超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的异结构同步

□蒋 楠

(山西广播电视大学，山西 太原 030027)

引言

最近几年，人们掀起了超混沌系统异结构同步研究的热潮，其中4维不同超混沌系统之间的同步问题已经成为研究者关注的一个重要研究方向。在保密通讯应用中，由于高维非线性动力系统中通常会产生超混沌现象，即同时存在2个或2个以上的正的Lyapunov指数，故其保密性和抗破译性有了很大的改观，因此研究超混沌系统的异结构同步具有很重要的价值。

Rssler给出了超混沌的概念，并提出了超混沌Rossler系统。经典Lorenz系统通过设计非线性状态反馈控制器使之产生了超混沌行为。文献［5］通过引入坐标变换分析了投影同步的产生机理，实现了单向耦合超混沌Lorenz系统的投影同步，文献［6］采用自适应同步方法，实现了4个不确定参数的超混沌Lorenz系统的同步。以上文献集中讨论了两系统的参数和动力学方程相同条件下，超混沌系统的同步。而在实际应用中，受噪声和系统硬件等方面的影响，几乎不存在两个参数完全相同的系统。文献［7］实现了参数全部未知的情况下，Lorenz系统与Rossler系统的主动与自适应同步。文献［8］研究了超混沌Rossler系统和超混沌Lorenz系统的全状态混合投影同步。以上工作均没有实现在参数不确定的情况下，超混沌系统的异结构同步问题。本文基于Lyapunov稳定性理论，实现了在参数全部未知情况下，超混沌Lorenz系统和超混沌Rossler系统的主动与自适应同步，并用Matlab6．5软件进行数值模拟，仿真结果表明该方法的有效性。

一、超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的主动同步

为了实现超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的主动同步，选取超混沌Rossler系统为驱动系统:

以超混沌Lorenz系统为响应系统:

式(2)中 u1，u2，u3，u4为控制函数，以实现驱动系统系统(1)与响应系统(2)的同步，由(2)减(1)得到误差系统

由此将超混沌系统的主动同步转化为误差系统(3)在零点的稳定性问题。式中ei=yi-xi，定义非线性反馈控制函数如下:

将(4)代入(3)中，得到误差系统

误差系统(5)是一个线性系统，V1，V2，V3，V4为误差状态e1，e2，e3，e4的控制输入函数，能起到镇定系统的作用，当t→∞时，e1，e2，e3，e4收敛于 0，这就说明驱动系统与响应系统达到了主动同步。对于 V1，V2，V3，V4有多种选择，若

式中:A为4×4常数矩阵，为了使闭环系统稳定，若选择矩阵A为以下形式:

则反馈系统(5)的特征值为-1，-1，-1，-1，这种情况下，当 t→∞时，误差状态 e1，e2，e3，e4收敛到 0，这就意味着超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统达到主动同步。

二、超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的自适应同步

自适应同步方法是在参数未知或者系统不确定，或受外界噪音、随机扰动影响下，设计合理的自适应控制函数。在系统运行过程中，发现问题并且提取相关信息，使系统模型逐步优化完善，从而达到所预期的控制目标。因此自适应同步方法具有广泛适用性。

如果超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统之间的误差ei(i=1，2，3，4)随时间的变化逐渐趋于零，则两系统达到同步。假设系统参数 a1，b1，c1，d1，r1，a，c，d 全部未知，由响应系统(2)减去驱动系统(1)得到误差动力系统(3)。

定理1:任意初始条件下，若选择参数自适应率β=ke4(k为常数)和反馈控制函数u(x)为:

则驱动系统(1)和响应系统(2)达到全局渐进同步。

证明:将反馈控制函数(6)代入误差动力系统(3)中，则误差系统为:

构造Lyapunov函数

则此函数沿着误差系统的全导数为:

如果a1＞0，c1＜0，d＞0，k＜0，则全导数˙v≤0。根据Lyapunov稳定性理论，误差动力系统一致渐进趋于原点。因此在参数自适应率与非线性反馈控制函数的调控下，超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统达到自适应同步。

三、运用Matlab6．5进行数值模拟

运用Matlab6．5编程，采用步长为0．001的四阶Runge-Kutta法进行仿真。当参数值 a=0．25，b=3，c=0．5，d=0．05，a1=35，b1=7，c1=12，d1=3，r1=5 时，两系统同时达到混沌。当时间 t=10s，取初值 x1(0)=3，x2(0)=-4，x3(0)=2，y1(0)=-3，y2(0)=4，y3(0)=-2，y4(0)=-2，e(0)=［-5，4，-7，2］，得到误差 e1，e2，e3，e4随时间变化迅速趋于零的图像，表明超混沌Lorenz系统和超混沌Rossler系统达到主动同步。

图1 参数全部未知的主动同步误差图

图2 采用自适应方法(一)的同步误差图

从方程(7)出发，选取初值 e(0)=［-8，4，1，2］时，超混沌Lorenz系统和超混沌Rossler系统的异结构自适应同步的数值仿真见图2。

结论

本文研究了超混沌Lorenz系统与超混沌Rossler系统的主动同步与自适应同步问题。首先从理论上构造了超混沌误差系统，通过设计合适的控制函数与参数自适应率，使得驱动系统与响应系统达到同步，采用Lyapunov函数理论来判据同步误差系统的稳定性，同时利用Matlab6．5软件对其进行了数值模拟仿真，从而判定了在参数全部未知的情况下，两个超混纯系统的异结构同步，其保密性和抗破译性更强。因此超混纯系统的异结构混纯同步可望在保密通讯应用中大显身手。两个超混沌系统达到同步。

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［6］张若洵．不确定超混沌Lorenz系统的参数自适应同步［J］．河北师范大学学报，2008，(4):729．

［7］蒋楠，魏毅强．Lorenz系统与Rossler系统的异结构同步［J］．动力学与控制学报，2011，(2):131-134．

［8］张群娇．超混沌Rssler系统和超混沌Lorenz系统的全状态混合投影同步［J］．动力学与控制学报，2009，(2):148-152．