热机载荷下形状记忆合金梁超静定问题分析

杨静宁, 王永祥, 唐 健

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

形状记忆合金(shape memory alloy,SMA)作为一种近年来迅速发展起来的一种新型智能材料,不仅具有普通金属的优良特性,如延展性、导电性[1].在航空航天、自动控制、医学、能源等领域得到广泛的应用[2-5].近年来,在前人的基础上国内外学者就形状记忆合金的变形特性进行了更加深入的研究.Flor SDL等[6]做了关于镍钛记忆合金丝弯曲实验,并对其弯曲变形进行了研究.周博等[7]通过研究得出了更简单的形状记忆合金材料的力学本构模型,并提出了形状记忆因子的概念.Auricchio F和Sacco E[8]考虑到奥氏体和马氏体弹性特性的不同,对本构模型进行了修正,并分析了形状记忆合金梁的弯曲特性.Helm D等[9]对处于马氏体和奥氏体状态下的NiTi合金圆管在拉伸-扭转组合变形下的力学特性进行了研究.Michael M K等[10]在沿截面高度的应变是线性的假设基础上,研究了集中载荷作用下形状记忆合金悬臂梁的力学性能.Souza A C等[11]以相变应变为变量,得到了描述伪弹性和形状记忆效应的三维本构模型.崔世堂等[12]引入拉压不对称系数研究了形状记忆合金纯弯曲梁的力学性能.任勇生等[13]研究了具有形状记忆合金纤维的复合材料梁非线性静变形、热屈曲和振动.韩悌信等[14]利用MTS万能材料试验机研究了NiTi形状记忆合金的力学性能,得到了在不同温度下的静态拉伸应力-应变曲线.李会知等[15]在均布荷载作用下一次超静定梁的弹塑性变形全过程进行了分析,并根据其受力变形的特点,把加载过程分成了四个阶段.杨静宁等[16]在拉压不对称情况下,结合梁的纯弯曲理论,研究了NiTi形状记忆合金的弯曲问题.可以发现,目前研究SMA主要集中在载荷、温度等条件下的力学性能,大多建立在不考虑拉压不对称效应的理想弹性体上,对于热机载荷下超静定梁的拉压不对称性研究尚少.

为了研究超静定SMA梁在机械载荷与温度联合作用下各截面相变情况,特引入拉压不对称系数[17],通过分析截面应力分布,得到了温度和拉压不对称系数变化对中性轴位置、曲率以及相边界[18-19]分布的影响.

1 SMA梁的非线性弯曲变形

状记忆合金一次超静定梁长l,高度2h,宽度b,受垂直向下的均布载荷q作用,受拉侧外缘到中性轴距离为h1,受压侧外缘到中性层距离为h2,如图1所示.

图1 超静定梁力学模型Fig.1 Mechanical model of statically indeterminate beam

对实验得到的本构模型曲线进行简化,简化后的本构模型[12]如图2所示.图中t表示拉伸;c表示压缩;s表示相变开始;f表示相变结束;εL表示最大等效残余应变.

图2 简化本构模型Fig.2 Simplified constitutive model

在沿截面高度应变分布是线性的假设下,ρ(x)为曲率半径,EA为奥氏体弹性模量,EM为马氏体弹性模量,受拉侧外缘应变εt与受压侧外缘应变εc分别为

(1)

受拉侧相变开始临界应变εts和结束临界应变

(2)

图3 临界应力与温度的关系Fig.3 Relationship between critical stress and temperature

由图中曲线可知马氏体相变开始应力σms和结束应力σmf与温度的关系式为

(3)

为了直观描述拉压不对称性,将拉压不对称性量化,引入拉压不对称系数

(4)

2 相变过程

对于受均布载荷的超静定梁,其表层最大应变处相变最先开始[20].根据梁截面的内力分布情况,可将梁沿轴向分为两部分进行分析.整个相变过程分为初始和相变两个阶段.

2.1 初始阶段(εt<εts)

当温度较高时,梁上任意截面受拉侧表层应变未达到相变开始临界应变εts时,整个梁均未发生相变,材料全部处于奥氏体相,此时截面上应力为

(5)

2.2 相变阶段(εt≥εts)

随着截面弯矩M增大,截面受拉侧最外层应变εt首先达到相变开始临界应变εts,此时|εc|≤εcs,εts≤εt≤εtf,受拉侧发生相变,出现混合相,混合相与奥氏体相的相变界可视为C1C.受压侧仍处于奥氏体相,如图4a,进入Ⅰ阶相变.受压侧最外层应变εc达到相变开始临界应变εcs,此时εcs≤|εc|≤εcf,εts≤εt≤εtf,受压侧发生相变,出现混合相,受压侧混合相与奥氏体相的相变界可视为D1D.受拉侧最外层仍处于混合相,如图4b,进入Ⅱ阶相变.受拉侧最外层应变εt达到相变结束临界应变εtf,此时εcs≤|εc|≤εcf,εtf≤εt,受拉侧出现马氏体相,马氏体相与混合相的相变界可视为E1E.受压侧最外层仍处于混合相,如图4c,进入Ⅲ阶相变.此时εcf≤|εc|,εtf≤εt,截面受压侧最外层应变εc达到相变结束临界应变εcf,出现马氏体相,受压侧马氏体相与混合相的相变界可视为F1F,如图4d,进入Ⅳ阶相变.其中A代表奥氏体相,AM代表混合相,M代表马氏体相.A,B,C,D,E,F处的坐标分别为yA=(1+Δi)h,yB=-(1-Δi)h,yC=εts(1+Δi)h/εt,yD=-εcs(1+Δi)h/εt,yE=εtf(1+Δi)h/εt,yF=-εcf(1+Δi)h/εt,i对应相变阶段分别为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.

图4 Ⅰ-Ⅳ阶相变示意图Fig.4 Schematic diagram of phase transition of stage Ⅰ-Ⅳ

截面相变过程的应力分布可以用式(6)概括,式6c表示弹性阶段,式6c和式6d表示Ⅰ阶相变,式(6b～6d)表示Ⅱ阶相变,式(6b～6e)表示Ⅲ阶相变,式(6a～6e)表示Ⅳ阶相变.

2.3 平衡方程

初始阶段,横截面上的平衡方程为

进入Ⅰ阶相变阶段,横截面上的弯矩为

(9)

进入Ⅱ阶相变阶段,横截面上的弯矩为

(10)

进入Ⅲ阶相变阶段时,横截面上的弯矩为

(11)

进入Ⅳ阶相变阶段,横截面上的弯矩为

(12)

3 实例计算与分析

3.1 中性轴位移

图5为温度载荷T=60 ℃时,中性轴位移随梁的截面位置变化的分布情况.当拉压不对称系数α=0时,第一部分(0

图5 中性轴位移(t=60 ℃)Fig.5 Neutral axis displacement (t=60 ℃)

图6 中性轴位移(α=0.05)Fig.6 Neutral axis displacement (α=0.05)

3.2 曲率

图7为温度载荷t=60 ℃时,曲率随梁的截面位置变化的分布情况.随着拉压不对称系数逐渐变大,梁上第一部分曲率曲线基本一致,拉压不对称系数的改变对曲线趋势影响不大,其曲率值先增大后减小,在x=75 mm处达到最大值,且左右两边关于x=75 mm对称；第二部分随着拉压不对称系数的增大,在同一位置的曲率值反而减小,但变化趋势保持一致.图8为α=0.05时,不同温度载荷作用下曲率随梁的截面位置变化的分布情况.从梁的整体来看,随着温度的升高,整个梁上各个位置对应的曲率值都减小；且温度升高不会改变梁上第一部分曲线的对称性.

图7 曲率分布(t=60 ℃)Fig.7 Curvature distribution (t=60 ℃)

图8 曲率分布(α=0.05)Fig.8 Curvature distribution (α=0.05)

3.3 相边界

图9为温度载荷t=60 ℃时,相边界的分布情况.当拉压不对称系数α=0,截面相边界关于梁高度呈对称分布；当α≠0时,相边界明显不对称,整个相变界随着拉压不对称系数增大,受拉侧起始相变点始终处于同一起点,而受压侧相边界起点越靠近固定端.图10为α=0.05时,不同温度载荷作用下相边界的分布情况.随着温度的升高,第一部分相边界由x=75 mm处逐渐向两边扩散,且x=75 mm两侧相变界关于其对称；第二部分奥氏体与混合相相边界和混合相与马氏体相边界整体向固定端靠近,关于梁高度方向在h=0附近温度对拉压两侧相边界的对称性影响不大.

图9 相边界分布(t=60 ℃)Fig.9 Phase boundary distribution (t=60 ℃)

图10 相边界分布(α=0.05)Fig.10 Phase boundary distribution (α=0.05)

4 结论

1) 相变阶段中性轴位移随着拉压不对称系数的增大而增大；随着温度的改变,中性轴发生的最大位移不会增大或减小,只改变最大位移在梁上出现的位置.

2) 随着温度的升高,整个梁上各个位置对应的曲率值都减小；拉压不对称系数的改变对梁上第一部分曲率曲线的趋势影响不大,其曲率值先增大后减小,且关于x=75 mm处对称.

3) 当拉压不对称系数α=0,截面相边界关于梁高度呈对称分布；当α≠0时,相边界明显不对称,整个相变界随着拉压不对称系数增大,拉压两侧相变起始点发生变化.随着温度的升高,梁上第一部分相边界由x=75 mm处逐渐向两边扩散,且x=75 mm两侧相变界关于其对称；第二部分奥氏体与混合相相边界和混合相与马氏体相边界整体向固定端靠近.