广义延拓矩阵的LDU分解和Cholesky分解

伍亚魁 吴桂权 简芳洪

(1九江学院理学院 江西九江 332005；2九江市彭泽县第一中学 江西彭泽 332700)

现实生活中，很多实际问题，都可转化成数学线性问题，进而利用矩阵解决．文献[1-4]提出延拓矩阵的概念，文献[5]在此基础上提出广义延拓矩阵.文献[6，7]提出行(列)对称矩阵，并根据母矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解给出行(列)对称矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解公式[8]．本文在文献[6，7]的基础上给出了广义延拓矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解的公式，可极大地减少广义延拓矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解的计算量与存储量，而且不会丧失数值精度，从而拓宽了文献[1～4]的理论应用范围.

1广义延拓矩阵的概念

A称为R(A；P1,P2,…,Pk-1)的母矩阵.

定义2[1，2，5](广义列延拓矩阵) 令A∈Rm×n，可逆矩阵P1,P2,…，Pk-1∈Rn×n,k为任意给定的正整数.定义广义列延拓矩阵C(A;P1,P2,…,Pk-1)为：

C(A;P1,P2,…,Pk-1)=[A,AP1,AP2,…,APk-1]∈Rm×kn

A称为C(A;P1,P2,…,Pk-1)的母矩阵.

注：(1)当P1=P2=…=Pk-1=I(单位矩阵)时，R(A;P1,P2,…,Pk-1)为文献[1]的第一类k次行延拓. 当P1=P2=…=Pk-1=P(置换矩阵)时，R(A;P1,P2,…,Pk-1)为文献[2，3]的第二类k次行延拓.

(2)当P1=P2=…=Pk-1=I(单位矩阵)时，C(A;P1,P2,…,Pk-1)为文献[1]的第一类k次列延拓. 当P1=P2=…=Pk-1=P(置换矩阵)时，C(A;P1,P2,…,Pk-1)为文献[2，3]的第二类k次列延拓.

由以上定义，显然有以下结论.

性质1[1，2，5](保秩性)

rankR(A;P1,P2,…,Pk-1)=rankC(A;P1,P2,…,Pk-1)=rank(A).

性质2[1，2，5](转置关系)

性质3[1，2，5](矩阵相乘关系)

XC(A;P1,P2,…,Pk-1)=C(XA;P1,P2,…,Pk-1).

2 广义延拓矩阵的几种分解

2.1 LDU分解

2.2 Cholesky分解

证明：

=[G-1A(GT)-1,0,0,…,0]=[In,0].

2.3 三对角分解

=[T-1AT,0,0,…,0]=[C0]

参考文献：

[1]邹红星，王殿军，黛琼海，等.延拓矩阵的奇异值分解[J].科学通报，2000，45(14)：1560.

[2]邹红星，王殿军，黛琼海，等.延拓矩阵的奇异值分解[J].电子学报，2001，29(3)：289.

[3]邹红星，王殿军，黛琼海，等.行(或列)对称矩阵的QR分解[J].中国科学(A)，2002，32(9)：843.

[4]蔺小林，蒋耀林. 酉对称矩阵的QR分解及其算法[J].计算机学报，2005，28(5)：817.

[5]许成锋 刘智秉，王侃民，等. 广义延拓矩阵的QR分解[J].九江学院学报(自然科学版)，2009，29(6)：78.

[6]袁晖坪.行(列)对称矩阵的LDU分解和Cholesky分解[J].华侨大学学报(自然科学版)，2007，28(1)：88.

[7]袁晖坪.行(列)对称矩阵的满秩分解和正交对角分解[J].上海理工大学学报，2007，29(3)：260.

[8]张贤达. 矩阵分析与应用[M].北京：清华大学出版社，2004.225.