质数简单性质及寻找方法初探

韩孝明

(吕梁学院汾阳师范分校 山西吕梁 032200)

长期以来，质数问题在数学研究领域尤其是数论研究里占着及其重要的地位.许多数学家为寻找质数的规律孜孜不倦，但效果不怎么明显.那么什么样的数是质数？怎么样从自然数中把质数筛选出来？质数有那些性质？有没有最大的质数，质数有哪些用途等等问题一直是质数研究的几个重要内容.本文重点介绍质数的定义，一些简单性质以及寻找质数的一些简单办法.

1 质数的定义

大于1的整数p，如果除了1和p外，没有其他的正约数，则称p为质数，也叫素数或不可约数.如果大于1的整数a不是质数，则称a为合数，也叫复合数.

在质数定义里应该注意两个问题：首先，质数、合数研究的领域是大于1的整数，所以1既不是质数也不是合数.其次，在质数范畴里2是唯一的一个偶质数，其余质数都是奇数.

2质数的性质

定理1：设a为大于1的正整数，若p是a的大于1的最小正约数则p必为质数.

证明：(反证法)假设p不是质数.因为p>1，所以p为合数，那么p必然有1，p以外的正约数q，使得q∣p.

因为p∣a，所以q∣a，于是q是a的1，a以外且小于p的正约数，这与已知矛盾，故p必为质数.

定理4：质数的个数无限.

证明：(反证法)假设质数的个数是有限的，共有n个，它们分别为p1，p2，…，pn.

令a=p1p2…pn+1

如果a是质数，由于a≠ pi(i=1,2,…n),因此质数的个数最少有n+1个，这与假设质数的个数有n个矛盾，所以a不是质数.

由于a不是质数，那么它是合数，则a必有一个质约数b，因为1不能被pi(i=1,2,…n)整除，所以 (i=1,2,…n)不能整除a.而质约数b能整除a,所以b不可能等于pi(i=1,2,…n).这就是说，在p1，p2，…，pn之外还有一个质数b，这也与质数的个数公有n个矛盾.因此，质数的个数是无限的.

3质数的筛选

3.1 Eratosthenes筛选法

通过此法筛选出来的100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，47，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

除此之外,定理3及Eratosthenes筛选法可判断某个数是否是质数.

例如：判断359是否是质数.

3.2 Sundaram筛选法

1934年一年轻学生Sundaram也发现了一种筛选质数的方法，具体方法如下：

先按照下面的淡淡道构造一个数阵：

第1行为首项是4公差为3的等差数列：4，7，10，13，16，19…

第2行为首项是7公差为5的等差数列：7，12，17，22，27，32…

……

第k行为首项是4+3(k-1)公差为2k+1的等差数列的等差数列.

这样一来，便得到一个关于主对角线对称的数阵：

Sundaram发现：若自然数n出现在上面数阵中，则2n+1 不是质数，若自然数不出现在上面数阵中，则2n+1肯定是质数.

证明：从数阵的构造淡淡道中，很容易发现数阵中数的通项为：

akj=3k+1+(j-1)(2k+1) (这里k为行数，j为列数)

若自然数n出现在数的第i行与第j列交叉处，则有：

n=aij=3i+1+(j-1)(2i+1) ，

此时， 2n+1=2[3i+1+(j-1)(2i+1)]+1=(2i+1)(2j+1)，

2i+1与2j+1均为2n+1的大于1而小于2n+1的约数，此时2n+1为合数.

若n不在数阵中出现且2n+1为合数，则有2n+1=ab，这里a,b均为大于1的奇数，

不妨令a=2p+1，b=2q+1，则：

2n+1=(2p+1)(2q+1)=2[p(2q+1)+q]+1.

显然，p(2q+1)+q为数阵中的数，与前面假设矛盾，故2n+1为质数.

Sundaram的筛选法从本质上是筛掉了质数，而Eratosthenes筛选法恰恰是保留了质数.此外，Eratosthenes筛选法不会有遗漏，它能保证每个质数都被筛出，而Sundaram的筛选法却无法保证这一点，比如唯一的一个偶质数2就筛选不出来.

4质数的科学

关于质数这里有个故事，1742年6月7日，哥德巴赫给欧拉的信中提到这样一个问题：任何一个大偶数(n≥4)都可以表示成两个奇质数的和的形式.并且猜想此定理成立.这就是著名哥德巴赫猜想(即1+1).关于此定理的证明历来有不少数学家曾尝试去证，但效果不明显.目前关于此定理证明的最高成就属我国的数学家陈景润，他证明了任何一个大偶数都可以表示成一个奇质数与两个奇质数的乘积的和的形式(即1+2).关于此猜想的证明经历如下[1]：

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9+9 ”.

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”.

1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”.

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”.

1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”.

1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”.

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”，其中c是一很大的自然数.

1956年，中国的王元证明了 “3+4 ”.

1957年，中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”.

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5 ”， 中国的王元证明了“1+4 ”.

1965年，苏联的布赫·夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”.

1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”.

关于质数的规律的探索其路漫漫，希望有兴趣的学者共同探讨.

参考文献：

[1]哥德巴赫猜想_互动百科[EB/OL]. http://www.baike.com/wiki/%e5%93%a5%e5%be%b7%e5% b7%b4%e8%b5%ab%e7%8c%9c%e6%83%b3.