基于Copula函数的上证综合指数的趋势预测①

闫海波， 张 贺

(新疆财经大学 统计与数据科学学院，新疆 乌鲁木齐 830012)

0 引 言

我国有庞大基数的股市投资者，上证综合指数是我国投资者关注的重点对象，对上证综指的可能的涨跌情况研究有助于投资者对股市的判断。2020年全球经济受新型冠状病毒的影响，全球股市也不同程度的受到冲击。现有关于Copula模型在股票市场上的研究主要集中于中国股票市场与金融指标进行相关性研究[1-5]，当然也有少量学者对上证指数的内部指标进行了研究，如徐小钦,邓煜[6]运用Copula函数研究了上证指数的收益率和成交量之间的尾部关系。在国内疫情形势一片向好、国外疫情尚没有有效的控制的情况下，对我国股市内部指标的研究或将更有参考意义，故本文选取上证指数2020年1月至4月的日最高价、最低价和收盘价进行分析，旨在探究在疫情下上证指数可能的涨跌情况，并对得到的结果做一些分析。

目前最新的讨论股票价格预测方法的综述是徐程成[7]于2020年3月发表的，她对已有的文献所使用的股票预测方法进行了总结和分析，不管是徐程成总结的文献还是作者搜索到的关于股票预测的文献，几乎没有文献运用股票预测方法与股票技术分析相结合，受张晓宇和徐付霞[8]运用Copula理论分析学生成绩平均值和中位数分布一文启发，将技术分析中压力线概念引入文中，可以为股市投资者提供更多参考信息。

1 理论模型介绍

1.1 Copula函数介绍[9]

设随机变量X和Y，其分布函数是F(x)=P(X≤x)和G(y)=P(Y≤y)，其联合分布函数为H(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，它们的值域都为[0，1]。对于(X,Y)的任意取值(x,y)，都唯一的对应一个[0,1]2空间的点[F(x),G(y)]和一个[0，1]区间上的点H(x,y)，并且这两个点之间存在着一个对应关系，研究中使用最多的两类Copula函数是椭圆Copula函数和阿基米德Copula函数；椭圆Copula函数包括正态Copula函数和t-Copula函数，常见的阿基米德Copula包括Gumbel Copula、Frank Copula函数和Clayton Copula函数，本文也是从以上两类常见的Copula函数中择其适者进行分析。

1.1.1 椭圆Copula函数

椭圆Copula函数包括正态Copula函数和t-Copula函数。二维正态Copula函数的形式为

(1)

其中FR是相关系数为R的二维标准正态分布函数，F-1是一维标准正态分布函数的反函数。

t-Copula函数的形式为

(2)

1.1.2 阿基米德Copula函数

对于阿基米德函数，一般上尾和下尾相关系数不相等，其中，Gumbel Copula函数上尾相关系数是2-21/θ，下尾相关系数是零；Clayton Copula函数的下尾相关系数是2-1/θ，上尾相关系数是零；Frank Copula函数是具有对称性的相关系数，上、下尾相关系数相等且同时为零[10]。

1.2 对数似然估计[11]

对Sklar定理：

FY(y1,…,yd)=CY{FY1(y1),…,FYd(yd)}

(3)

求导得到：

fY(y1,…,yd)=cY{FY1(y1),…,FYd(yd)}fY1(y1)…fYd(yd)

(4)

设边缘累计分布函数有参数模型FY1(·|θ1),…,FYd(·|θd)，Copula密度参数模型为cY(·|θC)，则对数似然函数为：

L(θ1,…,θd,θC)=

(5)

求出极大似然估计，即可获得参数。

1.3 拟合优度检验[12]

AIC准则也称赤池信息准则，用于衡量模型优劣的重要函数，样本量较少时有较高的精确度，故选用AIC准则。它将拟合效果函数与维度参数的个数进行加权计算，即：

AIC=-2log(L)+2K

(6)

其中L为模型的极大似然估计值，K为模型的维度参数数量。

2 实证分析

2.1 数据来源及描述

选取2020年1月2号至4月29号上证综合指数的日最高价价格、最低价价格和收盘价价格，上证指数数据来源于国泰安(CSMAR)数据库，使用R软件进行分析。做出最高价价格、最低价价格和收盘价价格的时序波动图，见图1，为更好的观察，对图1进行了缩减处理。从图1可以观察到，春节后指数呈现上涨趋势，至3月份有一段时期呈现连续下跌的走势，其后才缓慢调整。

图1 最高价价格、最低价价格和收盘价价格波动图

表2中标准差表明日最低价价格波动稍大，从图1中可见三者的波动；超额峰度值都小于0，表明三个指标有轻尾特征，偏度皆大于0，表明数据右端的极端值较多，故三者分布皆为轻尾右偏；SW正态性检验表明在95%的置信度下三个指标都不服从正态分布，此结论也可以从图2QQ正态图中直观地看出。

表1 常见的阿基米德Copula函数表

表2 上证综指日最高价价格、最低价价格和收盘价价格统计表

图2 上证综指日最高价价格、最低价价格和收盘价价格QQ正态图

2.2 Copula模型的选择及尾部分析

对数据进行处理后，使用R软件得到表3和表4中椭圆Copula函数和阿基米德函数的参数，以AIC准则选择合适的Copula函数。

表3 上证综指最高价价格和收盘价 价格估计Copula参数

表4 上证综指最低价价格和收盘价 价格估计Copula参数

从表3和表4中可以对比得出，Gumbel-Copula的AIC最小，极大化对数似然值拟合的也较好。相关学者对上证指数与其他市场进行相关性研究中也是选用Gumbel Copula函数[13,14,15]，故本文以Gumbel Copula函数分析上证指数的尾部相关关系，从Gumbel Copula函数的特性知，对上尾相关性敏感，对下尾相关性不敏感，图4分别展示了最高价、最低价和收盘价的Gumbel Copula函数的密度分布。

图4 最高价价格、最低价价格和收盘价价格的Gumbel Copula函数的密度分布图

表5中最高价价格和收盘价价格的Kendall秩相关系数稍大，说明最高价价格对收盘价价格的影响更大。从图4可以看出最高价价格对收盘价价格的上尾相关性要强于最低价价格和收盘价价格的上尾相关性，这表明上证指数上涨的力量大于下跌的力量。

表5 Gumbel-Copula相关系数

2.3 建立分布模型

最高价价格和收盘价价格的Gumbel Copula函数分布模型可根据表1中相应的公式和表3中已估计的参数得到：

u，v代表最高价价格与收盘价价格的边际分布函数，计算得到：

图3 最高价价格、最低价价格与收盘价价格的直方图和密度曲线图

3 结 论

始于2019年底的新型冠状病毒对中国经济产生了巨大影响，但面对本次全球性疫情，我国防疫成果显著，而国外疫情仍令人担忧，受美国股票市场在3月份四次历史性熔断的影响，各国股票市场不同程度的受到冲击，投资者对我国股票市场的走势十分关注，在此背景下，选取2020年1月至4月上证指数的日最高价价格、最低价价格和收盘价价格进行分析，实证结果表明：(1)对上尾变化敏感的Gumbel Copula函数可以更好地描述三个指标的相关关系；(2)最高价价格和收盘价价格之间的上尾相关性大于最低价价格和收盘价价格之间的上尾相关性，这表明最高价价格对收盘价价格的影响大于最低价价格对收盘价价格的影响，由此得到股市整体上涨的概率大于下跌的概率的结论，最高价局部出现极值的概率增大。虽然新型冠状病毒对中国经济产生了影响，但研究表明上证指数的未来走势仍比较乐观。通过判断4月30日压力线所对应的价格值2830.32结合最高价价格与收盘价价格的联合分布函数求得近期上证指数不超过价格2830.32的概率为0.118，即未来上证指数有较小的概率低于价格2830.32，即上证指数有大的概率将上涨，这为投资者提供了一个判断上证指数涨跌的信息依据。同理可以建立周最高(低)价价格与周收盘价价格的联合分布函数，可与五日均线结合，得到不突破五日均线的概率。不足之处在于，寻找压力线具有一定的主观性，因此投资者还需要其他信息帮助判断股市走势。