开关磁阻电机定子系统磁固耦合解析建模分析

赵为立，张海军，高瑞贞，张京军

(河北工程大学机电工程学院，河北邯郸056038)

开关磁阻电机(Switched Reluctance Motor，以下简称SRM)得到了学术界和工业界的广泛关注，成为当代电气传动领域的热门课题之一。目前，SRM的应用领域已涉及高速生产设备驱动、电动汽车、家用电器、航天飞机、机械手直接驱动等，在传统电机市场几近饱和的情况下，显示出强大的市场竞争力。

由于SRM具有强非线性与饱和特性的步进磁场，因此，存在具有周期脉动性的径向力和转矩，由此产生振动和噪声，进而制约了SRM的应用和发展，此问题成为近些年很多学者关注的热点和难点问题［1－3］。普遍认为引起电磁振动的因素主要有两个:一是作用在定子上的径向力，二是SRM的转矩脉动。Lawrenson等［4］最早提出了SRM的线性磁链模型。夏长亮等［5］通过曲线拟合变量参数获得精确的SRM磁强度曲线的数学关系式，提出了一种快速非线性模型。陈琼忠等［6］基于Dymola/Modelica系统，解决了SRM模型中子系统的耦合问题，提出了一种改进的快速非线性解析模型。现有的非线性模型主要针对磁路饱和以及转子偏心等问题，没有考虑电机的磁固参数耦合以及耦合关系对电磁力、转矩的影响。邱家俊等［7－8］的研究结果表明磁固耦合对水轮发电机系统会产生显著影响，因此在研究SRM时有必要考虑磁固耦合的影响。对于SRM定子系统，定子铁心内电磁场与位移场的相互耦合作用是SRM振动的一个重要特点，这也使得定子系统的振动比较复杂。为了更加全面地分析讨论SRM定子系统的振动特性，以便更好地指导该电机的设计、制造和运行，本文对SRM定子系统的磁固耦合动力特性进行深入的研究。

1 建立定子系统磁固耦合动力学方程

SRM定子结构主要包括定子铁心和机壳两部分，由于定子铁心与机壳通常是紧密连接的，所以在本文定子系统简化为圆柱薄壳［9］，壳的厚度为h，R为圆柱壳的曲率半径，定子系统轴向长度为L。

据薄壳理论，对SRM定子系统作如下基本假设:

1)变形前垂直定子中曲面的直线在变形后仍保持为直线，并垂直定子中曲面。

2)相对其它应力分量，沿定子中曲面垂直方向的应力可忽略不计。

3)相对壳体微体的移动惯性力，可忽略其转动惯性力矩。

4)法向挠度沿中曲面法线上各点是不变的。

据上述基本假设，建立定子系统振动的基本微分方程组［10－11］

2 考虑定子铁心径向振动位移与气隙磁场相互影响时的电磁力

求解电磁力之前，作如下假设［12］:

1)转子不产生偏心力。

2)边缘磁通路径为1/4圆形。

3)忽略定子轭和转子轭的磁阻。

4)忽略漏磁通。

5)铁心材料的磁饱和特性仅与其材料属性有关。

6)不计其它物理场间的相互耦合。

据麦克斯韦应力法，按照图1所示的积分路径求取SRM定子凸极上的径向电磁力，则定子所受的径向电磁力可表示为

边缘磁密具有近似对称性［13］，运用磁路法解得主气隙磁密Bm和边缘磁密Bf:

把(3)式带入(2)式后可求得当θ∈［0，β］时，定子凸极所受到的径向力

当 θ∈［β，βr－β］时，定子所受到的径向力

其中a=b(l+lg)+(μr+1)/l－4;b=(l+lg)/为空气磁导率;L为转子叠片长度;r为定子内径;βs、βr为 SRM定、转子极弧;Bsat为磁化曲线拟合参数;Nm为绕组匝数;im为绕组电流;lg为定转子极对间气隙长度;lf为边缘磁通路径的长度;l为定子轭到转子轭的距离;φm为定转子极交叠部分气隙和齿极的磁通和;As为磁场线穿过定子的面积;θ为转子磁极偏离极对中位置的角度;Af1、Af2为边缘气隙面积。

对定子凸极所受电磁力进行傅里叶级数变换之后，径向力表达式

其中

式中t1－电流导通时刻;t2－定子与转子刚刚完全重合时刻;t3－电流断开时刻;t4－下次电流导通时刻。

式中n－定子极对数;θ0－导通角;ω0－转子旋转速;T－定子凸极上电磁力的交替周期。

3 非线性方程组的求解

微分方程组(1)在电磁力(7)作用下的解设为

式中Ti－圆柱壳的各阶振型分量;Wi、Ui、Vi－各个方向上的各阶振型。

3.1 振型的求解

建立SRM定子系统的变分方程组［10］

利用梁函数组合法得到定子系统各阶的固有振型函数

参数Am、Bm、Cm和am由边界条件确定;当m，n值取不同值时，得到Wi、Vi、Ui;Xm为不同边界条件下梁函数的表达式。

3.2 振型分量的求解

定子系统模型的磁固耦合非线性径向振动动力学平衡方程式

其中a±iβ 为方程0的复根。

4 模型对比分析

对8/6实验室样机的特性采用二维有限元法做仿真分析并与所建立的解析结果进行对比。定、转子铁芯材料均为DR510－50硅钢片，相对磁导率为7 000，样机参数如表1所示。

表1样机的结构参数Tab.1 Prototype of the structural parameters

图2和图3分别是电流峰值I0和定子系统阻尼比η取不同值时定子系统随位移随时间的变化关系。由图可知，随着激励电流峰值的不断增大振动也不断增强，而且相邻定子凸极间的相互影响不断增强，这也加剧了定子振动。阻尼比对定子系统径向振动的影响很大。阻尼比越大，振幅越小。因而可以通过适当增大定子系统的阻尼比来达到减小振幅的目的。

图4和图5分别是在转速为120 r/min和240 r/min的情况下振动位移的结果对比。从图中可以看到由于SRM电机的凸极结构的特点，转速越快振动的频率越大。

结合以上分析对比可以明显看到本文所建模型计算结果与二维有限元计算结果，在误差允许范围内，两者基本趋于吻合，且与实际电机运行特性相一致，验证模型的有效性。由于本文只对主气隙磁密采用磁化曲线拟合，对边缘气隙磁密采用磁通守恒推导求得，这减少了边缘气隙磁密磁化拟合时的误差，简化了模型，有利于模型精度的提高。但SRM本身存在高度的非线性和高耦合性，同时在模型建立的过程中对SRM的电磁特性和结构特性采取了一定程度的简化，这使得结果还存在一定误差，同时梁函数组合法是一种求解固有频率和振型的近似解法，这也加大了所求结果的误差。但是通过验证对比可知，所得结果的误差在误差允许范围内，符合SRM电机结构及运行特点。

4 结论

1)推导建立SRM定子系统所受径向力的解析表达式。

2)建立SRM稳定运行状态下定子系统的磁固耦合振动微分方程，结合梁函数组合法求得定子系统径向振动位移的解析表达式。

3)通过二维有限元法验证了所得模型符合实际SRM结构和运行特点。阻尼、激磁电流、强迫激励的频率等诸因素对定子系统振动的性质产生很大的影响。阻尼比越大则振动的幅值就越小，而且会使振动的非线性有所减弱;增大激励电流时，振幅会增大，振动的非线性也会增强;在额定工况下，增大强迫激励的频率时，振动的频率和峰值都会随之改变。因此必要时可以通过适当改变某些参数来改变主共振的特性。

4)在SRM电磁场和结构场双向影响的情况下，建立了定子系统的径向振动与结构参数和控制参数之间的关系，为SRM结构优化设计、非线性电磁振动和噪声的预测及控制提供了一定的理论参考，同时有利于提高SRM运行性能和扩大其应用领域。

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