广义系统H2范数的时域计算①

张赛男

(吉林师范大学数学学院,吉林 长春 130000)

0 引 言

广义系统的研究早已从基础知识向更深层次的研究深入发展,并依次涉及到了从线性广义系统到非线性广义系统,用微分方程研究连续系统到用差分方程离散系统,从有确定性到无确定性研究,从无时滞到有时滞,从线性二次型的最优控制发展到H2和H∞的优化控制等各个方面的研究,同时也在众多领域中都取得了优秀的成果,并沿用至今.近年来,H2控制和H∞控制早已成为控制理论的热门课题,有着更广泛更深层次的应用发展前景,H2和H∞控制也受到众多学者研究的重要研究对象,尽管通过定义可以计算出H2范数的结果,但是因为只用定义计算起来较为复杂,所以在很多的应用中通常都采用更简单的状态空间方法也叫做时域方法来计算该范数,在一些文献中虽然给出了定理和引理,但相应的证明过程只给出了其中的一部分,而对另一方面的证明过程并没有,这里将对没有证明的问题进行证明来完善其证明过程.

1 预备知识

y(t)=Cx(t)

(1)

其中:x(t)∈Rn,u(t)∈Rm和y(t)∈Rl分别为系统的状态、输入和输出向量,E是奇异矩阵,其余皆为具有相应维数的定常矩阵,假定degdet(sE-A)=r

其中,N∈R(n-r)×(n-r)是幂零矩阵,且幂零指数为h,其他矩阵块皆有相对应的维数.令Q-1x(t)=[x1(t)/x2(t)],此时得到该广义系统的传递函数为G(s)=C(sE-A)-1B.

定义1传递函数G(s)的H2范数定义为

由帕塞瓦尔定理有

其中g(t)表示G(s)的卷积核,或称为系统的脉冲传递函数矩阵.

定理1考虑广义系统(E,A,B,C)和第一种受限等价变换形式,则有下面三个命题是等价的:

1.4 统计学方法 采用SPSS 22.0软件进行统计学分析，计量资料以均数±标准差表示，比较采用独立样本t检验；计数资料以例(百分率)表示，比较采用χ2检验；采用多因素回归分析对急性缺血性脑卒中的独立影响因素进行分析；采用Spearman等级相关分析对急性缺血性脑卒中与各影响因素间的相关性进行分析。以P<0.05为差异有统计学意义。

(1)传递函数G(s)是严格真的;

(2)G(∞)=0;

(3)C2NiB2=0,i=1,2,…,h-1.

2 主要结论

引理1如果广义系统(1)是容许的,则李雅普诺夫方程

(2)

存在满足

rank(EX)=rank(X)

(3)

的惟一半正定实解X.

由上式及A1稳定得W1=X1,另外对所满足的条件来说,将解X代入就可以得到

于是对应着就有W3=0.因此惟一性得证.

基于上述给出的李雅普诺夫方程和存在满足条件,给出如下H2范数的时域计算方法.

定理2如果广义系统是容许的且传递函数G(s)是严格真的,则

其中,R是广义李雅普诺夫方程(2)和满足条件(3)的惟一半正定解.

证明因为广义系统无脉冲即A1稳定且N=0,则有

取拉普拉斯逆变换可得

于是有

g(t)=φ-1{(sE-A)-1}=

C1eA1tB1-δ(t)C2B2

又因为传递函数G(s)是严格真的,则通过定理1就可以得到

g(t)=C1eA1tB1

因此根据定义1就可以得到H2的范数的表达式

(4)

(5)

3 结 语

此次主要解决了H2范数的时域计算方法问题,同时对没有出现过的证明过程进行了补充完善,并且也了解关于H2范数的定义和广义系统在无脉冲时的等价条件,也为接下来研究H2最优控制提供了理论基础.该方法主要从连续广义系统的角度进行研究,这种方法为之后研究离散的H2控制带来了很大便利,同样为之后研究时滞的带有不确定性的H2鲁棒控制提供了相应的结论.