基于线性控制参数的非线性汽车悬架最优控制

岳书常，许英姿，刘灿昌，巩庆梅，任传波，周继磊

(山东理工大学交通与车辆工程学院， 山东淄博255049)



基于线性控制参数的非线性汽车悬架最优控制

岳书常，许英姿，刘灿昌，巩庆梅，任传波，周继磊

(山东理工大学交通与车辆工程学院， 山东淄博255049)

摘要：为研究非线性汽车悬架的振动控制问题，提出一种基于线性控制参数的最优控制方法。建立了两自由度悬架非线性动力学和数学模型，引入速度和位移线性控制参数，采用平均法导出悬架的主共振幅频响应特性，分析了激励幅值、非线性程度及控制参数的变化对共振幅值的影响。对悬架的稳定性进行分析，在保证振动方程存在稳定解的条件下，得到控制参数的取值范围。以悬架的衰减率和振动能量为目标函数，以控制参数取值范围为约束条件，利用最优化方法得到最优控制参数。研究发现，悬架的非线性振动特性受激励幅值和系统非线性程度的共同影响，在控制过程中速度控制参数起主要作用，当两种控制参数取得最佳值时，悬架共振峰值较无控制参数可衰减88%左右，且悬架的非线性振动特性得到消除。最后利用数值仿真，验证了该方法的有效性。

关键词：非线性汽车悬架；线性控制参数；平均法；衰减率；能量函数；最优控制

0引言

受能源、环境、技术等条件的制约，传统汽车的发展逐渐放缓，在现有技术的基础上，提高用户乘车的舒适性和安全性显得尤为重要，而对这两个性能指标影响最大的便是汽车悬架[1-4]。

基于线性系统的最优控制在线性悬架的主动控制中有效地提高了悬架的性能[1, 5-9]，但这些工作主要围绕线性汽车悬架的动力响应分析、参数优化及主动与半主动控制方法的研究，而悬架作为典型的非线性系统[10-11]，受路面激励时会产生复杂的动力学行为，采用此方法在一定程度上存在很大的局限性。因此，众多学者围绕非线性汽车悬架的控制问题开展了广泛的研究。梁山等[11]利用仿真和实验验证了非线性汽车悬架受路面激励而发生混沌运动的可能性。冯菲等[12]对4种路面激励下汽车非线性悬架最优控制展开研究，通过设计合适的系统参数能够得到较好的振动控制效果。江雄[13]采用等效线性化的方法研究了不同工况下1/4车非线性悬架的随机最优控制，虽然能取得较好的减振效果，但仅限于四分之一车悬架的随机响应及主动控制。在改进控制策略方面，陈宁等[14]基于分数阶微分理论结合天棚阻尼控制策略得到一种改进的主动控制策略，虽然控制效果较好，但结构较为复杂。范建文等[15]提出一种最优控制与模糊控制相结合的复合控制策略，这实际上是在一定程度上对最优控制及模糊控制进行优化，二者结合有效提高控制效果。

就上述研究现状来看，在非线性控制方法的理论研究方面取得了一定的进展，但在控制过程中得到合适的反馈控制增益却不容易。另外，悬架作为机电液耦合系统，不可避免的存在时间滞后，这会导致控制系统失稳或出现混沌等复杂运动[2,16]。

为了更好的实现非线性汽车悬架的控制，提高振动控制对激励变化的适应性。本文以1/4车悬架模型为对象，通过引入线性控制参数，分析汽车悬架非线性振动特性影响因素，在保证振动方程存在稳定解的基础上得到控制参数的取值范围，以衰减率和能量函数为目标函数，利用最优化方法得到最优控制参数，进而得到满意的振动控制效果。

1非线性悬架模型

以1/4车体为研究对象，建立悬架两自由度模型，如图1所示。图1中，m1、m2分别为车体质量和车轮质量，c为悬架阻尼系数，k1、k2分别为悬架刚度系数和轮胎刚度系数，x1、x2和x0分别表示车身位移、车轮位移和路面不平度函数。

图1所示的悬架的动力学方程为

(1)

图1　两自由度1/4汽车悬架模型Fig.1　The quarter vehicle model with two degree-of-freedom

式中，ε(0<ε<1)表示悬架弹簧的非线性程度；x0=Acosωt，其中A表示激励幅值，ω表示激励频率。

令z1=x1-x0，z2=x2-x0，则式(1)变为

(2)

在线性控制参数作用下，式(2)变为

(3)

2求解非线性振动方程

假设式(3)的解满足

zi=aicos(ωt-θi)i=1,2,

(4)

(5)

其中，ai、θi均为时间t的慢变函数，并记φi=ωt-θi。

对式(4)求微分，得

(6)

由式(5)、(6)可以得到

(7)

将式(4)、(5)带入式(3)中，整理得

(8)

其中，

由式(7)、(8)可得

(9)

利用平均法，将式(9)在[02π]上平均积分，即

(10)

通过计算，得

(11)

(12)

本文只考虑激励频率接近悬架固有频率ω1或ω2时的主共振情况，并且在非内共振情况下，当ω接近ω1时，与a1相比，a2是小量；当ω接近ω2时，与a2相比，a1是小量。所以式(11)、(12)变为

(13)

(14)

(15)

(16)

消去θi，得到主共振幅频响应方程

(17)

由式(17)可得，主共振峰值大小分别为

(18)

相应的无控制时主共振峰值大小为

(19)

为了评价振动控制的效果，将有控制、无控制时悬架主共振振幅峰值的比值定义为衰减率，第一阶和第二阶主共振时的衰减率分别为

(20)

由式(20)可知，当衰减率01时，说明振动控制前后主共振振幅增大，未起到减振作用。

3运动稳定性及最优控制分析

只对车身运动进行稳定性分析。悬架非线性振动解的稳定性由式(13)的矩阵的所有特征值所决定，考虑到其特征方程为

(21)

由稳定性定理[17]知，对于μe>0，系统稳定的条件为

(22)

由式(22)可以得到

(23)

(24)

(25)

(26)

为了评价控制参数对悬架非线性振动的控制效果，将最优化控制中的衰减率和振动能量的加权平方和作为优化函数，将控制参数取值范围作为最优控制的约束条件，即

J=ρ1R2+ρ2E2,

(27)

s.t.

(28)

(29)

选择图1所示的悬架作为仿真模型，各参数的取值分别为：m1=240 kg，m2=36 kg，k1=16 000 N/m，k2=160 000 N/m，c=250 N·s/m，A=0.10 m，ε=0.4。

利用MATLAB，设置不同的速度控制参数限值，得到优化计算结果如表1所示，其中gu1和gu2分别对应于式(29)所表示的位移控制参数gu的两种不同取值。表1表明，控制参数限值λ取值的不断减小，使得控制参数gu和gv呈现出减小的趋势，衰减率R由1.000变化到0.290，振动能量E也相应地分别取得不同值。这就是说，通过设置λ的取值，控制参数会相应的做出变化，进而可以得到不同的振动控制效果。

表1　优化计算结果

4数值仿真

为了分析控制参数对悬架非线性振动的减振作用，首先考虑不同激励幅值和非线性程度对悬架主共振幅值的影响(以第一阶主共振为例)。图2表示非线性程度取固定值(ε=0.4)，激励幅值取不同值时的第一阶主共振幅频曲线。从图2可以看出，随着激励幅值的增大，主共振振幅随之增大，而共振频率变化不大；当激励幅值较小时(A=0.05 m)，悬架振动呈现出线性特性，随着激励幅值的增大，线性特性逐渐减弱，当A=0.10 m时，呈现出非线性特性。

图3表示激励幅值取固定值(A=0.10 m)时不同非线性程度下的主共振幅频曲线。从图3可以看出，当激励幅值一定时，随着非线性程度的增大，悬架振动逐渐由线性特性转变为非线性特性，主共振振幅随着ε的增大而增大，而主共振频率变化不大。

图2ε=0.4时不同激励幅值下的幅频曲线

Fig.2Amplitude-frequency curves with different

amplitude of the excitation, whereε=0.4

图3A=0.1 m时不同非线性程度下的幅频曲线

Fig.3Amplitude-frequency curves with different

nonlinear degree, whereA=0.1 m

通过图2和图3还可以发现，悬架非线性特性的出现受激励幅值和非线性程度二者的共同作用，当非线性程度较大(ε=0.4)、激励幅值较小(A=0.05m)，或者非线性程度较小(ε=0.1)、激励幅值较小(A=0.10m)时，均表现出线性特性。

取A=0.10m，ε=0.4，其他参数保持不变，得到控制参数对共振幅值的影响如图4所示。当A=0.10m时，在gv不变(gv=0)、gu变化的情况下，悬架振动表现出非线性特性，随着gu取值的减小，非线性程度有所增加，并且主共振峰值所对应的激励频率向左偏移，而主共振峰值变化较小，如图4(a)所示。当gu=0、gv发生变化时，随着gv取值的减小，主共振幅值明显减小，而主共振峰值对应的激励频率变化不大，如图4(b)所示。从图4(b)还可以看出，随着gv取值的减小，悬架的非线性特性程度逐渐减弱直至完全变为线性特性。

图4(c)表示gu和gv均发生变化时主共振幅值与激励频率之间的关系曲线。从图4(c)中可以看出，随着gu和gv的变化，主共振幅值逐步减小，特别是当gu=6.16和gv=0变化到gu=0.11和gv=-8时，主共振幅值由0.85 m减小到0.10 m左右，这说明在两种控制参数作用下，悬架振动控制效果较无控制参数能够提高88%。对比图4(a) ~ (c)还可以发现，gv在控制过程中起主要作用，其对悬架系统的减振效果明显优于gu对系统的减振效果。

(a)gv=0

(b)gu=0

(c) gv≠0且gu≠0

图5表示不同激励频率下速度控制参数变化曲线。由图5可以看出，随着激励频率ω的增大，速度控制参数gv逐渐减小，表明当激励频率变化时，速度控制参数也会随之变化，速度控制参数对于激励的变化表现出良好的适应性。从图5还可以看出，当激励频率ω不变时，增大非线性程度ε的取值，速度控制参数gv不断减小，这种现象说明非线性程度在控制作用中的作用不可忽视。

图6表示不同激励频率下非线性程度ε对衰减率R的影响。从图6可以看出，随着ε的增大，衰减率随之减小，意味着悬架主共振幅值的减小，进一步说明了减振效果。另外，对于某一固定激励频率ω下，随着非线性程度ε的增大，速度控制参数gv不断减小，同样表现出控制参数对于不同非线性程度的适应性。

上述算例的分析表明，非线性汽车悬架的振动受激励幅值和非线性程度二者的共同作用，在控制参数的作用下，悬架振动所表现出的非线性现象得到抑制，并且振幅峰值大幅度衰减。另外，当激励或系统参数发生变化时，由最优化控制得到的最优控制参数能做出相应的变化，避免失稳现象的发生。因此，相比于其他最优化控制方法，基于线性控制参数的最优化控制方法表现出了较强的优越性。

图5ε取不同值时激励频率ω对gv的影响

Fig.5Effect ofωongv with different values ofε

图6ε取不同值时激励频率ω对R的影响

Fig.6Effect ofωonRwith different values ofε

5结论

对于两自由度非线性汽车悬架，本文采用引入线性控制参数研究激励和非线性程度分别变化对悬架振动的影响以及控制参数对悬架的减振作用，得到如下结论：

①悬架的非线性特性受激励幅值和系统非线性程度的共同影响，仅考虑激励幅值或非线性程度并不足以说明悬架振动的非线性特性，悬架的非线性振动是激励和弹簧非线性联合作用下的运动。

②在悬架非线性振动中引入线性控制参数gu和gv，一方面悬架共振峰值由0.85 m降到0.10 m左右，振动衰减效果明显，另一方面在振动过程中出现的非线性特性得到消除。另外，从控制效果来看，速度控制参数gv优于位移控制参数gu，而且gu和gv取不同值时悬架主共振幅值降低程度不同，即产生不同的控制效果。

③基于线性控制参数的最优化控制是研究悬架非线性振动的一种有效方法。当激励或非线性程度发生变化时，控制参数也会随之变化，但仍取得良好的控制效果，说明控制参数对于激励或非线性程度的变化具有一定适应性。

④基于线性控制参数的振动控制相对简单且容易理解，与无线性控制参数时相比，振动控制效果可以提高88%，为悬架减振控制研究提供了基础。事实上，悬架作为强耦合系统，不可避免的存在时间滞后问题，因此基于控制参数的非线性汽车悬架最优控制效果有待进一步的实验验证，这也是今后工作的重点。

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(责任编辑梁健)

Optimal control of nonlinear vehicle suspension based on linear control parameters

YUE Shu-chang, XU Ying-zi, LIU Can-chang, GONG Qing-mei, REN Chuan-bo, ZHOU Ji-lei

(School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In order to study the vibration control of nonlinear vehicle suspension, an optimal control method is presented by using control parameters and applied to the control of nonlinear vibration of vehicle suspension system. The nonlinear dynamic and math model of two degree-of-freedom suspension system is built and the linear control parameters of velocity and displacement are applied. The amplitude-frequency response is obtained by averaging method. The following analysis of the effects of excitation amplitude, nonlinear degree and the control parameters on resonance amplitude are studied. The suspension system stability is analyzed, and the range of control parameters is gained on the condition of stable solution of the system. Taking the attenuation rate and vibration energy of suspension system as objective functions and the stable control parameters as constraint conditions, the optimal control parameters are calculated by the optimization method. The results show that the nonlinear vibration characteristic of vehicle suspension is influenced by the amplitude of excitation and the nonlinear degree of the system. The control parameter of velocity plays the main control role. The peak amplitude of suspension vibration can be suppressed about 88% when the optimal values of two control parameters are obtained by comparing with no control parameters, and the nonlinear characteristics can be eliminated. Finally, a simulation example validated the correctness and effectiveness of the results.

Key words:nonlinear vehicle suspension; linear control parameters; averaging method; attenuation rate; vibration energy; optimal control

中图分类号：O322；U463.33

文献标识码：A

文章编号：1001-7445(2015)06-1372-09

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2015.1372

通讯作者：许英姿(1961—)，女，山东淄博人，山东理工大学副教授; E-mail：xuyz@sdut.edu.cn。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275280)

收稿日期：2015-10-26；

修订日期：2015-11-12