Hilbert K-子模上框架的(强)可补性

董芳芳, 裴瑞昌

(天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃 天水 741001)

1 预备知识

HilbertC*-模和Hilbert空间的一个最重要的不同就是：Frank和Larson[1]研究了HilbertC*-模不一定可补,并且HilbertC*-模不一定存在标准正交基,将HilbertC*-模膨胀到：

同时在l2(A)上定义了模和内积：对∀a∈A,∀{ai},{bi}∈l2(A),

HilbertK-模是一种特殊的HilbertC*-模,其中底代数K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C*-代数,显然I∉K,当然它也不一定可补,因此,对HilbertK-模可补性的研究显得有意义的同时,又存在一定难度.

Bakic等[4]证明了这种模一定有特殊的标准正交基,其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩1的自伴投影,但由于I∉K,也就是引入l2(K)毫无意义,因此,HilbertK-模无法膨胀.本人之前直接在HilbertK-模M本身上引入了框架的框架变换,只从框架变换的值域这个角度研究了框架的(强)不相交性[5-6].

由于HilbertK-模无法膨胀,因此,本文在HilbertK-模M的子模M1(M1⊂M)到M之间引入框架的框架变换θ,在M到θ(M1)上引入正交投影P,在研究了θ和P之间的关系的基础上(见定理1),得到了HilbertK-模M的有限个子模上框架的(强)可补的充要条件.下面引入本文用到的预备知识.

定义1[4]设K为作用在Hilbert空间Η上的全体紧算子组成的C*-代数,Μ是复数域C上的线性空间,Μ是左K-模,满足：μ(kx)=(μk)x=k(μx),其中任意的μ∈C,k∈K,x∈Μ,若〈·, ·〉:Μ×Μ→K具有性质:

1) 〈x,x〉≥0,∀x∈Μ；

2) 〈x,x〉=0⟺x=0,∀x∈Μ；

3) 〈x,y〉=〈y,x〉*,∀x,y∈Μ；

4) 〈kx,y〉=k〈x,y〉,∀k∈K,∀x,y∈Μ；

定义2[4]称序列{vλ,λ∈Λ}为HilbertK-模Μ的标准正交序列,若对

eξ,ξ的自伴性是显然的,因此,将eξ,ξ称为支撑投影或秩为1的自伴投影.

定义3[4]称HilbertK-模Μ中的序列{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为框架,若存在常数a>0,b>0,使得

若a=b,则称{xλ,λ∈Λ}为紧框架；若a=b=1,则称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为正规紧框架.

由定义易知：θ为单射.事实上,由于{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M1上的框架,从而存在a,b>0,使得对任意的x∈M1,

即

a〈x,x〉≤〈θ(x),θ(x)〉≤b〈x,x〉

因此,若θ(x)=0,有不等式：a〈x,x〉≤0≤b〈x,x〉,从而只有〈x,x〉=0,即x=0,从而θ为单射,即θ*为满射,因此θ*θ为双射,将S=θ*θ称为框架{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架算子,显然,S为可逆自伴的正算子,且对任意的x∈M1,

定义5称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为HilbertK-模M的Hilbert基,若{eξ,ξxλ,λ∈Λ}满足：

1) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M的框架；

2) 〈eξ,ξxλ,eξ,ξxλ〉=eξ,ξ,∀λ∈Λ.

定义6设M为HilbertK-模,对任意的x,y∈M,定义：

〈x⊕y,x⊕y〉=〈x,x〉+〈y,y〉

2 框架变换与正交投影的关系

设M为HilbertK-模,M1为M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M1的框架,θ:M1→M为{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架变换,引入正交投影P:M→θ(M1),显然有：P(M)=θ(M1). 关于P和θ的关系,有下面的定理.

特别地,当{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M1的正规紧框架(即a=1)时,P(Vλ)=θ(eξ,ξxλ)且θθ*=P.

证明首先,由于{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M1的以a>0为框架界的紧框架,从而θ*θ=aI,而P为M到θ(M1)的正交投影,除了有P(M)=θ(M1)外,当P作用在θ(M1)上时,即P:θ(M1)→θ(M1),P=I,也即P(θ(M1))=θ(M1),于是,对任意的x∈M1,以及M的标准正交基{vλ,λ∈Λ},有

由x的任意性知：θθ*=aP.

其自伴性是显然的,从而,P2=P=P*,这也充分验证了P为正交投影.

当{eξ,ξxλ,λ∈Λ}为M1的正规紧框架(即a=1)时,显然有P(Vλ)=θ(eξ,ξxλ)且θθ*=P.

下面就二维Hilbert空间上框架的框架变换与正交投影的关系,举下面的例子加以说明.

并且

P=PT,即P*=P,且

即P2=P,综上P2=P=P*,从而P为正交投影,且满足aP=θθ*.

通过先找到一个框架,在此基础上构造得到一个紧框架,得到使aP=θθ*的正交投影是存在的,其中θ*为θ的伴随算子,当θ为矩阵时,θ*为其转置θT.

3 Hilbert K-子模框架(强)可补性.

定义7设M为HilbertK-模,M1和M2均为M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分别为M1和M2的正规紧框架,若{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的标准正交基,则称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}是强可补的.

设{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分别为M1和M2的并且分别以a>0,b>0为框架界的紧框架,若{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的Hilbert基,则称{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}是可补的.

定理2[5]设M为HilbertK-模,M1和M2为M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}分别为M1和M2的(正规紧)框架,θ1和θ2分别为其框架变换,则

1) {eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的正规紧框架当且仅当θ1(M1)⊥θ2(M2)；

2) {eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的框架当且仅当θ1(M1)∩θ2(M2)={0}.

定理3设M为HilbertK-模,M1和M2均为M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分别为M1和M2的(正规)紧框架(当为紧框架时,设其框架界分别为a>0,b>0),θ1:M1→M和θ1:M2→M分别为其框架变换,P:M→θ1(M1)和Q:M→θ2(M2)均为正交投影,则

1) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}强可补当且仅当P+Q=I,且P(M)⊥Q(M)当且仅当P=Q⊥；

2) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}可补当且仅当P+Q=I,且P(M)∩Q(M)={0}.

证明1) 首先,由于{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的标准正交基,当然更是M1⊕M2的正规紧框架,从而由定理2知：{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的正规紧框架当且仅当θ1(M1)⊥θ2(M2),而P(M)=θ1(M1),Q(M)=θ2(M2),因此,θ1(M1)⊥θ2(M2)当且仅当P(M)⊥Q(M)(记作P⊥Q)当且仅当PQ=QP=0当且仅当P+Q也为正交投影.

其次,{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2为标准正交基当且仅当

结合定理1：θ1θ1*=P,θ2θ2*=Q,有

〈eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,eξ,ξxμ⊕eξ,ξyμ〉=

〈eξ,ξxλ,eξ,ξxμ〉+〈eξ,ξyλ,eξ,ξyμ〉=

即〈(P+Q)(vλ),vμ〉=〈vλ,vμ〉,从而P+Q=I.

反之,若P+Q=I,

综上,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}强可补当且仅当P⊥Q且P+Q=I当且仅当P=Q⊥.

2) 由于{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的Hilbert基,从而它为M1⊕M2的框架,于是,由定理2知：{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}为M1⊕M2的框架当且仅当θ1(M1)∩θ2(M2)={0},而P(M)=θ1(M1),Q(M)=θ2(M2),因此,θ1(M1)∩θ2(M2)={0}当且仅当P(M)∩Q(M)={0}.

注2在定理2中,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分别为M1和M2的框架,而紧框架是框架的特殊情况(上界等于下界),从而对本定理中的紧框架依然有上面的结论.

即aP+bQ=I.

反之,若aP+bQ=I,

综上,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}可补当且仅当aP+bQ=I,且P(M)∩Q(M)={0},本定理得证.

下面将该结论推广到有限个HilbertK-子模上.

定义8设M为HilbertK-模,M1,M2,…Mk(k为有限的自然数)为M的子模,{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分别为Mi(i=1,2…k)的正规紧框架,若{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxkλ,λ∈Λ}为M1⊕M2⊕…Mk的标准正交基,则称{eξ,ξx1λ,λ∈Λ},{eξ,ξx2λ,λ∈Λ}…{eξ,ξxkλ,λ∈Λ}强可补；

设{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分别为Mi的以ai>0(i=1,2,…,k)为框架界的紧框架,若{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxkλ,λ∈Λ}为M1⊕M2⊕…Mk的Hilbert基,则称{eξ,ξx1λ,λ∈Λ},{eξ,ξx2λ,λ∈Λ}…{eξ,ξxkλ,λ∈Λ}可补.

定理4设M为HilbertK-模,M1,M2,…Mk(k为有限的自然数)均为M的子模,{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分别为Mi(i=1,2…k)的(正规)紧框架,θi分别为{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}的框架变换,Pi:M→θi(Mi)(i=1,2…k)均为正交投影,则

本定理的证明从略.