relationship between elastic and plastic

limit load andrH

4结语

①由冻土实验可知，其弹性模量和粘聚力与温度呈一次函数关系，另外，冻结壁温度场呈抛物线形分布，从而可将冻结壁视为力学性质呈抛物线变化的功能梯度材料(FGM)的厚壁圆筒，即冻结壁的弹性模量与粘聚力随半径呈抛物线变化，并结合Druker- Prager强度准则，推导出FGM冻结壁弹性区和塑性区的应力解析表达式，以及冻结壁外荷载与塑性区相对半径之间关系。

②冻结壁的径向应力随着相对半径r的增大而增加，其环向应力均呈抛物线的变化；在弹性极限荷载(p=6.33 MP)作用下，冻结壁环向应力在r=1.6处达到最大值11.15 MPa；在塑性极限荷载(p=18.89 MPa)作用下，冻结壁环向应力在r=2.4处达到最大值37.44 MPa；另外，冻结壁塑性区的环向应力与外荷载大小无关，只和其所处位置有关。

③该矿主井冻结壁在深度530 m处承受的外荷载p=6.36 MPa，约等于冻结壁的弹性极限荷载，小于其塑性极限承载力18.89 MPa，表明冻结壁是安全的。

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(责任编辑唐汉民梁碧芬)

Study on mechanical characteristics of functionally graded material frozen soil wall basing on Druker-Prager strength criterion

RONG Chuan-xin, WANG Bin, PENG Shi-long, CHENG Hua

(School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology,

Huainan 232001, China)

Abstract:In order to analyze the mechanical properties of frozen soil wall in deep thick alluvium, based on the Druker-Prager strength criterion, a frozen soil wall was treated as a thick cylinder made by functionally graded material (FGM) with the mechanical properties change parabolically with the radius. The analytical expression of stress in the elastic zone and plastic zone of the FGM frozen soil wall and the relationship between the external load on the frozen soil wall p and the relative radius of the plastic zone ρ were deduced. The results show that the radial stress increases with the increase of the relative radius r, and the hoop stress changes parabolically with the relative radius r. The plastic zone hoop stress of the frozen soil wall has nothing to do with the external loading and is related to the location. The calculation of a project shows that the external load p of the frozen soil wall at 530 m equals to 6.36 MPa.The load p approximately equals to the elastic limit strength 6.33 MPa of the wall and is much less than the plastic ultimate bearing capacity of the wall, 18.89 MPa, which indicates that the frozen soil wall is safe.

Key words:freezing sinking method; frozen soil wall; Druker-Prager strength criterion; functionally graded material (FGM); ultimate bearing capacity

中图分类号:TD265

文献标识码:A

文章编号：1001-7445(2015)06-1339-06

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1339

通讯作者：荣传新(1968—)，男，安徽六安人，安徽理工大学教授，博士，博士生导师; E-mail:chxrong@aust.edu.cn。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51374010;51474004)

收稿日期：2015-09-11；

修订日期：2015-10-20