Winkler-Pasternak地基上四边受压FGM矩形板的自由振动与屈曲特性

滕兆春, 王俊淋

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

随着现代社会工程建设的快速发展,弹性地基上各类板状结构在工程中的应用前景越来越广泛[1].工程中常见的地基模型有：弹性连续介质模型、Winkler模型、粘弹性模型、双参数模型等.Winkler模型认为地基上某点的沉降只与该点作用的载荷有关,而与其它点的载荷无关[2]；弹性连续介质模型将地基视为完全相连的弹性体,在求解过程中通常都需要求解微分方程,在数学上较为困难.Winkler-Pasternak地基作为一种对Winkler地基模型的修正[3],同时也没有弹性连续介质地基模型在数学上遇到的困难,更接近工程中的实际情况[1].在Winkler地基模型的基础上,Winkler-Pasternak地基模型假设各弹簧之间存在相互的剪切作用,且该剪切作用通过一层只能产生竖向剪切变形而不能被压缩的剪切薄层与弹簧单元相连来实现[4].

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是指两种或两种以上的材料从一侧到另一侧连续变化[5],从而使不同材料之间的性能也得以连续变化,以满足构件的不同部位对材料使用性能需求的不同, 特别在减缓热应力方面其性能明显优于传统复合材料.正是因为这种优越的力学性能,使得FGM应用到更多的领域,特别在航空航天、核工业、光学器件等尖端领域.目前对弹性地基和FGM的研究也较多,诸如：Reddy等[6]用有限元方法对热机耦合FGM圆柱和板结构的动力学热弹响应做了分析.蒲育等[7]在二维线弹性理论的基础上,利用Hamilton建立了FGM 板面内自由振动的控制微分方程,然后采用微分求积法(Differential Quadrature Method,DQM),研究了四边弹性约束条件下FGM 矩形板面内自由振动的无量纲频率.Latifi等[8]在经典板理论的基础上,利用傅里叶级数展开研究了受面内载荷FGM矩形板在各种边界条件下的动力屈曲.Na等[9]用有限元方法研究了功能梯度陶瓷复合材料的三维热机屈曲并分析了功能梯度材料结构的长厚比、体积分数分布和系统几何参数对FGM板热屈曲性能的影响.Gupta等[10]基于非多项式高阶剪切和法向变形理论,采用有限元方法研究Winkler-Pasternak地基上FGM板的弯曲与振动问题,并分析了各种边界条件、几何条件、地基参数和两种微力学材料模型对功能梯度板弯曲和振动响应的影响.周凤玺等[11]在三维线性热弹性理论的基础上,运用Laplace变换和打靶法,求得了在热冲击下四边简支FGM矩形板的热响应,并分析了材料的组分分布和功能梯度材料的热响应行为之间的关系.Liang等[12]利用Laplace变换和微分求积法求得了FGM 圆板在双参数黏弹性地基上瞬态响应的解析解.滕兆春等[13]使用DQM法,数值研究了变厚度矩形板在弹性地基上横向自由振动的频率特性.刘丽威[14]用DQM研究了不同边界条件下长宽比和剪切变形对FGM板频率的影响.王小岗等[15]利用挠度试函数和Galerkin 法求得四边自由的变厚度矩形板在Winkler弹性地基上的自振频率方程和算式.国内外学者展开的对功能梯度材料在各种载荷作用下力学响应的研究虽然较多,但鲜有关于同时考虑多种边界条件和Winkler-Pasternak弹性地基上四边受压功能梯度矩形板的自由振动与屈曲特性的报道.同时以上求解FGM板自由振动、弯曲和屈曲问题的方法虽多,例如有限元方法,适用于复杂边界条件,但需要大量的前期准备工作、密集的网格和较大的计算量,才能保证计算结果满足所需的精度[16],DQM又因为边界条件的限制或公式推导的繁琐,使求解变得也较为麻烦.

微分变换法(differential transform method,DTM)是一种相对于有限元等可不采用结点而通过变换式迭代求解获得较高计算精度结果的一种半解析方法,它可以将边界条件和微分方程结合,将其变换成相应的代数方程求解.最初该方法被运用于电路问题的分析[17],近年来也逐渐被用于结构的静动力学响应求解[18-21],且编写程序简单,计算结果精度高,完全能满足工程实际的要求[22].本文运用DTM对多种边界条件Winkler-Pasternak地基上四边受压FGM矩形板的自由振动和屈曲特性展开研究.

1 问题的描述及基本方程

1.1 问题的基本描述

在均匀的Winkler-Pasternak弹性地基上放置一块由两种材料组成的四边受压FGM矩形板,并建立如图1所示坐标系.FGM矩形板的长宽高分别为a、b和h,长宽比为λ=a/b,载荷Ny垂直于y轴截面,载荷Nx垂直于x轴截面,kw、qw分别为地基的弹性刚度系数以及剪切刚度系数,w表示板横向的位移分量.y=0和y=b两处边界条件为简支(S),其余两对边外的边界条件为简支(S)或固支(C).以下FGM矩形板四条直边的边界条件表示均按x=0、y=b、x=a和y=0的顺序给出.

图1 Winkler-Pasternak弹性地基上四边受压FGM板的几何模型Fig.1 Geometric model of FGM plate under four-sided compression on Winkler-Pasternak elastic foundation

假设材料常数沿厚度方向遵循如下规律变化[23]：

(1)

式中：P表示材料的弹性模量E、剪切模量G或密度ρ;Pc、Pm分别表示两种材料的物性参数;z表示沿板厚度方向的坐标；k表示梯度指数,它取不同的值代表成分含量不一的功能梯度材料.

Winkler地基假定地基界面上任一点的压力强度与该点的沉降量成线性变化,则在任意时间t,数学模型为

H(x,y,t)=kww(x,y,t)

(2)

Winkler-Pasternak考虑各弹簧之间存在相互的剪切作用,且弹性地基之间始终保持接触,则在任意时间t,地基的载荷与位移关系可表示为

H(x,y,t)=kww-qw2w

(3)

1.2 基本方程

物理中面取薄板的正应变与正应力为零的面(z=z0).

(4)

对式(4)进行积分可得

(5)

式中

位移分量：

(6)

应变分量：

(7)

物理方程为

(8)

式中

A21=A12,A22=A11

FGM板的抗弯刚度、抗扭刚度为

(9)

将式(5)代入式(9),可得

2 控制微分方程及参数的无量纲化

由经典薄板理论可得面内受压FGM矩形板在Winkler-Pasternak弹性地基上的应变能U、动能T、外力引起的势能V分别表示如下：

(10)

(11)

(12)

对Winkler-Pasternak弹性地基上面内受压FGM矩形板使用广义Hamilton原理[24]

(13)

式中：δ为变分符号;t为时间.将式(10～12)代入式(13)可得面内受压FGM矩形板在Winkler-Pasternak弹性地基上自由振动和屈曲问题的控制微分方程:

(14)

考虑FGM矩形板在y=0和y=b处的边界条件为简支(S),取FGM矩形板的横向位移函数为

(15)

(16)

式中

A0=D11ρc/ηDc

A1=-2(2D33+D12)m2π2λ2ρc/ηDc-

Qm2π2λ2ρc/η+Kρc/η

考虑FGM矩形板在X=0和X=1处的边界条件为简支(S)或固支(C),其无量纲形式为

(17)

(18)

3 控制微分方程及边界条件的DTM变换

式(12)结合边界条件求其固有频率及临界屈曲载荷的解析解较为困难,这里采用微分变换法(DTM)求其数值解.运用DTM求解微分方程,首先需要原函数可展开为 Taylor 级数,然后经DTM变换法则变换,使系统边界条件和原微分方程(组)能变换为由离散函数组成的代数方程(组),在通过迭代解出含有未知量的多项式,最后进行反变换,求得该微分方程级数形式的解.

基于Taylor公式,Fr为原函数f(x)经过DTM变换后所得,表示为

(19)

式(19)被称作f(x)在x=x0时的微分变换的正变换式,Fr被称作f(x)的微分变换形式.

设函数f(x)可展开为Taylor级数且收敛,此时Fr能变换为f(x),表示为

(20)

式(20)被称作微分变换的反变换形式.由式(19)和式(20)可得

(21)

DTM基于Taylor级数展开后不需要求解函数的各阶导数,因此计算量大大减小.在实际应用中,可用有限的级数表示f(x),则式(21)可写成

(22)

式(16)经DTM变换后可得其等价代数方程为

(23)

将式(23)移项化为递推形式有

(24)

这里r=0,1,2,3,…,n,DTM边界条件变换如下:

在X=0处,简支(S):

(25)

在X=0处,固支(C):

(26)

在X=1处,简支(S):

(27)

在X=1处,固支(C):

(28)

经式(23)迭代累加并结合边界条件式(25～28)可分别求得四边简支(SSSS)和三边简支一边固支(SSCS)的频率特征方程如下:

(29)

(30)

要使其存在非零解,则

(31)

FGM矩形板失稳时其固有频率应为零.式(23)中令无量纲固有频率Ω=0,则此时对应的最小屈曲载荷为临界屈曲载荷Ncr,其求解过程类似于Ω的求解过程,可得

(32)

同理在边界条件为对边简支对边固支(CSCS)和一边固支三边简支(CSSS)时,可得到含有未知量无量纲固有频率Ω和临界屈曲载荷Ncr的特征方程：

由式(32～34),可分别求得边界条件为SSSS、CSSS、SSCS、CSCS时的无量纲固有频率Ω和临界屈曲载荷Ncr.为了保证无量纲固有频率Ω和临界屈曲载荷Ncr的精度,给定：

式中:η1、η2表示迭代误差限,这里取η1=η2=0.000 001.

4 计算结果及分析

表1 材料力学性能Tab.1 Mechanical properties of materials

表2 均质各向同性方板无量纲固有频率的比较(Ω2=a5ω2ρH/D11)Tab.2 Comparison of dimensionless natural frequencies for homogeneous isotropic rectangular plates(Ω2=a5ω2ρH/D11)

表3 均质各向同性矩形板临界屈曲载荷的比较Tab.3 Comparison of critical buckling loads for homogeneous isotropic rectangular plates

为了进一步验证本文有关FGM的计算精确,考虑取不同梯度指数k,并将问题退化为无地基、无载荷的情形.表4给出了由Al/Al2O3组成的FGM方板在SSSS边界条件下的前2阶无量纲固有频率值,并与文献[27]的计算结果对比,计算结果吻合,这表明本文对功能梯度材料的计算正确.

表4 不同梯度指数k下四边简支FGM矩形板无量纲固有频率的比较Tab.4 Comparison of dimensionless natural frequencies for FGM rectangular plates with different gradient

图2 不同边界条件下梯度指数与FGM方板前三阶无量纲固有频率之间的关系曲线Fig.2 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and gradient index as boundary condition is different

图3 不同边界条件下无量纲弹性刚度系数与FGM方板前3阶无量纲固有频率之间的关系Fig.3 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and dimensionless elastic stiffness coefficient as boundary condition is different

由图2～图5可知：在无量纲弹性刚度系数、无量纲剪切刚度系数、外载荷、长宽比一定时,CSCS边界的固有频率最大、CSSS或SSCS的固有频率次之、SSSS的固有频率最小.这表明边界条件约束越强,FGM矩形板的无量纲固有频率就越大.

图5 不同边界条件下长宽比与FGM矩形板前3阶无量纲固有频率之间的关系曲线Fig.5 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plates and length-width ratio as boundary condition is different

图6 不同边界条件下屈曲载荷与FGM方板前3阶无量纲固有频率之间的关系曲线Fig.6 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and buckling loads as boundary condition is different

图7为CSCS和CSSS两种边界条件下K=200和Q=20时,长宽比λ对临界屈曲载荷的影响曲线.由图7可知：在梯度指数、无量纲弹性刚度系数、无量纲剪切刚度系数、边界条件一定时,临界屈曲载荷随着长宽比的增大而减小；当长宽比小于2时,屈曲载荷Ncr随着长宽比的变化更显著；长宽比大于2时,屈曲载荷Ncr随着长宽比的变化更趋于平缓；长宽比、无量纲弹性刚度系数、无量纲剪切刚度系数、边界条件一定时,临界屈曲载荷随着梯度指数的增大而减小.

图7 不同梯度指数下长宽比与临界屈曲载荷之间的关系曲线Fig.7 Relationship between critical buckling loads and length-width ratio at different gradient indexes

5 结论

本文在经典薄板理论和广义Hamilton原理的基础上,推导了四边受压FGM矩形板在Winkler-Pasternak弹性地基上的自由振动与屈曲控制微分方程并进行无量纲化.使用DTM对无量纲控制微分方程及其边界条件进行变换,利用MATLAB软件对计算过程进行编程,计算出不同边界条件下四边受压FGM矩形板在Winkler-Pasternak弹性地基上自由振动的无量纲固有频率和临界屈曲载荷并对其特性进行分析.考虑FGM矩形板的边界条件为对边简支和其余两边为简支或固支的任意组合,因此本文能解决FGM矩形板相对较多的边界条件,并得到以下结论：

1) FGM矩形板的无量纲固有频率随着梯度指数的增大而减小,且k处于0到1之间,频率减小更显著,后逐渐趋于稳定.

2) FGM矩形板的无量纲固有频率随着无量纲弹性刚度系数、无量纲剪切刚度系数和长宽比的增大而增大,且高阶频率增大更明显；边界条件约束越强,FGM矩形板的无量纲固有频率越大.

3) FGM矩形板的无量纲固有频率随着面内压载荷的增大而减小,且能减小至0,此时对应的压载荷即为FGM矩形板的临界屈曲载荷.

4) FGM矩形板的临界屈曲载荷随着长宽比和梯度指数的增加而减小,且当长宽比小于2时,屈曲载荷随着长宽比的变化更显著.

5) 本文采用的DTM 法,编写程序简单,计算精度高,特别对特征值问题具有明显的优势,研究可为 FGM矩形板的设计及分析提供有效的依据.